Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4250
2017-10-14 
Для уменьшения размеров пятна на экране электронно-лучевой трубки можно после катода на некотором расстоянии $l$друг от друга поставить две диафрагмы с отверстиями (рис. 1). Покажите, что для второго отверстия существует оптимальный диаметр, соответствующий наименьшему размеру пятна на экране.
Решение:
После прохождения ускоряющего промежутка, на который подано постоянное напряжение $V$, электроны в трубке движутся равномерно, с практически одинаковыми по модулю импульсами $p$, определяемыми из соотношения
$p^{2}/2m = eV$. (1)
Для кинетической энергии электронов здесь использовано нерелятивистское выражение, поскольку на практике при ускоряющих напряжениях порядка 10 кВ электроны разгоняются до скорости, не превышающей 0,2 скорости света. Релятивистские поправки составляют при этом всего 2 %.
рис.2
Будем сначала считать электрон классической частицей, движение которой описывается законами Ньютона. Пусть отверстие в первой диафрагме настолько мало, что его можно считать точечным. В этом случае диаметр пятна на экране трубки будет тем меньше, чем меньше отверстие во второй диафрагме. В самом деле, электроны в пучке движутся прямолинейно, и из рис. 2 видно, что угловой размер пятна $\theta$ определяется соотношением
$\theta = d/l$, (2)
где $d$ — диаметр отверстия во второй диафрагме. Поэтому ясно, что если бы электроны действительно вели себя как классические частицы, то размер пятна на экране трубки можно было бы сделать сколь угодно малым. Но в действительности это не так. Если неограниченно уменьшать диаметр отверстия во второй диафрагме, то классические представления о движении электрона по определенной траектории рано или поздно окажутся неприменимыми. Как определить, с какого момента в рассматриваемой системе начнут проявляться квантовые закономерности и к каким последствиям для размера пятна на экране это приведет?
Ответ на этот вопрос можно получить с помощью соотношений неопределенностей Гейзенберга, которые устанавливают пределы применимости классического способа описания. Если электрон прошел через отверстие во второй диафрагме, то неопределенность в значении его координаты в направлении поперек пучка $\Delta x$ определяется размером отверстия $d$:
$\Delta x \approx d$. (3)
В силу соотношения неопределенностей при прохождении через это отверстие электрон приобретает неконтролируемый импульс $\Delta p_{x}$, перпендикулярный оси пучка:
$\Delta p_{x} \approx h/ \Delta x \approx h/d$. (4)
В результате после прохождения диафрагмы появляется неопределенность в направлении движения электрона, обусловленная действием квантовых закономерностей. Для характеристики этой неопределенности удобно ввести угол $\theta_{кв}$ согласно соотношению
$\theta_{кв} = \frac{ \Delta p_{x}}{p} \approx \frac{h}{pd}$. (5)
Таким образом, как видно из формулы (5), благодаря квантовым эффектам при уменьшении диаметра отверстия $d$ происходит расширение пучка и, как следствие, увеличение размера пятна на экране трубки. Очевидно, что уменьшать отверстие в диафрагме следует только до тех пор, пока размытие пучка $\theta_{кв}$ не сравняется с его угловым размером $\theta$, определяемым классическими траекториями электронов: $\theta_{кв} = 0$. Используя соотношения (5) и (2), из этого условия определяем оптимальный размер отверстия во второй диафрагме:
$d \approx \sqrt{hl/p}$. (6)
Если сделать диаметр отверстия меньше этой величины, то диаметр пятна увеличится вследствие квантовых эффектов.
К результату, выражаемому формулой (6), можно прийти и другим путем, не используя соотношения неопределенностей Гейзенберга. Действие квантовых закономерностей проявляется в том, что электрон обладает волновыми свойствами, которые приводят к дифракционным явлениям. Длина волны $\lambda$, соответствующей электрону, зависит от его импульса и определяется соотношением де-Бройля:
$\lambda = h/p$. (7)
Для того чтобы воспользоваться этим соотношением для ответа на вопрос задачи, нужно прежде всего сообразить, что классическому представлению о движении электроном по определенным траекториям соответствует приближение геометрической оптики, в котором описание распространения волн производится с помощью понятия лучей. Короче — классическим траекториям соответствуют лучи. В рассматриваемом опыте прямолинейному классическому движению электронов между диафрагмами и экраном соответствует пучок прямолинейных лучей. В этом приближении чем меньше размер отверстия, тем меньше размер пятна на экране, в полном соответствии с формулой (2). Но уменьшение размера отверстия в конце концов приведет к проявлению дифракционных явлений. Дифракционные явления в любом приборе дают отклонения от геометрического закона распространения лучей на углы порядка отношения длины волны к размеру препятствия. Поэтому характерный угловой размер $\theta_{вол}$ дифракционного расширения при прохождении волны через отверстие диаметром $d$ определяется соотношением
$\theta_{вол} = \lambda / d$. (8)
Если подставить сюда дебройлевскую длину волны электрона из формулы (7), то для углового расширения пучка за счет проявления квантовых эффектов получится прежнее выражение (5).
