Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4272
2017-10-14 
На гладком горизонтальном столе лежит доска массой $M$, а на ней находится груз массой $m$. К грузу прикреплена невесомая гладкая нерастяжимая нить, перекинутая через блок, закрепленный на доске. Свободный конец нити тянут с силой $\vec{F}$ так, как показано на рис.. При этом отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны, а вся нить располагается в одной вертикальной плоскости. Коэффициент трения груза о доску равен $\mu$. Найти ускорение груза относительно стола.
Решение:
Будем решать задачу при следующих стандартных предположениях: действием воздуха на тела системы можно пренебречь и лабораторную систему отсчета, относительно которой стол неподвижен, можно считать инерциальной. Кроме того, будем считать, что блок к доске и нить к грузу прикреплены так, что под действием силы $\vec{F}$ может возникнуть лишь поступательное движение этих тел. Поскольку нить является гладкой, то действующие со стороны нити на блок силы не могут иметь составляющей, направленной по касательной к блоку. Полагая, как обычно, что ось, вокруг которой мог бы вращаться блок, совпадает с его геометрической осью, можно утверждать, что при любом натяжении нити блок не будет вращаться. Поэтому, учитывая невесомость нити, можно утверждать, что величина силы натяжения во всех точках нити должна быть одинакова и равна величине приложенной к ее свободному концу силе $\vec{F}$. Следовательно, на груз со стороны нити должна действовать сила, равная $- \vec{F}$. Поскольку нить невесома, то сумма сил, действующих на нее, должна быть равна нулю, а потому, вспоминая третий закон Ньютона, можно утверждать, что со стороны нити на блок должна действовать сила $2 \vec{F}$.
Из условия задачи ясно, что если движение груза по доске и может иметь место, то груз при этом будет двигаться по доске к блоку. Следовательно, сила трения $\vec{f}_{тр}$, действующая на груз со стороны доски, может быть направлена только так, как показано на рис.. На этом же рисунке показаны сила $- \vec{F}$, действующая на груз со стороны нити, сила трения $\vec{f} = - \vec{f}_{тр}$, действующая на доску со стороны груза, и ось ОХ используемой при решении задачи лабораторной системы отсчета. Поскольку по условию задачи доска находится на гладкой горизонтальной поверхности и толщина доски постоянна, то уравнения движения груза и доски в проекциях на ось ОХ должны иметь вид: $ma_{x} = f_{тр} - F$ и $MA_{x} = 2F - f_{тр}$, где $a_{x}$ и $A_{x}$ - проекции ускорений груза и доски на ось ОХ.
Учитывая, что груз при указанных условиях не движется по вертикали, иа основании второго закона Ньютона можно утверждать, что величина $N$ нормальной составляющей силы реакции доски на груз равна $mg$, где $g$ - величина ускорения свободного падения. Тангенциальная же составляющая силы реакции доски на груз - сила сухого трения $f_{тр}$ - согласно закону Кулона не может быть по модулю больше $\mu N$.
Очевидно, что при достаточно большом коэффициенте трения груз не будет скользить по доске. Поэтому его ускорение относительно доски будет равно нулю и, следовательно, $A_{x} = a_{x}$. В этом случае, складывая приведенные выше уравнения движения груза и доски, получим: $A_{x} = a_{x} = F/(m + M)$. Поскольку при этом сила сухого трения является силой сухого трения покоя, то ее величина не может превышать своего максимального значения, т.е. $f_{тр} \leq \mu mg$. Из сказанного следует, что груз не будет скользить по доске, если $\mu \geq \mu_{min} = \frac{(2m + M)F}{(m + M)mg}$. Если же $\mu < \mu_{min}$, то, полагая, как обычно, величину коэффициента трения скольжения не зависящей от скорости скольжения и равной максимальному значению коэффициента трения покоя, из приведенных выше соотношений получим: $a_{x} = \mu g - F/m$. Итак, при выполнении сделанных предположений искомое ускорение груза относительно стола равно:
$\vec{a} = \begin{cases} \frac{1}{m+M} & \text{при} \mu \geq \frac{(2m + M)F}{(m + M)mg}, \\ \frac{ \mu g}{F} - \frac{1}{m} & \text{при} \mu < \frac{(2m + M)F}{(m + M)mg}, \end{cases}$
На гладком горизонтальном столе лежит доска массой $M$, а на ней находится груз массой $m$. К грузу прикреплена невесомая гладкая нерастяжимая нить, перекинутая через блок, закрепленный на доске. Свободный конец нити тянут с силой $\vec{F}$ так, как показано на рис.. При этом отрезки нити, не лежащие на блоке, горизонтальны, а вся нить располагается в одной вертикальной плоскости. Коэффициент трения груза о доску равен $\mu$. Найти ускорение груза относительно стола.
