Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4248
2017-10-14 
На неподвижное идеальное плоское зеркало массы $m$ нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала и энергию отраженной от него волны, если энергия падающей волны равна $W_{0}$.
Решение:
На протяжении всей книги мы много раз убеждались, что очень многие задачи можно решить, не вникая в детали происходящих физических явлений. Для ответа на многие вопросы достаточно только представить общую картину рассматриваемых явлений и правильно применить подходящие фундаментальные законы сохранения. Так и в этой задаче. Точное динамическое решение здесь сопряжено с большими трудностями. В самом деле, энергия отраженной от зеркала волны зависит от того, как движется зеркало, а закон движения зеркала определяется его взаимодействием со световой волной. Однако совершенно ясно, что, независимо от механизма взаимодействия электромагнитной волны с зеркалом, должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, поскольку рассматриваемая система — зеркало и световая волна — является замкнутой. Использование этих законов дает возможность без труда решить эту задачу даже с учетом релятивистских эффектов, когда становится существенной зависимость массы движущегося тела от его скорости.
Приступим к решению задачи. Энергия падающей на зеркало световой волны равна $W_{0}$, а энергию отраженной волны обозначим через $W_{1}$. Вначале зеркало покоится. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде
$W_{0} + m_{0}c^{2} = W_{1} + \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$. (1)
Так как энергия электромагнитного поля $W$ связана с его импульсом $p$ соотношением
$p = W/c$, (2)
то закон сохранения импульса принимает вид
$\frac{W_{0}}{c} = - \frac{W_{1}}{c} + \frac{m_{0}v}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$. (3)
Знак минус в первом члене правой части формулы (3) соответствует тому, что отраженная от зеркала волна движется в обратном направлении. Для исключения энергии отраженной волны $W_{1}$ умножим обе части равенства (3) на с и сложим почленно с (1). Тогда получим
$2W_{0} + m_{0}c^{2} = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} (1 + v/c)$. (4)
Простыми преобразованиями выражение (4) можно привести к виду
$\frac{}{} = \left ( 1 + \frac{2W_{0}}{m_{0}c^{2}} \right )^{2} $. (5)
Отсюда получим выражение для конечной скорости зеркала $v$:
$v = c \frac{(1 + 2W_{0}/m_{0}c^{2})^{2} - 1}{(1 + 2W_{0}/m_{0}c^{2})^{2} + 1}$. (6)
Теперь найдем энергию отраженной волны $W_{1}$. Для этого вычтем из выражения (1) равенство (3), умноженное на $c$:
$m_{0}c^{2} = 2W_{1} + m_{0}c^{2} \sqrt{ \frac{c-v}{c+v}}$, (7)
откуда с помощью (5) легко находим энергию отраженной волны $W_{1}$:
$W_{1} = \frac{W_{0}}{1 + 2 W_{0} / m_{0}c^{2}}$. (8)
Интересно отметить, что энергия отраженной волны не может превышать половины энергии покоя зеркала, какой бы большой ни была энергия падающей волны. Действительно, пренебрегая единицей в знаменателе (8), мы только увеличим правую часть, поэтому
$W_{1} < \frac{W_{0}}{2W_{0}/m_{0}c^{2}} = \frac{m_{0}c^{2}}{2}$.
Таким образом, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передается зеркалу. При $W_{0} \gg m_{0}c^{2}$ практически вся энергия волны передается зеркалу. Отражается только малая часть энергии, равная, как мы только что видели, $m_{0}c^{2}/2$. Подчеркнем еще раз, что этот результат мы получили, совершенно не вникая в механизм взаимодействия электромагнитной волны с веществом, из которого сделано зеркало!
Интересно отметить другой предельный случай, когда энергия падающей волны много меньше энергии покоя зеркала: $W_{0} \ll m_{0}c^{2}$. В этом нерелятивистском случае формулы (6) и (8) можно упростить. В знаменателе выражения (6) можно вторым слагаемым в скобках пренебречь по сравнению с единицей, а в числителе при возведении скобки в квадрат следует сохранить удвоенное произведение, ибо единицы взаимно уничтожаются. В результате получаем
$v/c \approx 2W_{0}/m_{0}c^{2}$. (9)
Так как при $x \ll 1$ справедлива приближенная формула $(1 + x)^{-1} \approx 1 -x$, то выражение (8) при $W_{0} \ll m_{0}x^{2}$ можно привести к виду
$\frac{ \Delta W}{W_{0}} = \frac{W_{0} - W_{1}}{W_{0}} \approx \frac{|2W_{0}|}{m_{0}c^{2}}$. (10)
Из этих соотношений видно, что в этом случае волна почти целиком отражается от зеркала, передавая ему лишь ничтожную часть своей энергии. Поэтому «фотонный парус» может быть эффективным только тогда, когда энергия падающей на него волны сравнима с его энергией покоя
На неподвижное идеальное плоское зеркало массы $m$ нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала и энергию отраженной от него волны, если энергия падающей волны равна $W_{0}$.
