Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4251
2017-10-14 
Применение соотношений неопределенностей к движению электрона в атоме показывает, что классическое описание здесь непригодно и необходимо использовать квантовые законы. Соотношения неопределенностей представляют собой фундаментальное положение квантовой теории, которое пе только устанавливает границы применимости классических представлений, но и позволяет исследовать свойства квантовых систем. Рассмотрите атом водорода, пользуясь этими соотношениями. Оцените размер атома и энергию связи электрона в основном состоянии (т. е. энергию ионизации).
Решение:
Для ответа на поставленные вопросы действительно достаточно использовать соотношение неопределенностей Гейзенберга, связывающее неопределенности значений координаты электрона и соответствующей проекции его импульса:
$\Delta x \cdot \Delta p_{x} \approx h$. (1)
При этом можно обойтись без детальной теории, основываясь лишь на планетарной модели атома Резерфорда. Согласно этой модели электрон движется по орбите вокруг ядра, и его импульс направлен по касательной к траектории. Поэтому за меру неопределенности положения электрона естественно взять длину орбиты $2 \pi r$, а за меру неопределенности импульса — сам импульс электрона $p$. Это значит, что для электрона в атоме соотношение (1) можно записать в виде
$2 \pi r \cdot p \approx h$,
или, вводя вместо $h$ величину $\hbar = h/2 \pi$ так:
$r \cdot p \approx \hbar$. (2)
Основное состояние атома — это состояние с наименьшей возможной энергией. В ядерной модели энергия атома $E$ включает кинетическую энергию электрона $p^{2}/2m$ и потенциальную энергию взаимодействия электрона с ядром $- e^{2}/r$.
$E = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{e^{2}}{r}$. (3)
В классической теории импульс электрона при заданном радиусе орбиты $r$ определяется с помощью второго закона Ньютона:
$mv^{2}/r = e^{2}/r^{2}$. (4)
Выражая отсюда значение $p = mr$ и подставляя его в (3), получаем
$E = - e^{2}/2r$. (5)
Как видно из этой формулы, энергия атома равна нулю, когда электрон находится на орбите бесконечно большого радиуса, и стремится к бесконечно большому отрицательному значению, когда электрон приближается к ядру. Таким образом, энергия связи электрона равна нулю в первом случае и бесконечно велика во втором. Это значит, что классическая механика вообще не в состоянии объяснить, почему атом имеет определенный конечный размер и определенную энергию связи.
Но в микромире второй закон Ньютона несправедлив. Как видно из соотношения неопределенностей (2), при уменьшении радиуса атома $r$ импульс электрона $p$ растет как $1/r$, т. е. не так, как ему предписывает второй закон Ньютона (4), а быстрее. В результате при уменьшении $r$ кинетическая энергия растет быстрее, чем убывает потенциальная, так что при $r \rightarrow 0$ полная энергия атома, даваемая формулой (3), неограниченно возрастает. Отсюда сразу ясно, что электрон не может упасть на ядро и атом должен иметь конечный размер. Чтобы оценить размер и энергию атома в основном состоянии, можно найти минимум выражения (3), выразив в нем $p$ (или $r$) с помощью соотношения (2):
$E \approx \frac{p^{2}}{2m} - \frac{e^{2}p}{ \hbar}$. (6)
Приравнивая нулю производную правой части по $p$, находим то значение импульса $p_{0}$, при котором полная энергия минимальна:
$p_{0} = me^{2}/ \hbar$. (7)
Как видно из соотношения (2), соответствующее такому импульсу значение радиуса
$r_{0} = \hbar^{2}/ me^{1} = 0,53 \cdot 10^{-8} см$. (8)
Подставляя эти значения $r_{0}$ и $p_{0}$ в формулу (3) (или значение $p_{0}$ в формулу (6)), находим энергию атома в основном состоянии
$E_{0} = - me^{4}/2 \hbar^{2} = - 13,53 эВ$. (9)
Таким образом, для того чтобы ионизировать атом водорода, необходима энергия 13,53 эВ.
По смыслу решения можно было ожидать получения лишь правильного порядка величин. Однако найденные выражения для радиуса атома $r_{0}$ и энергии $E_{0}$ совпадают со значениями, которые дает модель атома водорода по Бору, в основе которой лежит идея квантования момента импульса электрона. Как мы видим, размер атома и энергию связи электрона можно определить, не прибегая к правилам квантования, а используя только соотношение неопределенностей. Совпадению полученных выше приближенных оценок с точными значениями соответствующих величин не следует придавать слишком большого значения. Важно лишь, что соотношение неопределенностей позволяет найти правильный порядок этих величин. При этом основное состояние атома определяется компромиссом, при котором полная энергия имеет наименьшее возможное значение, допускаемое соотношениями неопределенностей.
Отметим, что рассмотренный в этой задаче подход, основанный на соотношениях неопределенностей,, дает внутренне непротиворечивую картину структуры атома. В отличие от теории Бора, этот подход, в частности, дает возможность понять, почему атом водорода в основном состоянии обладает сферической симметрией.
