Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4256
2017-10-14 
Два маленьких шарика массами $m_{1} = 6 г$ и $m_{2} = 4 г$, несущие заряды $q_{1} = 10^{-6} Кл$ и $q_{2} = - 5 \cdot 10^{-6} Кл$ соответственно, удерживаются на расстоянии $l = 2 м$ друг от друга. В некоторый момент оба шарика отпускают, сообщив второму из них скорость $v_{0} = 3 м/с$, направленную от первого шарика вдоль линии, соединяющей их центры. На какое максимальное расстояние $L$ разойдутся шарики друг от друга? Силу тяжести не учитывать.
Решение:
Движение шариков происходит под действием силы электростатического притяжения, которая является внутренней силой для рассматриваемой системы. Следовательно, суммарный импульс шариков остается постоянным. Запишем закон сохранения импульса в проекции на координатную ось, положительное направление которой совпадает с направлением начальной скорости второго шарика:
$m_{2}v_{0} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - проекции скоростей шариков в произвольный момент времени.
Кулоновские силы являются потенциальными, поэтому полная механическая энергия системы также сохраняется. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов равна
$W_{п} = \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon r}$,
где $r$ - расстояние между зарядами. Заметим, что для разноименных зарядов потенциальная энергия отрицательна и возрастает при удалении зарядов друг от друга. В соответствии с этим кинетическая энергия шариков будет убывать по мере увеличения расстояния между ними, и закон сохранения энергии запишется в виде:
$\frac{m_{2}v_{0}^{2}}{2} + \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} l } = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} + \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L}$.
При удалении шариков на максимальное расстояние их относительная скорость $v_{отн} = v_{1} - v_{2}$ обратится в нуль. Это утверждение становится очевидным, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из шариков. В этой системе движение второго шарика подобно движению камня, брошенного вертикально вверх от поверхности Земли. Ясно, что момент остановки второго шарика относительно первого действительно соответствует максимальному удалению шариков друг от друга. Таким образом, когда расстояние между шариками максимально, $v_{1} = v_{2} = v$. Используя это равенство, преобразуем исходную систему уравнений к виду:
$m_{2}v_{0} = (m_{1} + m_{2})v, \frac{m_{2}v_{0}^{2}}{2} - \frac{q_{1} |q_{2}|}{4 \pi \epsilon_{0} l} = \frac{(m_{1} + m_{2})v^{2}}{2} - \frac{q_{1} |q_{2}|}{4 \pi \epsilon_{0} L}$.
Исключая из этой системы $v$, находим искомое расстояние:
$L = \frac{l}{1 - \frac{2 \pi \epsilon_{0} l m_{1} m_{2} v_{0}^{2}}{(m_{1} + m_{2})q_{1} |q_{2}|}} \approx 3,9 м$.
Элементарный анализ показывает, что ответ теряет смысл при
$\frac{2 \pi \epsilon_{0} l m_{1} m_{2} v_{0}^{2}}{(m_{1} + m_{2})q_{1} |q_{2}|} \geq 1$,
т.е. при: $W_{0k} \geq (1 + m_{2}/m_{1}) |W_{0п}|$, где $W_{0k} = 0,5 m_{2} v_{0}^{2}$ - начальная кинетическая, a $W_{0п} = q_{1}| q_{2}| / (4 \pi \epsilon_{0} l)$ - начальная потенциальная энергии системы. Физический смысл этого результата таков: если начальная кинетическая энергия системы равна или превышает взятую с коэффициентом $\alpha = (1 + m_{2}/m_{1})$ величину начальной потенциальной энергии притяжения зарядов, то шарики разойдутся на бесконечно большое расстояние и никогда не сблизятся. Когда массы шариков соизмеримы, коэффициент а отличен от единицы. Это отражает тот факт, что начальная кинетическая энергия системы в процессе взаимодействия шариков перераспределяется между ними. Если неограниченно увеличивать массу т, первоначально неподвижного шарика, то множитель а устремится к единице. Бесконечно тяжелый шарик будет оставаться неподвижным. Если при этом $W_{0k} < |W_{0п} |$ то тело, притягивающееся к неподвижному шарику - притягивающему силовому центру, не сможет удалиться от этого центра на бесконечность.
