Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4255
2017-10-14 
Маленькое тело А соскальзывает без начальной скорости по внутренней поверхности полусферы с высоты, равной ее радиусу (см. рис.). Одна половина полусферы абсолютно гладкая, а другая - шероховатая, причем на этой половине коэффициент трения между телом и поверхностью $\mu = 0,15$. Определить ускорение $a$ тела в тот момент, как только оно перейдет на шероховатую поверхность. Ускорение свободного падения принять равным $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Силы, действующие на тело в момент, когда оно оказывается на шероховатой поверхности, изображены на рис., где введены следующие обозначения: $\vec{F}_{тр}$ - сила трения, $\vec{N}$ - нормальная составляющая силы реакции, $m \vec{g}$ - сила тяжести. В соответствии с этим, полное ускорение тела $\vec{a}$ удобно разложить на две составляющие: касательную $a_{ \tau}$ и нормальную $a_{n}$ к поверхности полусферы. Тогда величина ускорения тела равна $a = \sqrt{ a_{ \tau}^{2} + a_{n}^{2}}$. Записывая уравнения движения тела в проекциях на касательное и нормальное к поверхности полусферы направления, имеем в рассматриваемый момент времени:
$ma_{ \tau} = F_{тр} = \mu N, ma_{n} = N - mg$.
Учитывая, что $a_{n} = v^{2}/R$, где $v$ - скорость тела, из последнего уравнения получим: $N = mv^{2}/R + mg$ . Величину $v$ в нижней точке полусферы найдем, используя закон сохранения механической энергии, применимый в данном случае, т.к. вплоть до этой точки тело скользило по гладкой поверхности: $0,5 mv^{2} = mgR$. Объединяя записанные соотношения, находим:
$a_{n} = 2g, a_{ \tau} = 3 \mu g, a = g \sqrt{9 \mu^{2} + 4} = 20,5 м/с^{2}$.
Отметим, что полученный результат позволяет также легко найти угол а, который образует ускорение тела с вертикалью в рассматриваемый момент времени. В самом деле, $\alpha = arctg a_{ \tau }/ a_{n} = arctg 1,5 \mu \approx 12^{ \circ} 40^{ \prime}$.
Маленькое тело А соскальзывает без начальной скорости по внутренней поверхности полусферы с высоты, равной ее радиусу (см. рис.). Одна половина полусферы абсолютно гладкая, а другая - шероховатая, причем на этой половине коэффициент трения между телом и поверхностью $\mu = 0,15$. Определить ускорение $a$ тела в тот момент, как только оно перейдет на шероховатую поверхность. Ускорение свободного падения принять равным $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Силы, действующие на тело в момент, когда оно оказывается на шероховатой поверхности, изображены на рис., где введены следующие обозначения: $\vec{F}_{тр}$ - сила трения, $\vec{N}$ - нормальная составляющая силы реакции, $m \vec{g}$ - сила тяжести. В соответствии с этим, полное ускорение тела $\vec{a}$ удобно разложить на две составляющие: касательную $a_{ \tau}$ и нормальную $a_{n}$ к поверхности полусферы. Тогда величина ускорения тела равна $a = \sqrt{ a_{ \tau}^{2} + a_{n}^{2}}$. Записывая уравнения движения тела в проекциях на касательное и нормальное к поверхности полусферы направления, имеем в рассматриваемый момент времени:
$ma_{ \tau} = F_{тр} = \mu N, ma_{n} = N - mg$.
Учитывая, что $a_{n} = v^{2}/R$, где $v$ - скорость тела, из последнего уравнения получим: $N = mv^{2}/R + mg$ . Величину $v$ в нижней точке полусферы найдем, используя закон сохранения механической энергии, применимый в данном случае, т.к. вплоть до этой точки тело скользило по гладкой поверхности: $0,5 mv^{2} = mgR$. Объединяя записанные соотношения, находим:
$a_{n} = 2g, a_{ \tau} = 3 \mu g, a = g \sqrt{9 \mu^{2} + 4} = 20,5 м/с^{2}$.
Отметим, что полученный результат позволяет также легко найти угол а, который образует ускорение тела с вертикалью в рассматриваемый момент времени. В самом деле, $\alpha = arctg a_{ \tau }/ a_{n} = arctg 1,5 \mu \approx 12^{ \circ} 40^{ \prime}$.
