Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4249
2017-10-14 
На шарик электрометра падает рентгеновское излучение. Угол отклонения стрелки перестает изменяться, когда разность потенциалов между шариком электрометра и землей достигает значения $U = 8 кВ$. Какова длина волны падающего рентгеновского излучения? Какое напряжение $V$ подано на электроды рентгеновской трубки?
Решение:
Прежде всего выясним, откуда берется заряд на шарике электрометра. Если электрометр предварительно не был заряжен, то единственная причина появления зарядов — фотоэффект, вызываемый рентгеновским излучением. При выбивании электронов шарик прибора заряжается положительно. Однако с ростом заряда на шарике увеличивающееся электрическое поле не дает выбитым электронам возможности улететь, если их кинетическая энергия недостаточно велика. С учетом тормозящего действия возникающего электрического поля уравнение Эйнштейна, т. е. закон сохранения энергии для элементарного акта фотоэффекта, запишется в виде
$h \nu = A + \frac{mv^{2}}{2} + eU$. (1)
В этом выражении $A$ — работа выхода электрона из материала шарика электрометра, $v$ — скорость вылетевшего электрона на большом расстоянии от шарика, $U$ — разность потенциалов между шариком электрометра и землей, $e$ — абсолютная величина заряда электрона.
Очевидно, что увеличение заряда шарика будет продолжаться до тех пор, пока его потенциал не достигнет такого значения, при котором все выбитые электроны будут возвращаться на электрометр. Другими словами, $U$ в правой части уравнения (1) достигает максимального значения, когда скорость выбитого электрона $v$ на бесконечности обращается в нуль.
Таким образом, при заданной частоте $\nu$ рентгеновского излучения установившееся значение напряжения $U$ на электрометре определяется соотношением
$h \nu = A + eU$. (2)
Из уравнения (2) мы могли бы определить частоту падающего рентгеновского излучения по известному напряжению $U$, если бы мы знали работу выхода $A$. Однако в условии задачи не указано, из какого материала сделан шарик электрометра, но совершенно ясно, что он металлический. Характерное значение работы выхода электронов из металлов составляет несколько электрон-вольт (например, для серебра 4,7 эВ). Между тем заданное значение напряжения на электрометре равно 8 кВ, т. е. второй член в правой части уравнения (2) примерно на три порядка больше первого. Поэтому можно пренебречь величиной $A$ по сравнению с $eU$. В результате получаем
$h \nu = eU$, (3}
откуда для длины волны рентгеновского излучения $\lambda$ находим
$\lambda = c/ \nu = ch / eU$.
Подставляя числовые значения, получаем $\lambda \approx 1,5 \cdot 10^{-10} м= =0,15 нм$. Разумеется, что это есть граничное, наименьшее возможное значение длины волны. При этом в спектре рентгеновского излучения могут присутствовать и большие длины волн, причем любой интенсивности.
Для ответа на второй вопрос задачи остается выяснить, каким должно быть напряжение на электродах рентгеновской трубки для того, чтобы найденная нами длина волны $\lambda$ была бы наименьшей в излучаемом спектре.
Рентгеновское излучение бывает двух типов — характеристическое и тормозное. Характеристическое излучение возникает при переходах электронов между глубокими уровнями энергии атома при возбуждении последнего в результате столкновения с быстрым электроном. Как и оптическое излучение отдельных атомов, характеристическое рентгеновское излучение состоит из отдельных дискретных линий, причем для каждого химического элемента характерен свой набор линий. Тормозное рентгеновское излучение испускается самими налетающими электронами при их замедлении в веществе антикатода рентгеновской трубки. Это излучение, в отличие от характеристического, имеет непрерывный спектр. Рассматривая элементарный акт тормозного излучения, можно убедиться, что сплошной спектр имеет коротковолновую границу $\lambda_{0}$, и связать ее с ускоряющим напряжением $V$ на рентгеновской трубке.
Как мы видели, свободный равномерно движущийся электрон не излучает. Поэтому рентгеновское излучение возникает только при взаимодействии разогнанного электрона с веществом антикатода. Если считать, что при этом вся кинетическая энергия электрона может целиком превратиться в излучение, то граничную частоту $\nu_{0}$ можно определить сразу из соотношения
$h \nu_{0} = eV$. (4)
Здесь $eV$ — работа, совершенная при разгоне электрона силами ускоряющего электрического поля рентгеновской трубки.
