Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4252
2017-10-14 
Шарик массы $m$ подвешен внутри пустой цистерны на невесомой нити длиной $l$ (рис. 1). В начальный момент $t=0$ цистерна начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянным ускорением $a$. Какое движение будет при этом совершать шарик? Что изменится, если цистерну предварительно заполнить водой?
Решение:
Нужно воспользоваться одним из самых фундаментальных законов природы, так называемым принципом эквивалентности, который лежит в основе релятивистской теории тяготения.
Чтобы сформулировать принцип эквивалентности, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть закрытая лаборатория, например кабина лифта, движется с постоянным ускорением $\vec{a}$ относительно какой-либо инерциальной системы отсчета в области пространства, где отсутствует поле тяготения. Тогда все свободные тела в лифте, которые относительно инерциальной системы не имеют ускорения, будут относительно лифта иметь одинаковое ускорение $- \vec{a}$. Находящийся в закрытом лифте наблюдатель, который не имеет возможности «выглянуть наружу», по поведению этих тел не сможет решить, движется ли лифт с ускорением а или он покоится в однородном поле тяжести, напряженность которого $\vec{g}$ равна $- \vec{a}$. В самом деле, при действии такого поля тяжести все свободные тела в покоящемся лифте будут двигаться с одинаковым ускорением $\vec{g} \ - \vec{a}$.
Такая эквивалентность поля тяжести и ускоренного движения системы отсчета справедлива для любых механических явлений: все механические явления в движущемся с ускорением лифте происходят точно так же, как и в неподвижном лифте, но находящемся в поле тяжести. Сформулировав этот принцип, Эйнштейн распространил его, так же как и принцип относительности, не только на механические явления, но и на все физические явления вообще.
рис.2
рис.3
Применение принципа эквивалентности позволяет упростить рассмотрение многих физических явлений, а нашу задачу вообще превращает в тривиальную. Вместо того чтобы рассматривать ускоренно движущуюся цистерну, будем считать, что она неподвижна, но на все тела в ней действует дополнительное гравитационное поле $\vec{g}_{1} = - \vec{a}$ (рис. 2). Это поле, складываясь с истинным полем тяжести Земли, дает эффективное поле тяжести, напряженность которого $\vec{g}_{2} = \vec{g} + \vec{g}_{1} = \vec{g} - \vec{a}$. Вектор $\vec{g}_{2}$ отклонен от истинной вертикали на угол $\alpha_{0}$, тангенс которого определяется соотношением
$tg \alpha_{0} = a/g$. (1)
Напряженность эффективного поля тяжести находится по теореме Пифагора:
$g_{2} = \sqrt{g^{2} + a^{2}}$. (2)
Ясно, что в положении равновесия нить маятника направлена вдоль вектора $\vec{g}_{2}$. В начальный момент, когда цистерна начинает двигаться с ускорением $\vec{a}$, шарик неподвижен, а нить вертикальна, т. е. маятник отклонен от нового положения равновесия на угол $\alpha_{0}$ влево (рис. 3). Поэтому маятник в пустой цистерне будет совершать относительно нового положения равновесия колебания с угловой амплитудой $\alpha_{0}$. Если ускорение цистерны $a$ мало по сравнению с ускорением свободного падения $g$, то амплитуда колебаний мала и колебания будут гармоническими. Угол отклонения от нового положения равновесия $\alpha (t)$ будет при этом изменяться со временем по закону
$\alpha (t) = - \alpha_{0} \cos \omega t$, (3)
где частота $\omega$ при малой амплитуде определяется соотношением
$\omega^{2} = \frac{g_{2}}{l} = \frac{ \sqrt{g^{2} + a^{2}}}{l} \approx \frac{g}{l} \left ( 1 + \frac{ \alpha_{0}^{2}}{2} \right )$. (4)
При наличии трения эти колебания постепенно затухнут, и маятник остановится в новом положении равновесия.
Используя принцип эквивалентности, легко ответить и на вопрос о том, как будет вести себя маятник в цистерне, заполненной водой. Из-за большой вязкости колебания прекратятся практически сразу, и маятник остановится в положении равновесия. Если плотность шарика больше, чем плотность воды, то положение равновесия маятника будет таким же, как и в пустой цистерне. Если же плотность шарика меньше, чем плотность воды, то угол отклонения нити в положении равновесия отличается на я. При заполнении цистерны водой шарик всплывет под действием архимедовой силы, направленной противоположно силе тяжести. При движении цистерны с ускорением $\vec{a}$ архимедова сила направлена противоположно вектору $\vec{g}_{2}$ (рис. 4).