Применение соотношений неопределенностей к движению электрона в атоме показывает, что классическое описание здесь непригодно и необходимо использовать квантовые законы. Соотношения неопределенностей представляют собой фундаментальное положение квантовой теории, которое пе только устанавливает границы применимости классических представлений, но и позволяет исследовать свойства квантовых систем. Рассмотрите атом водорода, пользуясь этими соотношениями. Оцените размер атома и энергию связи электрона в основном состоянии (т. е. энергию ионизации).
Решение:
Для ответа на поставленные вопросы действительно достаточно использовать соотношение неопределенностей Гейзенберга, связывающее неопределенности значений координаты электрона и соответствующей проекции его импульса:
$\Delta x \cdot \Delta p_{x} \approx h$. (1)
При этом можно обойтись без детальной теории, основываясь лишь на планетарной модели атома Резерфорда. Согласно этой модели электрон движется по орбите вокруг ядра, и его импульс направлен по касательной к траектории. Поэтому за меру неопределенности положения электрона естественно взять длину орбиты $2 \pi r$, а за меру неопределенности импульса — сам импульс электрона $p$. Это значит, что для электрона в атоме соотношение (1) можно записать в виде
$2 \pi r \cdot p \approx h$,
или, вводя вместо $h$ величину $\hbar = h/2 \pi$ так:
$r \cdot p \approx \hbar$. (2)
Основное состояние атома — это состояние с наименьшей возможной энергией. В ядерной модели энергия атома $E$ включает кинетическую энергию электрона $p^{2}/2m$ и потенциальную энергию взаимодействия электрона с ядром $- e^{2}/r$.
$E = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{e^{2}}{r}$. (3)
В классической теории импульс электрона при заданном радиусе орбиты $r$ определяется с помощью второго закона Ньютона:
$mv^{2}/r = e^{2}/r^{2}$. (4)
Выражая отсюда значение $p = mr$ и подставляя его в (3), получаем
$E = - e^{2}/2r$. (5)
Как видно из этой формулы, энергия атома равна нулю, когда электрон находится на орбите бесконечно большого радиуса, и стремится к бесконечно большому отрицательному значению, когда электрон приближается к ядру. Таким образом, энергия связи электрона равна нулю в первом случае и бесконечно велика во втором. Это значит, что классическая механика вообще не в состоянии объяснить, почему атом имеет определенный конечный размер и определенную энергию связи.
Но в микромире второй закон Ньютона несправедлив. Как видно из соотношения неопределенностей (2), при уменьшении радиуса атома $r$ импульс электрона $p$ растет как $1/r$, т. е. не так, как ему предписывает второй закон Ньютона (4), а быстрее. В результате при уменьшении $r$ кинетическая энергия растет быстрее, чем убывает потенциальная, так что при $r \rightarrow 0$ полная энергия атома, даваемая формулой (3), неограниченно возрастает. Отсюда сразу ясно, что электрон не может упасть на ядро и атом должен иметь конечный размер. Чтобы оценить размер и энергию атома в основном состоянии, можно найти минимум выражения (3), выразив в нем $p$ (или $r$) с помощью соотношения (2):
$E \approx \frac{p^{2}}{2m} - \frac{e^{2}p}{ \hbar}$. (6)
Приравнивая нулю производную правой части по $p$, находим то значение импульса $p_{0}$, при котором полная энергия минимальна:
$p_{0} = me^{2}/ \hbar$. (7)
Как видно из соотношения (2), соответствующее такому импульсу значение радиуса
$r_{0} = \hbar^{2}/ me^{1} = 0,53 \cdot 10^{-8} см$. (8)
Подставляя эти значения $r_{0}$ и $p_{0}$ в формулу (3) (или значение $p_{0}$ в формулу (6)), находим энергию атома в основном состоянии
$E_{0} = - me^{4}/2 \hbar^{2} = - 13,53 эВ$. (9)
Таким образом, для того чтобы ионизировать атом водорода, необходима энергия 13,53 эВ.
По смыслу решения можно было ожидать получения лишь правильного порядка величин. Однако найденные выражения для радиуса атома $r_{0}$ и энергии $E_{0}$ совпадают со значениями, которые дает модель атома водорода по Бору, в основе которой лежит идея квантования момента импульса электрона. Как мы видим, размер атома и энергию связи электрона можно определить, не прибегая к правилам квантования, а используя только соотношение неопределенностей. Совпадению полученных выше приближенных оценок с точными значениями соответствующих величин не следует придавать слишком большого значения. Важно лишь, что соотношение неопределенностей позволяет найти правильный порядок этих величин. При этом основное состояние атома определяется компромиссом, при котором полная энергия имеет наименьшее возможное значение, допускаемое соотношениями неопределенностей.
Отметим, что рассмотренный в этой задаче подход, основанный на соотношениях неопределенностей,, дает внутренне непротиворечивую картину структуры атома. В отличие от теории Бора, этот подход, в частности, дает возможность понять, почему атом водорода в основном состоянии обладает сферической симметрией.
