Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4247
2017-10-14 
Возможно ли излучение и поглощение света свободным электроном? Может ли свободный фотон, обладающий достаточной энергией, превратиться в электрон-позитронную пару?
Решение:
Может ли свободный электрон излучать свет? На первый взгляд кажется, что испускание фотона свободно движущимся электроном не противоречит законам сохранения энергии и импульса. Действительно, ничто, казалось бы, не мешает электрону, движущемуся с некоторой скоростью $v$, уменьшить свою скорость, передав испускаемому фотону часть своего импульса и кинетической энергии. Однако, записав законы сохранения энергии и импульса для этого процесса, мы увидим, что одновременно удовлетворить этим законам невозможно. Проще всего в этом убедиться, воспользовавшись эквивалентностью различных инерциальных систем отсчета: во всех инерциальных системах отсчета все физические законы одинаковы. Поэтому достаточно доказать невозможность излучения фотона свободным электроном в какой-нибудь одной инерциальной системе отсчета.
Рассмотрим систему отсчета, в которой электрон неподвижен. Энергия электрона в этой системе до излучения фотона
$E_{0} = m_{0}c^{2}$. (1)
После излучения фотона вследствие закона сохранения импульса электрон приобретает некоторую скорость $v$, и энергия системы электрон плюс фотон дается выражением
$E = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} + h \nu$, (2)
где $h \nu$ — энергия испущенного фотона. Сравнивая формулы (1) п (2), видим, что удовлетворить закону сохранения энергии невозможно, ибо $E$ всегда больше $E_{0}$.
Вдумавшись в приведенные рассуждения, легко сообразить, что свободный электрон не может не только излучать, но и поглощать свет. Чтобы в этом убедиться, достаточно просто прочитать приведенные формулы в обратном порядке: соотношение (2) дает энергию системы электрон плюс фотон до поглощения в системе отсчета, где суммарный импульс электрона и фотона равен нулю, а соотношение (1) —энергию после поглощения фотона.
Разумеется, приведенные рассуждения справедливы только для элементарных частиц и неприменимы к сложным объектам, состоящим из нескольких элементарных частиц, например к атомам и молекулам. Свободно движущиеся атомы или молекулы могут излучать и поглощать!
Испускать или поглощать фотоны электрон может только тогда, когда он движется с ускорением, например пролетает вблизи ядра и взаимодействует с его электрическим полем.
Итак, мы убедились, что фотон не может просто поглощаться свободным электроном. Но вот исчезнуть при взаимодействии со свободным электроном, породив при этом электрои-позитронную пару, он может. Для этого фотон должен, конечно, обладать достаточной энергией. Какой же именно?
Прежде всего отметим, что превращение фотона (гамма-кванта) в электрон-позитронную пару возможно только в присутствии какой-либо частицы. Без такой частицы этот процесс вообще невозможен в силу закона сохранения импульса. Действительно, предположим, что это произошло, т. е. образовалась электрон-позитронная пара. Всегда существует такая система отсчета, в которой центр масс электрона и позитрона неподвижен, т. е. полный импульс образовавшейся пары равен нулю. Тогда в этой системе отсчета должен быть равен нулю и импульс фотона, породившего эту пару. Но это невозможно, так как не существует такой системы отсчета, в которой фотон покоится. Поэтому фотон может превратиться в электрон-позитронную пару только в присутствии частицы, которая «принимает на себя» его импульс.
Легко сообразить, что необходимая для рождения пары энергия фотона будет тем меньше, чем больше масса $M$ частицы, уносящей импульс фотона. В самом деле, чем массивнее эта частица, тем меньшую кинетическую энергию она при этом приобретает. При $m_{0}/M \ll 1$ этой кинетической энергией можно вообще пренебречь. Если образовавшиеся электрон и позитрон покоятся, то их энергия будет наименьшей из всех возможных и равной энергии покоя системы $2m_{0}c^{2}$. Поэтому наименьшая энергия фотона, при которой вообще возможно образование пары, определяется из соотношения
$h \nu = 2m_{0} c^{2}$. (8)
Эта энергия носит название пороговой. Подставляя сюда значение массы покоя электрона $m_{0} = 0,91 \cdot 10^{-27} г$ и скорости света $c = 2,998 \cdot 10^{10} см/с$, находим, что пороговая энергия образования электрон-позитронной пары составляет $1,63 \times 10^{-6} эрг =1,02 \cdot 10^{8} эВ$. Длина волны гамма-кванта, обладающего такой энергией, $\lambda = c/ \nu = hc/(2m_{0}c^{2}) = 1,2 \cdot 10^{-10} см = 0,012 \overset{\circ}{A}$. Такие фотоны встречаются в космическом излучении и возникают при торможении в веществе быстрых заряженных частиц, разогнанных на мощных ускорителях.