Решение:
Будем решать задачу при следующих стандартных предположениях: действием воздуха на тела системы можно пренебречь и лабораторную систему отсчета, относительно которой стол неподвижен, можно считать инерциальной. Кроме того, будем считать, что блок к доске и нить к грузу прикреплены так, что под действием силы $\vec{F}$ может возникнуть лишь поступательное движение этих тел. Поскольку нить является гладкой, то действующие со стороны нити на блок силы не могут иметь составляющей, направленной по касательной к блоку. Полагая, как обычно, что ось, вокруг которой мог бы вращаться блок, совпадает с его геометрической осью, можно утверждать, что при любом натяжении нити блок не будет вращаться. Поэтому, учитывая невесомость нити, можно утверждать, что величина силы натяжения во всех точках нити должна быть одинакова и равна величине приложенной к ее свободному концу силе $\vec{F}$. Следовательно, на груз со стороны нити должна действовать сила, равная $- \vec{F}$. Поскольку нить невесома, то сумма сил, действующих на нее, должна быть равна нулю, а потому, вспоминая третий закон Ньютона, можно утверждать, что со стороны нити на блок должна действовать сила $2 \vec{F}$.
Из условия задачи ясно, что если движение груза по доске и может иметь место, то груз при этом будет двигаться по доске к блоку. Следовательно, сила трения $\vec{f}_{тр}$, действующая на груз со стороны доски, может быть направлена только так, как показано на рис.. На этом же рисунке показаны сила $- \vec{F}$, действующая на груз со стороны нити, сила трения $\vec{f} = - \vec{f}_{тр}$, действующая на доску со стороны груза, и ось ОХ используемой при решении задачи лабораторной системы отсчета. Поскольку по условию задачи доска находится на гладкой горизонтальной поверхности и толщина доски постоянна, то уравнения движения груза и доски в проекциях на ось ОХ должны иметь вид: $ma_{x} = f_{тр} - F$ и $MA_{x} = 2F - f_{тр}$, где $a_{x}$ и $A_{x}$ - проекции ускорений груза и доски на ось ОХ.
Учитывая, что груз при указанных условиях не движется по вертикали, иа основании второго закона Ньютона можно утверждать, что величина $N$ нормальной составляющей силы реакции доски на груз равна $mg$, где $g$ - величина ускорения свободного падения. Тангенциальная же составляющая силы реакции доски на груз - сила сухого трения $f_{тр}$ - согласно закону Кулона не может быть по модулю больше $\mu N$.
Очевидно, что при достаточно большом коэффициенте трения груз не будет скользить по доске. Поэтому его ускорение относительно доски будет равно нулю и, следовательно, $A_{x} = a_{x}$. В этом случае, складывая приведенные выше уравнения движения груза и доски, получим: $A_{x} = a_{x} = F/(m + M)$. Поскольку при этом сила сухого трения является силой сухого трения покоя, то ее величина не может превышать своего максимального значения, т.е. $f_{тр} \leq \mu mg$. Из сказанного следует, что груз не будет скользить по доске, если $\mu \geq \mu_{min} = \frac{(2m + M)F}{(m + M)mg}$. Если же $\mu < \mu_{min}$, то, полагая, как обычно, величину коэффициента трения скольжения не зависящей от скорости скольжения и равной максимальному значению коэффициента трения покоя, из приведенных выше соотношений получим: $a_{x} = \mu g - F/m$. Итак, при выполнении сделанных предположений искомое ускорение груза относительно стола равно:
$\vec{a} = \begin{cases} \frac{1}{m+M} & \text{при} \mu \geq \frac{(2m + M)F}{(m + M)mg}, \\ \frac{ \mu g}{F} - \frac{1}{m} & \text{при} \mu < \frac{(2m + M)F}{(m + M)mg}, \end{cases}$
