Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4276
2017-10-14 
На горизонтальном диске на расстоянии $R$ от оси лежит маленькая шайба. Диск медленно раскручивают так, что его угловая скорость равномерно возрастает со временем. Через время $\tau$ после начала раскручивания шайба начала скользить по диску. Найти коэффициент трения шайбы о диск, если за время $\tau$ диск сделал $n$ оборотов.
Решение:
Поскольку диск первоначально покоился и его угловую скорость увеличивают с постоянным угловым ускорением, по аналогии с законами изменения проекции скорости и координаты точки при прямолинейном равнопеременном движении можно утверждать, что к моменту времени $\tau$ после начала раскручивания угловая скорость диска должна стать равной $\omega ( \tau ) = \epsilon \tau$, а диск должен повернуться на угол $\phi ( \tau) = \epsilon \tau^{2}/2$. Поскольку за один оборот диск поворачивается на угол $2 \pi$, а по условию задачи диск за время $\tau$ совершил $n$ оборотов, то из написанных выше выражений следует, что диск раскручивали с угловым ускорением $\epsilon = 4 \pi n/ \tau^{2}$.
По определению длина дуги окружности радиуса $R$ заключенная между радиусами, образующими угол $\phi$, равна $R \phi$. Следовательно, тангенциальная составляющая ускорения точки диска, находящейся на расстоянии $R$ от оси вращения, равна $a_{ \tau} = \epsilon R$. Вспоминая, что нормальная составляющая ускорения точки, движущейся с угловой скоростью $\omega$ по дуге с радиусом кривизны $R$, равна $a_{n}( \tau) = R \omega^{2} ( \tau )$, можно утверждать, что ускорение шайбы к моменту времени $\tau$ относительно системы отсчета, в которой ось диска неподвижна, должно стать равным $a( \tau) = \sqrt{ a_{n}^{2} ( \tau) + a_{ \tau}^{2}}$.
Считая, как обычно, указанную систему отсчета инерциальной и пренебрегая действием воздуха на шайбу, можно утверждать, что ускорение шайбы обусловлено действием на нее только тангенциальной составляющей силы реакции диска, т.к. плоскость диска по условию задачи горизонтальна. Поэтому согласно второму закону Ньютона максимальное значение тангенциальной составляющей силы реакции диска - силы сухого трения - должно быть равно $F_{ \tau max } = ma( \tau)$. Учитывая, что при выполнении сделанных ранее предположений шайба прижимается к диску только за счет действия на нее силы тяжести, получим, что нормальная составляющая силы реакции диска должна быть равна $N = mg$, где $g$ - ускорение свободного падения. Поэтому, вспоминая закон Кулона для сил сухого трения, можно утверждать, что $\mu = F_{ \tau max}/N$. Подставляя в это выражение ранее полученные соотношения, определим искомый коэффициент трения шайбы о диск:
$\mu = \frac{4 \pi nR \sqrt{16 \pi^{2} n^{2} + 1}}{g \tau^{2}}$.
На горизонтальном диске на расстоянии $R$ от оси лежит маленькая шайба. Диск медленно раскручивают так, что его угловая скорость равномерно возрастает со временем. Через время $\tau$ после начала раскручивания шайба начала скользить по диску. Найти коэффициент трения шайбы о диск, если за время $\tau$ диск сделал $n$ оборотов.
Решение:
Поскольку диск первоначально покоился и его угловую скорость увеличивают с постоянным угловым ускорением, по аналогии с законами изменения проекции скорости и координаты точки при прямолинейном равнопеременном движении можно утверждать, что к моменту времени $\tau$ после начала раскручивания угловая скорость диска должна стать равной $\omega ( \tau ) = \epsilon \tau$, а диск должен повернуться на угол $\phi ( \tau) = \epsilon \tau^{2}/2$. Поскольку за один оборот диск поворачивается на угол $2 \pi$, а по условию задачи диск за время $\tau$ совершил $n$ оборотов, то из написанных выше выражений следует, что диск раскручивали с угловым ускорением $\epsilon = 4 \pi n/ \tau^{2}$.
По определению длина дуги окружности радиуса $R$ заключенная между радиусами, образующими угол $\phi$, равна $R \phi$. Следовательно, тангенциальная составляющая ускорения точки диска, находящейся на расстоянии $R$ от оси вращения, равна $a_{ \tau} = \epsilon R$. Вспоминая, что нормальная составляющая ускорения точки, движущейся с угловой скоростью $\omega$ по дуге с радиусом кривизны $R$, равна $a_{n}( \tau) = R \omega^{2} ( \tau )$, можно утверждать, что ускорение шайбы к моменту времени $\tau$ относительно системы отсчета, в которой ось диска неподвижна, должно стать равным $a( \tau) = \sqrt{ a_{n}^{2} ( \tau) + a_{ \tau}^{2}}$.
Считая, как обычно, указанную систему отсчета инерциальной и пренебрегая действием воздуха на шайбу, можно утверждать, что ускорение шайбы обусловлено действием на нее только тангенциальной составляющей силы реакции диска, т.к. плоскость диска по условию задачи горизонтальна. Поэтому согласно второму закону Ньютона максимальное значение тангенциальной составляющей силы реакции диска - силы сухого трения - должно быть равно $F_{ \tau max } = ma( \tau)$. Учитывая, что при выполнении сделанных ранее предположений шайба прижимается к диску только за счет действия на нее силы тяжести, получим, что нормальная составляющая силы реакции диска должна быть равна $N = mg$, где $g$ - ускорение свободного падения. Поэтому, вспоминая закон Кулона для сил сухого трения, можно утверждать, что $\mu = F_{ \tau max}/N$. Подставляя в это выражение ранее полученные соотношения, определим искомый коэффициент трения шайбы о диск:
$\mu = \frac{4 \pi nR \sqrt{16 \pi^{2} n^{2} + 1}}{g \tau^{2}}$.