рис.4
Шарик массы $m$ подвешен внутри пустой цистерны на невесомой нити длиной $l$ (рис. 1). В начальный момент $t=0$ цистерна начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянным ускорением $a$. Какое движение будет при этом совершать шарик? Что изменится, если цистерну предварительно заполнить водой?
Решение:
Нужно воспользоваться одним из самых фундаментальных законов природы, так называемым принципом эквивалентности, который лежит в основе релятивистской теории тяготения.
Чтобы сформулировать принцип эквивалентности, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть закрытая лаборатория, например кабина лифта, движется с постоянным ускорением $\vec{a}$ относительно какой-либо инерциальной системы отсчета в области пространства, где отсутствует поле тяготения. Тогда все свободные тела в лифте, которые относительно инерциальной системы не имеют ускорения, будут относительно лифта иметь одинаковое ускорение $- \vec{a}$. Находящийся в закрытом лифте наблюдатель, который не имеет возможности «выглянуть наружу», по поведению этих тел не сможет решить, движется ли лифт с ускорением а или он покоится в однородном поле тяжести, напряженность которого $\vec{g}$ равна $- \vec{a}$. В самом деле, при действии такого поля тяжести все свободные тела в покоящемся лифте будут двигаться с одинаковым ускорением $\vec{g} \ - \vec{a}$.
Такая эквивалентность поля тяжести и ускоренного движения системы отсчета справедлива для любых механических явлений: все механические явления в движущемся с ускорением лифте происходят точно так же, как и в неподвижном лифте, но находящемся в поле тяжести. Сформулировав этот принцип, Эйнштейн распространил его, так же как и принцип относительности, не только на механические явления, но и на все физические явления вообще.
рис.2
рис.3
Применение принципа эквивалентности позволяет упростить рассмотрение многих физических явлений, а нашу задачу вообще превращает в тривиальную. Вместо того чтобы рассматривать ускоренно движущуюся цистерну, будем считать, что она неподвижна, но на все тела в ней действует дополнительное гравитационное поле $\vec{g}_{1} = - \vec{a}$ (рис. 2). Это поле, складываясь с истинным полем тяжести Земли, дает эффективное поле тяжести, напряженность которого $\vec{g}_{2} = \vec{g} + \vec{g}_{1} = \vec{g} - \vec{a}$. Вектор $\vec{g}_{2}$ отклонен от истинной вертикали на угол $\alpha_{0}$, тангенс которого определяется соотношением
$tg \alpha_{0} = a/g$. (1)
Напряженность эффективного поля тяжести находится по теореме Пифагора:
$g_{2} = \sqrt{g^{2} + a^{2}}$. (2)
Ясно, что в положении равновесия нить маятника направлена вдоль вектора $\vec{g}_{2}$. В начальный момент, когда цистерна начинает двигаться с ускорением $\vec{a}$, шарик неподвижен, а нить вертикальна, т. е. маятник отклонен от нового положения равновесия на угол $\alpha_{0}$ влево (рис. 3). Поэтому маятник в пустой цистерне будет совершать относительно нового положения равновесия колебания с угловой амплитудой $\alpha_{0}$. Если ускорение цистерны $a$ мало по сравнению с ускорением свободного падения $g$, то амплитуда колебаний мала и колебания будут гармоническими. Угол отклонения от нового положения равновесия $\alpha (t)$ будет при этом изменяться со временем по закону
$\alpha (t) = - \alpha_{0} \cos \omega t$, (3)
где частота $\omega$ при малой амплитуде определяется соотношением
$\omega^{2} = \frac{g_{2}}{l} = \frac{ \sqrt{g^{2} + a^{2}}}{l} \approx \frac{g}{l} \left ( 1 + \frac{ \alpha_{0}^{2}}{2} \right )$. (4)
При наличии трения эти колебания постепенно затухнут, и маятник остановится в новом положении равновесия.
Используя принцип эквивалентности, легко ответить и на вопрос о том, как будет вести себя маятник в цистерне, заполненной водой. Из-за большой вязкости колебания прекратятся практически сразу, и маятник остановится в положении равновесия. Если плотность шарика больше, чем плотность воды, то положение равновесия маятника будет таким же, как и в пустой цистерне. Если же плотность шарика меньше, чем плотность воды, то угол отклонения нити в положении равновесия отличается на я. При заполнении цистерны водой шарик всплывет под действием архимедовой силы, направленной противоположно силе тяжести. При движении цистерны с ускорением $\vec{a}$ архимедова сила направлена противоположно вектору $\vec{g}_{2}$ (рис. 4).
рис.4
