Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4277
2017-10-14 
На поворотах скоростных трасс дорожное полотно делают наклонным. Пренебрегая влиянием воздуха, найти допустимую скорость автомобиля на повороте радиусом $R$, где дорожное полотно образует с горизонтом угол $\alpha$. Считать, что траектория автомобиля лежит в горизонтальной плоскости, коэффициент трения колес о дорогу равен $\mu < 1$, все колеса являются ведущими, а размеры автомобиля много меньше $R$.
Решение:
Будем, как обычно, лабораторную систему отсчета, неподвижную относительно полотна дороги, считать инерциальной. Поскольку в соответствии с условием задачи следует пренебречь размерами автомобиля и влиянием на него воздуха (в том числе и аэродинамическими силами, которые могут прижимать автомобиль к дороге или приподнимать его), то уравнение движения автомобиля в указанной системе отсчета согласно второму закону Ньютона будет иметь вид:
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{F}$, (1)
где $m$ - масса автомобиля, $\vec{a}$ - его ускорение, $\vec{g}$ - ускорение свободного падения, a $\vec{F}$ - сила реакции дороги, действующая на автомобиль. По условию задачи автомобиль движется в горизонтальной плоскости по дуге окружности радиусом r с постоянной по величине скоростью. Следовательно, ускорение автомобиля должно быть направлено горизонтально к центру дуги окружности, а его величина должна быть равна $a = v^{2}/R$, где $v$ -модуль скорости автомобиля. Поскольку скорость автомобиля не изменяется по величине и все колеса автомобиля являются ведущими, то сила реакции дороги должна лежать в вертикальной плоскости, проходящей через центр кривизны траектории автомобиля и сам автомобиль. Если силу реакции $\vec{F}$, как обычно, представить в виде двух составляющих, одна из которых перпендикулярна полотну дороги (нормальная составляющая $\vec{F}_{n}$), а другая параллельна ему (тангенциальная составляющая $\vec{F}_{ \tau}$), то уравнение (1) движения автомобиля в проекциях на оси декартовой системы координат, показанной на рис., можно представить в виде:
$mv^{2} / R = F_{n} \sin \alpha + F_{ \tau x}, 0 = F_{n} \cos \alpha + F_{ \tau y} - mg$. (2)
где $F_{ \tau x}$ и $F_{ \tau y}$ - проекции составляющей $\vec{F}_{ \tau}$ на оси ОХ и OY, a $F_{n}$ - модуль составляющей $\vec{F}_{n}$. При этом было учтено, что нормальная составляющая может быть направлена только вверх перпендикулярно полотну дороги.
Если бы на колеса автомобиля не действовала сила трения, т.е. составляющая $\vec{F}_{ \tau}$ была бы равна нулю, то согласно системе уравнений (2) скорость рис автомобиля при сделанных допущениях была бы равна $v_{0} = \sqrt{gR tg \alpha}$. При $v < v_{0}$ и отсутствии сил трения автомобиль под действием составляющей силы тяжести, направленной вниз, начал бы соскальзывать. Следовательно, при $v < v_{0}$ автомобиль будет двигаться заданным образом, если составляющая $\vec{F}_{ \tau}$ будет направлена вверх вдоль дороги, т.е. так, как показано на рис. пунктирной линией. При этом согласно системе уравнений (2) составляющие силы реакции дороги должны удовлетворять соотношениям:
$F_{n} = \left ( g \cos \alpha + \frac{v^{2}}{R} \sin \alpha \right ) m, F_{ \tau} = \left ( g \sin \alpha - \frac{v^{2}}{R} \cos \alpha \right ) m$, (3)
где $F_{ \tau}$ - модуль составляющей $\vec{F}_{ \tau}$. Отсюда, учитывая, что тангенциальная составляющая согласно закону Кулона для сил сухого трения не может превышать $\mu F_{n}$, т.е.
$\frac{F_{ \tau}}{F_{n}} = \frac{gR tg \alpha - v^{2}}{gR + v^{2} tg \alpha} \leq \mu$, (4)
при $\mu \leq tg \alpha$ получим:
$ \sqrt{gR \frac{tg \alpha - \mu}{1 + \mu tg \alpha}} \leq v \leq \sqrt{gR tg \alpha}$, (5)
а при $\mu \geq tg \alpha$ скорость движения автомобиля в рассматриваемом случае должна удовлетворять условию: $0 \leq v \leq v_{0}$.
При $v > v_{0}$ сила трения со стороны дороги должна быть направлена вниз, а вместо неравенства (4) должно выполняться соотношение:
$ \frac{F_{ \tau}}{F_{n}} = \frac{v^{2} - gR tg \alpha}{gR + v^{2} tg \alpha} \leq \mu$. (6)
Следовательно, если $\mu < ctg \alpha$, то скорость автомобиля должна удовлетворять неравенствам:
$v_{0} = \sqrt{gR tg \alpha} < v \leq \sqrt{ gR \frac{ \mu + tg \alpha}{1 - \mu tg \alpha}} $, (7)
если же $mu \geq ctg \alpha$, то ограничения на максимальную величину скорости автомобиля нет.
Поскольку по условию задачи коэффициент трения не превышает единицы, то искомая скорость $v$ движения автомобиля должна удовлетворять следующим соотношениям:
$0 \leq v \leq \sqrt{gR \frac{ \mu + tg \alpha}{1 - \mu tg \alpha}} = v_{max}$ при $tg \alpha < \mu$,
$v_{min} = \sqrt{gR \frac{ \mu + tg \alpha}{1 - \mu tg \alpha}} \leq v \leq v_{max}$ при $\mu tg \alpha < 1 / \mu$,
$v_{min} \leq v < \infty$ при $1/ \mu \leq tg \alpha$.