Теперь мы можем найти энергию, которой должен обладать фотон, для того чтобы могло произойти рождение электрон-позитронной пары вблизи покоящегося электрона. Будем рассуждать следующим образом. Перейдем в систему отсчета, в которой покоится центр масс всех трех частиц — исходного электрона и образовавшейся электрон-позитронной пары. Разумеется, сами частицы могут при этом двигаться. В этой системе отсчета полная энергия будет наименьшей, если все три частицы покоятся. Именно такой случай и соответствует наименьшей энергии фотона, необходимой для рождения пары вблизи электрона. При этом мы пренебрегаем энергией кулоновского взаимодействия электронов и позитрона, которая, как и энергия связи электронов в атомах, по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.
Возвращаясь теперь в лабораторную систему отсчета, мы видим, что после рождения пары все три частицы должны двигаться с одинаковой скоростью. Поскольку масса у этих частиц одинакова, то будут одинаковыми и их импульсы. Вследствие закона сохранения импульса это означает, что полный импульс, которым обладали фотон и электрон до рождения нары, распределится поровну между тремя частицами. Если до рождения пары электрон в лабораторной системе отсчета покоится, то после рождения пары импульс каждой частицы $p$ равен одной трети импульса фотона $h \nu / c$:
$p = h \nu/3c$. (4)
Используя релятивистскую формулу, выражающую энергию частицы через ее импульс, убеждаемся, что и энергия всех трех частиц одинакова и равна
$E = \sqrt{p^{2}c^{2} + m_{0}^{2}c^{4}} = \sqrt{ (h \nu /3)^{2} + m_{0}^{2}c^{4}}$. (5)
Теперь остается только воспользоваться законом сохранения энергии. До рождения пары энергия в лабораторной системе отсчета — это энергия фотона $h \nu$ и энергия покоя электрона $m_{0}c^{2}$. После рождения пары энергия равна утроенному значению энергии каждой частицы. Поэтому
$h \nu + m_{0}c^{2} = 3 \sqrt{(h \nu /3)^{2} + m_{0}^{2}c^{4}}$. (6)
Возведя обе части этого равенства в квадрат и приводя подобные члены, находим значение $h \nu$ пороговой энергии рождения пары вблизи покоящегося электрона:
$h \nu = 4m_{0}c^{2}$. (7)
Обратим внимание на то, что эта энергия вдвое превышает значение пороговой энергии фотона для рождения электрон-позитронной пары вблизи массивной частицы, например вблизи ядра тяжелого элемента. Значит, только половина энергии фотона при рождении пары вблизи покоящегося электрона превращается в энергию покоя образовавшихся частиц. Другая половина неизбежно превращается в кинетическую энергию. Это связано с необходимостью обеспечить выполнение закона сохранения импульса.
Возможно ли излучение и поглощение света свободным электроном? Может ли свободный фотон, обладающий достаточной энергией, превратиться в электрон-позитронную пару?
Решение:
Может ли свободный электрон излучать свет? На первый взгляд кажется, что испускание фотона свободно движущимся электроном не противоречит законам сохранения энергии и импульса. Действительно, ничто, казалось бы, не мешает электрону, движущемуся с некоторой скоростью $v$, уменьшить свою скорость, передав испускаемому фотону часть своего импульса и кинетической энергии. Однако, записав законы сохранения энергии и импульса для этого процесса, мы увидим, что одновременно удовлетворить этим законам невозможно. Проще всего в этом убедиться, воспользовавшись эквивалентностью различных инерциальных систем отсчета: во всех инерциальных системах отсчета все физические законы одинаковы. Поэтому достаточно доказать невозможность излучения фотона свободным электроном в какой-нибудь одной инерциальной системе отсчета.
Рассмотрим систему отсчета, в которой электрон неподвижен. Энергия электрона в этой системе до излучения фотона
$E_{0} = m_{0}c^{2}$. (1)
После излучения фотона вследствие закона сохранения импульса электрон приобретает некоторую скорость $v$, и энергия системы электрон плюс фотон дается выражением
$E = \frac{m_{0}c^{2}}{ \sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} + h \nu$, (2)
где $h \nu$ — энергия испущенного фотона. Сравнивая формулы (1) п (2), видим, что удовлетворить закону сохранения энергии невозможно, ибо $E$ всегда больше $E_{0}$.
Вдумавшись в приведенные рассуждения, легко сообразить, что свободный электрон не может не только излучать, но и поглощать свет. Чтобы в этом убедиться, достаточно просто прочитать приведенные формулы в обратном порядке: соотношение (2) дает энергию системы электрон плюс фотон до поглощения в системе отсчета, где суммарный импульс электрона и фотона равен нулю, а соотношение (1) —энергию после поглощения фотона.
Разумеется, приведенные рассуждения справедливы только для элементарных частиц и неприменимы к сложным объектам, состоящим из нескольких элементарных частиц, например к атомам и молекулам. Свободно движущиеся атомы или молекулы могут излучать и поглощать!
Испускать или поглощать фотоны электрон может только тогда, когда он движется с ускорением, например пролетает вблизи ядра и взаимодействует с его электрическим полем.
Итак, мы убедились, что фотон не может просто поглощаться свободным электроном. Но вот исчезнуть при взаимодействии со свободным электроном, породив при этом электрои-позитронную пару, он может. Для этого фотон должен, конечно, обладать достаточной энергией. Какой же именно?