Приведем числовые оценки для оптимального размера отверстия во второй диафрагме. При ускоряющем напряжении $V = 10 кВ$ импульс электрона составляет, как следует из формулы (1), $p = 5,4 \cdot 10^{-18} г \cdot см/с$. Примем расстояние между диафрагмами $l$ равным 1 см. Тогда согласно формуле (6) для оптимального диаметра получаем $d = 3,5 \cdot 10^{-5} см$. Размер пятна $D$ на экране, отстоящем от диафрагмы на расстояние $L$, вычисляется, как видно из рис. 1, по формуле
$D = L \cdot \theta = \frac{d}{l} L$
и при $L = 50 см$ не превосходит $2 \cdot 10^{-3} см$.
Практически добиваться получения пятна столь малого размера нет необходимости. Поэтому размер отверстия в диафрагме можно делать больше. При этом квантовые эффекты в движении электронов проявляться не будут, и их траектории можно рассчитывать по законам классической механики.
Как ясно из приведенного решения этой задачи, наглядное представление о границах применимости классического описания движения частиц можно получить, оценивая соответствующую им длину волны де-Бройля. В рассмотренном примере согласно формуле (7) эта длина волны $\lambda = 10^{-9} см$. При больших энергиях электронов дебройлевская длина волны будет еще меньше, и их движение в макроскопических приборах можно описывать классически. Например, в камере Вильсона след заряженной частицы представляет собой цепочку водяных капель, каждая диаметром около $10^{-3} см$. В этих условиях, когда поперечная координата пролетающей частицы задается именно с такой неопределенностью, ее можно рассматривать как классическую частицу, движущуюся по траектории.
Для уменьшения размеров пятна на экране электронно-лучевой трубки можно после катода на некотором расстоянии $l$друг от друга поставить две диафрагмы с отверстиями (рис. 1). Покажите, что для второго отверстия существует оптимальный диаметр, соответствующий наименьшему размеру пятна на экране.
Решение:
После прохождения ускоряющего промежутка, на который подано постоянное напряжение $V$, электроны в трубке движутся равномерно, с практически одинаковыми по модулю импульсами $p$, определяемыми из соотношения
$p^{2}/2m = eV$. (1)
Для кинетической энергии электронов здесь использовано нерелятивистское выражение, поскольку на практике при ускоряющих напряжениях порядка 10 кВ электроны разгоняются до скорости, не превышающей 0,2 скорости света. Релятивистские поправки составляют при этом всего 2 %.
рис.2
Будем сначала считать электрон классической частицей, движение которой описывается законами Ньютона. Пусть отверстие в первой диафрагме настолько мало, что его можно считать точечным. В этом случае диаметр пятна на экране трубки будет тем меньше, чем меньше отверстие во второй диафрагме. В самом деле, электроны в пучке движутся прямолинейно, и из рис. 2 видно, что угловой размер пятна $\theta$ определяется соотношением
$\theta = d/l$, (2)
где $d$ — диаметр отверстия во второй диафрагме. Поэтому ясно, что если бы электроны действительно вели себя как классические частицы, то размер пятна на экране трубки можно было бы сделать сколь угодно малым. Но в действительности это не так. Если неограниченно уменьшать диаметр отверстия во второй диафрагме, то классические представления о движении электрона по определенной траектории рано или поздно окажутся неприменимыми. Как определить, с какого момента в рассматриваемой системе начнут проявляться квантовые закономерности и к каким последствиям для размера пятна на экране это приведет?