Однако применение одного лишь закона сохранения энергии может привести к получению неправильных значений пороговых величин, так как такое энергетическое превращение может оказаться несовместимым с законом сохранения импульса. С подобным примером мы уже встречались в задаче 4247 при рассмотрении рождения фотоном электрон-позитронной пары вблизи покоящегося электрона. Поэтому для определения коротковолновой границы сплошного спектра тормозного рентгеновского излучения следует, строго говоря, применить к элементарному акту как закон сохранения энергии, так и закон сохранения импульса.
Испускание рентгеновского фотона может произойти, когда электрон пролетает вблизи какого-либо ядра вещества антикатода, испытывая действие сильного электрического поля. В этом случае электрон может передать часть своего импульса ядру, что обеспечит сохранение полной энергии, и импульса всей системы. Поскольку масса ядра много больше массы электрона, то в элементарном акте взаимодействия с электроном, при котором рождается рентгеновский фотон, ядро может «принять на себя» любой импульс, практически не получив при этом никакой энергии. Поэтому закону сохранения импульса не будет противоречить процесс, при котором налетающий электрон останавливается, расходуя всю свою кинетическую энергию только на излучение фотона. Именно этому процессу и соответствует уравнение (4).
В рассуждениях использовалось только то обстоятельство, что масса налетающего электрона много меньше массы ядра. Какое именно ядро участвует в процессе — значения не имеет. Поэтому верхняя граница частоты тормозного излучения $\nu_{0}$ не зависит от материала антикатода. Так как при излучении фотона с энергией $h \nu_{0}$ электрон передает ему всю свою энергию, то совершенно ясно, что при данном ускоряющем напряжении $V$ на трубке частота и характеристического излучения не может быть больше значения $\nu_{0}$, определяемого уравнением (4).
Теперь для ответа на второй вопрос задачи нужно только сравнить формулы (3) и (4). Поскольку установившееся значение разности потенциалов $U$ между шариком электрометра и землей при фотоэффекте определяется именно верхней границей частот падающего рентгеновского излучения, то ускоряющее напряжение на рентгеновской трубке $V$ как раз равно $U$, т. е. 8 кВ.
На шарик электрометра падает рентгеновское излучение. Угол отклонения стрелки перестает изменяться, когда разность потенциалов между шариком электрометра и землей достигает значения $U = 8 кВ$. Какова длина волны падающего рентгеновского излучения? Какое напряжение $V$ подано на электроды рентгеновской трубки?
Решение:
Прежде всего выясним, откуда берется заряд на шарике электрометра. Если электрометр предварительно не был заряжен, то единственная причина появления зарядов — фотоэффект, вызываемый рентгеновским излучением. При выбивании электронов шарик прибора заряжается положительно. Однако с ростом заряда на шарике увеличивающееся электрическое поле не дает выбитым электронам возможности улететь, если их кинетическая энергия недостаточно велика. С учетом тормозящего действия возникающего электрического поля уравнение Эйнштейна, т. е. закон сохранения энергии для элементарного акта фотоэффекта, запишется в виде
$h \nu = A + \frac{mv^{2}}{2} + eU$. (1)
В этом выражении $A$ — работа выхода электрона из материала шарика электрометра, $v$ — скорость вылетевшего электрона на большом расстоянии от шарика, $U$ — разность потенциалов между шариком электрометра и землей, $e$ — абсолютная величина заряда электрона.
Очевидно, что увеличение заряда шарика будет продолжаться до тех пор, пока его потенциал не достигнет такого значения, при котором все выбитые электроны будут возвращаться на электрометр. Другими словами, $U$ в правой части уравнения (1) достигает максимального значения, когда скорость выбитого электрона $v$ на бесконечности обращается в нуль.
Таким образом, при заданной частоте $\nu$ рентгеновского излучения установившееся значение напряжения $U$ на электрометре определяется соотношением
$h \nu = A + eU$. (2)
Из уравнения (2) мы могли бы определить частоту падающего рентгеновского излучения по известному напряжению $U$, если бы мы знали работу выхода $A$. Однако в условии задачи не указано, из какого материала сделан шарик электрометра, но совершенно ясно, что он металлический. Характерное значение работы выхода электронов из металлов составляет несколько электрон-вольт (например, для серебра 4,7 эВ). Между тем заданное значение напряжения на электрометре равно 8 кВ, т. е. второй член в правой части уравнения (2) примерно на три порядка больше первого. Поэтому можно пренебречь величиной $A$ по сравнению с $eU$. В результате получаем
$h \nu = eU$, (3}
откуда для длины волны рентгеновского излучения $\lambda$ находим
$\lambda = c/ \nu = ch / eU$.