Два маленьких шарика массами $m_{1} = 6 г$ и $m_{2} = 4 г$, несущие заряды $q_{1} = 10^{-6} Кл$ и $q_{2} = - 5 \cdot 10^{-6} Кл$ соответственно, удерживаются на расстоянии $l = 2 м$ друг от друга. В некоторый момент оба шарика отпускают, сообщив второму из них скорость $v_{0} = 3 м/с$, направленную от первого шарика вдоль линии, соединяющей их центры. На какое максимальное расстояние $L$ разойдутся шарики друг от друга? Силу тяжести не учитывать.
Решение:
Движение шариков происходит под действием силы электростатического притяжения, которая является внутренней силой для рассматриваемой системы. Следовательно, суммарный импульс шариков остается постоянным. Запишем закон сохранения импульса в проекции на координатную ось, положительное направление которой совпадает с направлением начальной скорости второго шарика:
$m_{2}v_{0} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - проекции скоростей шариков в произвольный момент времени.
Кулоновские силы являются потенциальными, поэтому полная механическая энергия системы также сохраняется. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов равна
$W_{п} = \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon r}$,
где $r$ - расстояние между зарядами. Заметим, что для разноименных зарядов потенциальная энергия отрицательна и возрастает при удалении зарядов друг от друга. В соответствии с этим кинетическая энергия шариков будет убывать по мере увеличения расстояния между ними, и закон сохранения энергии запишется в виде:
$\frac{m_{2}v_{0}^{2}}{2} + \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} l } = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2} + \frac{q_{1}q_{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L}$.
При удалении шариков на максимальное расстояние их относительная скорость $v_{отн} = v_{1} - v_{2}$ обратится в нуль. Это утверждение становится очевидным, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из шариков. В этой системе движение второго шарика подобно движению камня, брошенного вертикально вверх от поверхности Земли. Ясно, что момент остановки второго шарика относительно первого действительно соответствует максимальному удалению шариков друг от друга. Таким образом, когда расстояние между шариками максимально, $v_{1} = v_{2} = v$. Используя это равенство, преобразуем исходную систему уравнений к виду:
$m_{2}v_{0} = (m_{1} + m_{2})v, \frac{m_{2}v_{0}^{2}}{2} - \frac{q_{1} |q_{2}|}{4 \pi \epsilon_{0} l} = \frac{(m_{1} + m_{2})v^{2}}{2} - \frac{q_{1} |q_{2}|}{4 \pi \epsilon_{0} L}$.
Исключая из этой системы $v$, находим искомое расстояние:
$L = \frac{l}{1 - \frac{2 \pi \epsilon_{0} l m_{1} m_{2} v_{0}^{2}}{(m_{1} + m_{2})q_{1} |q_{2}|}} \approx 3,9 м$.
Элементарный анализ показывает, что ответ теряет смысл при
$\frac{2 \pi \epsilon_{0} l m_{1} m_{2} v_{0}^{2}}{(m_{1} + m_{2})q_{1} |q_{2}|} \geq 1$,
т.е. при: $W_{0k} \geq (1 + m_{2}/m_{1}) |W_{0п}|$, где $W_{0k} = 0,5 m_{2} v_{0}^{2}$ - начальная кинетическая, a $W_{0п} = q_{1}| q_{2}| / (4 \pi \epsilon_{0} l)$ - начальная потенциальная энергии системы. Физический смысл этого результата таков: если начальная кинетическая энергия системы равна или превышает взятую с коэффициентом $\alpha = (1 + m_{2}/m_{1})$ величину начальной потенциальной энергии притяжения зарядов, то шарики разойдутся на бесконечно большое расстояние и никогда не сблизятся. Когда массы шариков соизмеримы, коэффициент а отличен от единицы. Это отражает тот факт, что начальная кинетическая энергия системы в процессе взаимодействия шариков перераспределяется между ними. Если неограниченно увеличивать массу т, первоначально неподвижного шарика, то множитель а устремится к единице. Бесконечно тяжелый шарик будет оставаться неподвижным. Если при этом $W_{0k} < |W_{0п} |$ то тело, притягивающееся к неподвижному шарику - притягивающему силовому центру, не сможет удалиться от этого центра на бесконечность.
