Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4271
2017-10-14 
На цилиндрическую часть катушки радиусом $r$, лежащей на столе, намотана легкая нерастяжимая нить, отрезок АВ которой горизонтален (см. рис.). В момент времени $t = 0$ точку нити А начинают тянуть с постоянным горизонтальным ускорением $a$. При этом катушка начинает двигаться без проскальзывания так, что ее ось не изменяет своей ориентации. Через какое время длина горизонтального участка нити изменится в $n$ раз, если длина отрезка АВ была равна $L_{0}$, а внешний радиус катушки равен $R$?
Решение:
По условию задачи при перемещении точки нити А катушка движется по плоскости, сохраняя ориентацию своей оси. Следовательно, считая, как это обычно и делается в подобных задачах, катушку твердым телом, ее движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью $v_{0}$, равной скорости движения оси катушки, и вращения с угловой скоростью $\omega$ вокруг этой оси. Поскольку качение катушки происходит без проскальзывания, то $\omega = v_{0}/R$. Из сказанного следует, что в тот момент, когда скорость оси катушки равна $v_{0}$, скорость точки В должна быть равна $v_{B} = v_{0} - \omega r = (R - r)v_{0}/R$, а потому при движении катушки с течением времени длина отрезка нерастяжимой нити АВ должна уменьшаться.
Учитывая, что по условию задачи отрезок нити АВ остается горизонтальным, а первоначально покоившуюся точку А перемещают с постоянным ускорением $a$, коллинеарным нити, искомый промежуток времени $\tau$ должен удовлетворять уравнению: $L( \tau ) = L_{0}/n = L_{0} - ( a_{0} - a) \tau^{2} /2$, где $a_{0} = aR/(R - r)$ - ускорение центра катушки. Из этих уравнений следует, что $anr \tau^{2} = 2L_{0} (n - 1)(R - r)$, и с учетом условия $0 \leq \tau$ интересующий промежуток времени равен
$\tau = \sqrt{ 2L_{0}(n - 1)(R - r)/(anr)}$.
На цилиндрическую часть катушки радиусом $r$, лежащей на столе, намотана легкая нерастяжимая нить, отрезок АВ которой горизонтален (см. рис.). В момент времени $t = 0$ точку нити А начинают тянуть с постоянным горизонтальным ускорением $a$. При этом катушка начинает двигаться без проскальзывания так, что ее ось не изменяет своей ориентации. Через какое время длина горизонтального участка нити изменится в $n$ раз, если длина отрезка АВ была равна $L_{0}$, а внешний радиус катушки равен $R$?
Решение:
По условию задачи при перемещении точки нити А катушка движется по плоскости, сохраняя ориентацию своей оси. Следовательно, считая, как это обычно и делается в подобных задачах, катушку твердым телом, ее движение можно представить как сумму поступательного движения со скоростью $v_{0}$, равной скорости движения оси катушки, и вращения с угловой скоростью $\omega$ вокруг этой оси. Поскольку качение катушки происходит без проскальзывания, то $\omega = v_{0}/R$. Из сказанного следует, что в тот момент, когда скорость оси катушки равна $v_{0}$, скорость точки В должна быть равна $v_{B} = v_{0} - \omega r = (R - r)v_{0}/R$, а потому при движении катушки с течением времени длина отрезка нерастяжимой нити АВ должна уменьшаться.
Учитывая, что по условию задачи отрезок нити АВ остается горизонтальным, а первоначально покоившуюся точку А перемещают с постоянным ускорением $a$, коллинеарным нити, искомый промежуток времени $\tau$ должен удовлетворять уравнению: $L( \tau ) = L_{0}/n = L_{0} - ( a_{0} - a) \tau^{2} /2$, где $a_{0} = aR/(R - r)$ - ускорение центра катушки. Из этих уравнений следует, что $anr \tau^{2} = 2L_{0} (n - 1)(R - r)$, и с учетом условия $0 \leq \tau$ интересующий промежуток времени равен
$\tau = \sqrt{ 2L_{0}(n - 1)(R - r)/(anr)}$.