Подставляя числовые значения, получаем $\lambda \approx 1,5 \cdot 10^{-10} м= =0,15 нм$. Разумеется, что это есть граничное, наименьшее возможное значение длины волны. При этом в спектре рентгеновского излучения могут присутствовать и большие длины волн, причем любой интенсивности.
Для ответа на второй вопрос задачи остается выяснить, каким должно быть напряжение на электродах рентгеновской трубки для того, чтобы найденная нами длина волны $\lambda$ была бы наименьшей в излучаемом спектре.
Рентгеновское излучение бывает двух типов — характеристическое и тормозное. Характеристическое излучение возникает при переходах электронов между глубокими уровнями энергии атома при возбуждении последнего в результате столкновения с быстрым электроном. Как и оптическое излучение отдельных атомов, характеристическое рентгеновское излучение состоит из отдельных дискретных линий, причем для каждого химического элемента характерен свой набор линий. Тормозное рентгеновское излучение испускается самими налетающими электронами при их замедлении в веществе антикатода рентгеновской трубки. Это излучение, в отличие от характеристического, имеет непрерывный спектр. Рассматривая элементарный акт тормозного излучения, можно убедиться, что сплошной спектр имеет коротковолновую границу $\lambda_{0}$, и связать ее с ускоряющим напряжением $V$ на рентгеновской трубке.
Как мы видели, свободный равномерно движущийся электрон не излучает. Поэтому рентгеновское излучение возникает только при взаимодействии разогнанного электрона с веществом антикатода. Если считать, что при этом вся кинетическая энергия электрона может целиком превратиться в излучение, то граничную частоту $\nu_{0}$ можно определить сразу из соотношения
$h \nu_{0} = eV$. (4)
Здесь $eV$ — работа, совершенная при разгоне электрона силами ускоряющего электрического поля рентгеновской трубки.
Однако применение одного лишь закона сохранения энергии может привести к получению неправильных значений пороговых величин, так как такое энергетическое превращение может оказаться несовместимым с законом сохранения импульса. С подобным примером мы уже встречались в задаче 4247 при рассмотрении рождения фотоном электрон-позитронной пары вблизи покоящегося электрона. Поэтому для определения коротковолновой границы сплошного спектра тормозного рентгеновского излучения следует, строго говоря, применить к элементарному акту как закон сохранения энергии, так и закон сохранения импульса.
Испускание рентгеновского фотона может произойти, когда электрон пролетает вблизи какого-либо ядра вещества антикатода, испытывая действие сильного электрического поля. В этом случае электрон может передать часть своего импульса ядру, что обеспечит сохранение полной энергии, и импульса всей системы. Поскольку масса ядра много больше массы электрона, то в элементарном акте взаимодействия с электроном, при котором рождается рентгеновский фотон, ядро может «принять на себя» любой импульс, практически не получив при этом никакой энергии. Поэтому закону сохранения импульса не будет противоречить процесс, при котором налетающий электрон останавливается, расходуя всю свою кинетическую энергию только на излучение фотона. Именно этому процессу и соответствует уравнение (4).
В рассуждениях использовалось только то обстоятельство, что масса налетающего электрона много меньше массы ядра. Какое именно ядро участвует в процессе — значения не имеет. Поэтому верхняя граница частоты тормозного излучения $\nu_{0}$ не зависит от материала антикатода. Так как при излучении фотона с энергией $h \nu_{0}$ электрон передает ему всю свою энергию, то совершенно ясно, что при данном ускоряющем напряжении $V$ на трубке частота и характеристического излучения не может быть больше значения $\nu_{0}$, определяемого уравнением (4).
Теперь для ответа на второй вопрос задачи нужно только сравнить формулы (3) и (4). Поскольку установившееся значение разности потенциалов $U$ между шариком электрометра и землей при фотоэффекте определяется именно верхней границей частот падающего рентгеновского излучения, то ускоряющее напряжение на рентгеновской трубке $V$ как раз равно $U$, т. е. 8 кВ.