Ответ на этот вопрос можно получить с помощью соотношений неопределенностей Гейзенберга, которые устанавливают пределы применимости классического способа описания. Если электрон прошел через отверстие во второй диафрагме, то неопределенность в значении его координаты в направлении поперек пучка $\Delta x$ определяется размером отверстия $d$:
$\Delta x \approx d$. (3)
В силу соотношения неопределенностей при прохождении через это отверстие электрон приобретает неконтролируемый импульс $\Delta p_{x}$, перпендикулярный оси пучка:
$\Delta p_{x} \approx h/ \Delta x \approx h/d$. (4)
В результате после прохождения диафрагмы появляется неопределенность в направлении движения электрона, обусловленная действием квантовых закономерностей. Для характеристики этой неопределенности удобно ввести угол $\theta_{кв}$ согласно соотношению
$\theta_{кв} = \frac{ \Delta p_{x}}{p} \approx \frac{h}{pd}$. (5)
Таким образом, как видно из формулы (5), благодаря квантовым эффектам при уменьшении диаметра отверстия $d$ происходит расширение пучка и, как следствие, увеличение размера пятна на экране трубки. Очевидно, что уменьшать отверстие в диафрагме следует только до тех пор, пока размытие пучка $\theta_{кв}$ не сравняется с его угловым размером $\theta$, определяемым классическими траекториями электронов: $\theta_{кв} = 0$. Используя соотношения (5) и (2), из этого условия определяем оптимальный размер отверстия во второй диафрагме:
$d \approx \sqrt{hl/p}$. (6)
Если сделать диаметр отверстия меньше этой величины, то диаметр пятна увеличится вследствие квантовых эффектов.
К результату, выражаемому формулой (6), можно прийти и другим путем, не используя соотношения неопределенностей Гейзенберга. Действие квантовых закономерностей проявляется в том, что электрон обладает волновыми свойствами, которые приводят к дифракционным явлениям. Длина волны $\lambda$, соответствующей электрону, зависит от его импульса и определяется соотношением де-Бройля:
$\lambda = h/p$. (7)
Для того чтобы воспользоваться этим соотношением для ответа на вопрос задачи, нужно прежде всего сообразить, что классическому представлению о движении электроном по определенным траекториям соответствует приближение геометрической оптики, в котором описание распространения волн производится с помощью понятия лучей. Короче — классическим траекториям соответствуют лучи. В рассматриваемом опыте прямолинейному классическому движению электронов между диафрагмами и экраном соответствует пучок прямолинейных лучей. В этом приближении чем меньше размер отверстия, тем меньше размер пятна на экране, в полном соответствии с формулой (2). Но уменьшение размера отверстия в конце концов приведет к проявлению дифракционных явлений. Дифракционные явления в любом приборе дают отклонения от геометрического закона распространения лучей на углы порядка отношения длины волны к размеру препятствия. Поэтому характерный угловой размер $\theta_{вол}$ дифракционного расширения при прохождении волны через отверстие диаметром $d$ определяется соотношением
$\theta_{вол} = \lambda / d$. (8)
Если подставить сюда дебройлевскую длину волны электрона из формулы (7), то для углового расширения пучка за счет проявления квантовых эффектов получится прежнее выражение (5).
Приведем числовые оценки для оптимального размера отверстия во второй диафрагме. При ускоряющем напряжении $V = 10 кВ$ импульс электрона составляет, как следует из формулы (1), $p = 5,4 \cdot 10^{-18} г \cdot см/с$. Примем расстояние между диафрагмами $l$ равным 1 см. Тогда согласно формуле (6) для оптимального диаметра получаем $d = 3,5 \cdot 10^{-5} см$. Размер пятна $D$ на экране, отстоящем от диафрагмы на расстояние $L$, вычисляется, как видно из рис. 1, по формуле
$D = L \cdot \theta = \frac{d}{l} L$
и при $L = 50 см$ не превосходит $2 \cdot 10^{-3} см$.
Практически добиваться получения пятна столь малого размера нет необходимости. Поэтому размер отверстия в диафрагме можно делать больше. При этом квантовые эффекты в движении электронов проявляться не будут, и их траектории можно рассчитывать по законам классической механики.
Как ясно из приведенного решения этой задачи, наглядное представление о границах применимости классического описания движения частиц можно получить, оценивая соответствующую им длину волны де-Бройля. В рассмотренном примере согласно формуле (7) эта длина волны $\lambda = 10^{-9} см$. При больших энергиях электронов дебройлевская длина волны будет еще меньше, и их движение в макроскопических приборах можно описывать классически. Например, в камере Вильсона след заряженной частицы представляет собой цепочку водяных капель, каждая диаметром около $10^{-3} см$. В этих условиях, когда поперечная координата пролетающей частицы задается именно с такой неопределенностью, ее можно рассматривать как классическую частицу, движущуюся по траектории.