Решение:
На протяжении всей книги мы много раз убеждались, что очень многие задачи можно решить, не вникая в детали происходящих физических явлений. Для ответа на многие вопросы достаточно только представить общую картину рассматриваемых явлений и правильно применить подходящие фундаментальные законы сохранения. Так и в этой задаче. Точное динамическое решение здесь сопряжено с большими трудностями. В самом деле, энергия отраженной от зеркала волны зависит от того, как движется зеркало, а закон движения зеркала определяется его взаимодействием со световой волной. Однако совершенно ясно, что, независимо от механизма взаимодействия электромагнитной волны с зеркалом, должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, поскольку рассматриваемая система — зеркало и световая волна — является замкнутой. Использование этих законов дает возможность без труда решить эту задачу даже с учетом релятивистских эффектов, когда становится существенной зависимость массы движущегося тела от его скорости.
Приступим к решению задачи. Энергия падающей на зеркало световой волны равна $W_{0}$, а энергию отраженной волны обозначим через $W_{1}$. Вначале зеркало покоится. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде
$W_{0} + m_{0}c^{2} = W_{1} + \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$. (1)
Так как энергия электромагнитного поля $W$ связана с его импульсом $p$ соотношением
$p = W/c$, (2)
то закон сохранения импульса принимает вид
$\frac{W_{0}}{c} = - \frac{W_{1}}{c} + \frac{m_{0}v}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$. (3)
Знак минус в первом члене правой части формулы (3) соответствует тому, что отраженная от зеркала волна движется в обратном направлении. Для исключения энергии отраженной волны $W_{1}$ умножим обе части равенства (3) на с и сложим почленно с (1). Тогда получим
$2W_{0} + m_{0}c^{2} = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} (1 + v/c)$. (4)
Простыми преобразованиями выражение (4) можно привести к виду
$\frac{}{} = \left ( 1 + \frac{2W_{0}}{m_{0}c^{2}} \right )^{2} $. (5)
Отсюда получим выражение для конечной скорости зеркала $v$:
$v = c \frac{(1 + 2W_{0}/m_{0}c^{2})^{2} - 1}{(1 + 2W_{0}/m_{0}c^{2})^{2} + 1}$. (6)
Теперь найдем энергию отраженной волны $W_{1}$. Для этого вычтем из выражения (1) равенство (3), умноженное на $c$:
$m_{0}c^{2} = 2W_{1} + m_{0}c^{2} \sqrt{ \frac{c-v}{c+v}}$, (7)
откуда с помощью (5) легко находим энергию отраженной волны $W_{1}$:
$W_{1} = \frac{W_{0}}{1 + 2 W_{0} / m_{0}c^{2}}$. (8)
Интересно отметить, что энергия отраженной волны не может превышать половины энергии покоя зеркала, какой бы большой ни была энергия падающей волны. Действительно, пренебрегая единицей в знаменателе (8), мы только увеличим правую часть, поэтому
$W_{1} < \frac{W_{0}}{2W_{0}/m_{0}c^{2}} = \frac{m_{0}c^{2}}{2}$.
Таким образом, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передается зеркалу. При $W_{0} \gg m_{0}c^{2}$ практически вся энергия волны передается зеркалу. Отражается только малая часть энергии, равная, как мы только что видели, $m_{0}c^{2}/2$. Подчеркнем еще раз, что этот результат мы получили, совершенно не вникая в механизм взаимодействия электромагнитной волны с веществом, из которого сделано зеркало!
Интересно отметить другой предельный случай, когда энергия падающей волны много меньше энергии покоя зеркала: $W_{0} \ll m_{0}c^{2}$. В этом нерелятивистском случае формулы (6) и (8) можно упростить. В знаменателе выражения (6) можно вторым слагаемым в скобках пренебречь по сравнению с единицей, а в числителе при возведении скобки в квадрат следует сохранить удвоенное произведение, ибо единицы взаимно уничтожаются. В результате получаем
$v/c \approx 2W_{0}/m_{0}c^{2}$. (9)
Так как при $x \ll 1$ справедлива приближенная формула $(1 + x)^{-1} \approx 1 -x$, то выражение (8) при $W_{0} \ll m_{0}x^{2}$ можно привести к виду
$\frac{ \Delta W}{W_{0}} = \frac{W_{0} - W_{1}}{W_{0}} \approx \frac{|2W_{0}|}{m_{0}c^{2}}$. (10)
Из этих соотношений видно, что в этом случае волна почти целиком отражается от зеркала, передавая ему лишь ничтожную часть своей энергии. Поэтому «фотонный парус» может быть эффективным только тогда, когда энергия падающей на него волны сравнима с его энергией покоя