На поворотах скоростных трасс дорожное полотно делают наклонным. Пренебрегая влиянием воздуха, найти допустимую скорость автомобиля на повороте радиусом $R$, где дорожное полотно образует с горизонтом угол $\alpha$. Считать, что траектория автомобиля лежит в горизонтальной плоскости, коэффициент трения колес о дорогу равен $\mu < 1$, все колеса являются ведущими, а размеры автомобиля много меньше $R$.
Решение:
Будем, как обычно, лабораторную систему отсчета, неподвижную относительно полотна дороги, считать инерциальной. Поскольку в соответствии с условием задачи следует пренебречь размерами автомобиля и влиянием на него воздуха (в том числе и аэродинамическими силами, которые могут прижимать автомобиль к дороге или приподнимать его), то уравнение движения автомобиля в указанной системе отсчета согласно второму закону Ньютона будет иметь вид:
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{F}$, (1)
где $m$ - масса автомобиля, $\vec{a}$ - его ускорение, $\vec{g}$ - ускорение свободного падения, a $\vec{F}$ - сила реакции дороги, действующая на автомобиль. По условию задачи автомобиль движется в горизонтальной плоскости по дуге окружности радиусом r с постоянной по величине скоростью. Следовательно, ускорение автомобиля должно быть направлено горизонтально к центру дуги окружности, а его величина должна быть равна $a = v^{2}/R$, где $v$ -модуль скорости автомобиля. Поскольку скорость автомобиля не изменяется по величине и все колеса автомобиля являются ведущими, то сила реакции дороги должна лежать в вертикальной плоскости, проходящей через центр кривизны траектории автомобиля и сам автомобиль. Если силу реакции $\vec{F}$, как обычно, представить в виде двух составляющих, одна из которых перпендикулярна полотну дороги (нормальная составляющая $\vec{F}_{n}$), а другая параллельна ему (тангенциальная составляющая $\vec{F}_{ \tau}$), то уравнение (1) движения автомобиля в проекциях на оси декартовой системы координат, показанной на рис., можно представить в виде:
$mv^{2} / R = F_{n} \sin \alpha + F_{ \tau x}, 0 = F_{n} \cos \alpha + F_{ \tau y} - mg$. (2)
где $F_{ \tau x}$ и $F_{ \tau y}$ - проекции составляющей $\vec{F}_{ \tau}$ на оси ОХ и OY, a $F_{n}$ - модуль составляющей $\vec{F}_{n}$. При этом было учтено, что нормальная составляющая может быть направлена только вверх перпендикулярно полотну дороги.
Если бы на колеса автомобиля не действовала сила трения, т.е. составляющая $\vec{F}_{ \tau}$ была бы равна нулю, то согласно системе уравнений (2) скорость рис автомобиля при сделанных допущениях была бы равна $v_{0} = \sqrt{gR tg \alpha}$. При $v < v_{0}$ и отсутствии сил трения автомобиль под действием составляющей силы тяжести, направленной вниз, начал бы соскальзывать. Следовательно, при $v < v_{0}$ автомобиль будет двигаться заданным образом, если составляющая $\vec{F}_{ \tau}$ будет направлена вверх вдоль дороги, т.е. так, как показано на рис. пунктирной линией. При этом согласно системе уравнений (2) составляющие силы реакции дороги должны удовлетворять соотношениям:
$F_{n} = \left ( g \cos \alpha + \frac{v^{2}}{R} \sin \alpha \right ) m, F_{ \tau} = \left ( g \sin \alpha - \frac{v^{2}}{R} \cos \alpha \right ) m$, (3)
где $F_{ \tau}$ - модуль составляющей $\vec{F}_{ \tau}$. Отсюда, учитывая, что тангенциальная составляющая согласно закону Кулона для сил сухого трения не может превышать $\mu F_{n}$, т.е.
$\frac{F_{ \tau}}{F_{n}} = \frac{gR tg \alpha - v^{2}}{gR + v^{2} tg \alpha} \leq \mu$, (4)
при $\mu \leq tg \alpha$ получим:
$ \sqrt{gR \frac{tg \alpha - \mu}{1 + \mu tg \alpha}} \leq v \leq \sqrt{gR tg \alpha}$, (5)
а при $\mu \geq tg \alpha$ скорость движения автомобиля в рассматриваемом случае должна удовлетворять условию: $0 \leq v \leq v_{0}$.
При $v > v_{0}$ сила трения со стороны дороги должна быть направлена вниз, а вместо неравенства (4) должно выполняться соотношение:
$ \frac{F_{ \tau}}{F_{n}} = \frac{v^{2} - gR tg \alpha}{gR + v^{2} tg \alpha} \leq \mu$. (6)
Следовательно, если $\mu < ctg \alpha$, то скорость автомобиля должна удовлетворять неравенствам:
$v_{0} = \sqrt{gR tg \alpha} < v \leq \sqrt{ gR \frac{ \mu + tg \alpha}{1 - \mu tg \alpha}} $, (7)
если же $mu \geq ctg \alpha$, то ограничения на максимальную величину скорости автомобиля нет.
Поскольку по условию задачи коэффициент трения не превышает единицы, то искомая скорость $v$ движения автомобиля должна удовлетворять следующим соотношениям:
$0 \leq v \leq \sqrt{gR \frac{ \mu + tg \alpha}{1 - \mu tg \alpha}} = v_{max}$ при $tg \alpha < \mu$,
$v_{min} = \sqrt{gR \frac{ \mu + tg \alpha}{1 - \mu tg \alpha}} \leq v \leq v_{max}$ при $\mu tg \alpha < 1 / \mu$,
$v_{min} \leq v < \infty$ при $1/ \mu \leq tg \alpha$.
