Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4278
2017-10-14 
Однородное тонкостенное кольцо массой $m$ скатывается без проскальзывания по закрепленному желобу так, что его плоскость все время остается в плоскости вертикального сечения желоба, имеющего форму дуги окружности радиусом $R$ (см. рис. ). Радиус кольца $r$ много меньше $R$. Найти силу, с которой кольцо будет действовать в нижней точке на желоб, если на высоте $h = R/2$ от этой точки кольцо имело скорость $\vec{v}$.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на движение кольца. Поскольку кольцо скатывается без проскальзывания, то величина скорости v центра кольца и угловая скорость его вращения относительно горизонтальной оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, должны удовлетворять соотношению $v = \omega r$. Отсюда с учетом того, что кольцо тонкое, следует, что скорость любой $i$-й точки кольца $\vec{v}_{i} = \vec{v} + \vec{v}_{iвр}$, где $\vec{v}_{iвр}$ - скорость этой точки относительно центра кольца. Поэтому кинетическая энергия катящегося без проскальзывания кольца должна быть равна:
$W_{к} = \sum_{i} m_{i}v_{i}^{2} /2 = \sum_{i} m_{i} (v^{2} + v_{iвр}^{2} - 2vv_{iвр})/2 = \sum_{i} m_{i}v^{2} - v \sum_{i} m_{i} v_{iвр} = mv^{2}$,
т.к. массы диаметрально противоположных точек кольца $m_{i}$ в силу его однородности равны, а их скорости, обусловленные вращением колеса вокруг своей оси, равны по величине $\omega r = v$, но направлены в противоположные стороны.
Поскольку кольцо скатывается без проскальзывания, то действующая на него со стороны желоба сила сухого трения является силой трения покоя и ее работа над кольцом и желобом равна нулю. Поэтому если, как обычно, считать систему «кольцо - желоб - Земля» изолированной, т.е. пренебречь влиянием внешних тел, и пренебречь силами трения качения, можно утверждать, что для этой системы должен выполняться закон сохранения механической энергии. Учитывая, что масса Земли во много раз больше массы кольца, можно пренебречь изменением скорости Земли при изменении положения кольца, а лабораторную систему считать инерциальной. Тогда, с учетом сказанного ранее, можно утверждать, что при изменении положения кольца приращение кинетической энергии рассматриваемой системы тел должно быть равно убыли ее потенциальной энергии. Если скорость кольца в нижней точке траектории обозначить $v_{н}$, то приращение кинетической энергии кольца при его скатывании до нижней точки желоба будет равно $\Delta W_{к} = mv_{к}^{2} - mv^{2}$. При этом убыль потенциальной энергии указанной системы, считая ускорение свободного падения $\vec{g}$ постоянным и учитывая, что по условию задачи $h = R/2 \gg r$, получим равной $\Delta W_{п} = (h - r) mg \approx mgR/2$. Из сказанного следует, что в нижней точке траектории скорость кольца должна стать равной $v_{н} = \sqrt{v^{2} + gR/2}$. Поскольку в этой точке ускорение кольца направлено вертикально вверх и равно $v_{н}^{2} /R$ , тангенциальная составляющая действующей на кольцо силы реакции желоба (сила сухого трения покоя) равна нулю, а величина нормальной составляющей $\vec{N}$ указанной силы согласно второму закону Ньютона должна быть равна $(g + v_{н}^{2}/R)m$. Следовательно, согласно третьему закону Ньютона искомая сила, с которой кольцо действует на желоб, равна
$\vec{F} = - \vec{N} = (v^{2}/gR + l,5)m \vec{g}$.
Однородное тонкостенное кольцо массой $m$ скатывается без проскальзывания по закрепленному желобу так, что его плоскость все время остается в плоскости вертикального сечения желоба, имеющего форму дуги окружности радиусом $R$ (см. рис. ). Радиус кольца $r$ много меньше $R$. Найти силу, с которой кольцо будет действовать в нижней точке на желоб, если на высоте $h = R/2$ от этой точки кольцо имело скорость $\vec{v}$.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на движение кольца. Поскольку кольцо скатывается без проскальзывания, то величина скорости v центра кольца и угловая скорость его вращения относительно горизонтальной оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, должны удовлетворять соотношению $v = \omega r$. Отсюда с учетом того, что кольцо тонкое, следует, что скорость любой $i$-й точки кольца $\vec{v}_{i} = \vec{v} + \vec{v}_{iвр}$, где $\vec{v}_{iвр}$ - скорость этой точки относительно центра кольца. Поэтому кинетическая энергия катящегося без проскальзывания кольца должна быть равна:
$W_{к} = \sum_{i} m_{i}v_{i}^{2} /2 = \sum_{i} m_{i} (v^{2} + v_{iвр}^{2} - 2vv_{iвр})/2 = \sum_{i} m_{i}v^{2} - v \sum_{i} m_{i} v_{iвр} = mv^{2}$,
т.к. массы диаметрально противоположных точек кольца $m_{i}$ в силу его однородности равны, а их скорости, обусловленные вращением колеса вокруг своей оси, равны по величине $\omega r = v$, но направлены в противоположные стороны.
Поскольку кольцо скатывается без проскальзывания, то действующая на него со стороны желоба сила сухого трения является силой трения покоя и ее работа над кольцом и желобом равна нулю. Поэтому если, как обычно, считать систему «кольцо - желоб - Земля» изолированной, т.е. пренебречь влиянием внешних тел, и пренебречь силами трения качения, можно утверждать, что для этой системы должен выполняться закон сохранения механической энергии. Учитывая, что масса Земли во много раз больше массы кольца, можно пренебречь изменением скорости Земли при изменении положения кольца, а лабораторную систему считать инерциальной. Тогда, с учетом сказанного ранее, можно утверждать, что при изменении положения кольца приращение кинетической энергии рассматриваемой системы тел должно быть равно убыли ее потенциальной энергии. Если скорость кольца в нижней точке траектории обозначить $v_{н}$, то приращение кинетической энергии кольца при его скатывании до нижней точки желоба будет равно $\Delta W_{к} = mv_{к}^{2} - mv^{2}$. При этом убыль потенциальной энергии указанной системы, считая ускорение свободного падения $\vec{g}$ постоянным и учитывая, что по условию задачи $h = R/2 \gg r$, получим равной $\Delta W_{п} = (h - r) mg \approx mgR/2$. Из сказанного следует, что в нижней точке траектории скорость кольца должна стать равной $v_{н} = \sqrt{v^{2} + gR/2}$. Поскольку в этой точке ускорение кольца направлено вертикально вверх и равно $v_{н}^{2} /R$ , тангенциальная составляющая действующей на кольцо силы реакции желоба (сила сухого трения покоя) равна нулю, а величина нормальной составляющей $\vec{N}$ указанной силы согласно второму закону Ньютона должна быть равна $(g + v_{н}^{2}/R)m$. Следовательно, согласно третьему закону Ньютона искомая сила, с которой кольцо действует на желоб, равна
$\vec{F} = - \vec{N} = (v^{2}/gR + l,5)m \vec{g}$.