Прежде всего отметим, что превращение фотона (гамма-кванта) в электрон-позитронную пару возможно только в присутствии какой-либо частицы. Без такой частицы этот процесс вообще невозможен в силу закона сохранения импульса. Действительно, предположим, что это произошло, т. е. образовалась электрон-позитронная пара. Всегда существует такая система отсчета, в которой центр масс электрона и позитрона неподвижен, т. е. полный импульс образовавшейся пары равен нулю. Тогда в этой системе отсчета должен быть равен нулю и импульс фотона, породившего эту пару. Но это невозможно, так как не существует такой системы отсчета, в которой фотон покоится. Поэтому фотон может превратиться в электрон-позитронную пару только в присутствии частицы, которая «принимает на себя» его импульс.
Легко сообразить, что необходимая для рождения пары энергия фотона будет тем меньше, чем больше масса $M$ частицы, уносящей импульс фотона. В самом деле, чем массивнее эта частица, тем меньшую кинетическую энергию она при этом приобретает. При $m_{0}/M \ll 1$ этой кинетической энергией можно вообще пренебречь. Если образовавшиеся электрон и позитрон покоятся, то их энергия будет наименьшей из всех возможных и равной энергии покоя системы $2m_{0}c^{2}$. Поэтому наименьшая энергия фотона, при которой вообще возможно образование пары, определяется из соотношения
$h \nu = 2m_{0} c^{2}$. (8)
Эта энергия носит название пороговой. Подставляя сюда значение массы покоя электрона $m_{0} = 0,91 \cdot 10^{-27} г$ и скорости света $c = 2,998 \cdot 10^{10} см/с$, находим, что пороговая энергия образования электрон-позитронной пары составляет $1,63 \times 10^{-6} эрг =1,02 \cdot 10^{8} эВ$. Длина волны гамма-кванта, обладающего такой энергией, $\lambda = c/ \nu = hc/(2m_{0}c^{2}) = 1,2 \cdot 10^{-10} см = 0,012 \overset{\circ}{A}$. Такие фотоны встречаются в космическом излучении и возникают при торможении в веществе быстрых заряженных частиц, разогнанных на мощных ускорителях.
Теперь мы можем найти энергию, которой должен обладать фотон, для того чтобы могло произойти рождение электрон-позитронной пары вблизи покоящегося электрона. Будем рассуждать следующим образом. Перейдем в систему отсчета, в которой покоится центр масс всех трех частиц — исходного электрона и образовавшейся электрон-позитронной пары. Разумеется, сами частицы могут при этом двигаться. В этой системе отсчета полная энергия будет наименьшей, если все три частицы покоятся. Именно такой случай и соответствует наименьшей энергии фотона, необходимой для рождения пары вблизи электрона. При этом мы пренебрегаем энергией кулоновского взаимодействия электронов и позитрона, которая, как и энергия связи электронов в атомах, по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.
Возвращаясь теперь в лабораторную систему отсчета, мы видим, что после рождения пары все три частицы должны двигаться с одинаковой скоростью. Поскольку масса у этих частиц одинакова, то будут одинаковыми и их импульсы. Вследствие закона сохранения импульса это означает, что полный импульс, которым обладали фотон и электрон до рождения нары, распределится поровну между тремя частицами. Если до рождения пары электрон в лабораторной системе отсчета покоится, то после рождения пары импульс каждой частицы $p$ равен одной трети импульса фотона $h \nu / c$:
$p = h \nu/3c$. (4)
Используя релятивистскую формулу, выражающую энергию частицы через ее импульс, убеждаемся, что и энергия всех трех частиц одинакова и равна
$E = \sqrt{p^{2}c^{2} + m_{0}^{2}c^{4}} = \sqrt{ (h \nu /3)^{2} + m_{0}^{2}c^{4}}$. (5)
Теперь остается только воспользоваться законом сохранения энергии. До рождения пары энергия в лабораторной системе отсчета — это энергия фотона $h \nu$ и энергия покоя электрона $m_{0}c^{2}$. После рождения пары энергия равна утроенному значению энергии каждой частицы. Поэтому
$h \nu + m_{0}c^{2} = 3 \sqrt{(h \nu /3)^{2} + m_{0}^{2}c^{4}}$. (6)
Возведя обе части этого равенства в квадрат и приводя подобные члены, находим значение $h \nu$ пороговой энергии рождения пары вблизи покоящегося электрона:
$h \nu = 4m_{0}c^{2}$. (7)
Обратим внимание на то, что эта энергия вдвое превышает значение пороговой энергии фотона для рождения электрон-позитронной пары вблизи массивной частицы, например вблизи ядра тяжелого элемента. Значит, только половина энергии фотона при рождении пары вблизи покоящегося электрона превращается в энергию покоя образовавшихся частиц. Другая половина неизбежно превращается в кинетическую энергию. Это связано с необходимостью обеспечить выполнение закона сохранения импульса.
