Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4246
2017-10-14 
Шарик массы $m$ на нити длиной $l$ висит неподвижно в однородном поле тяжести напряженности $\vec{g}$. В некоторый момент времени точка подвеса начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью $\vec{v}$ (рис. 1). Как при этом будет двигаться шарик?
Решение:
Условие этой задачи очень простое, однако на первый взгляд совершенно не ясно, как к ней подступиться. С одной стороны, очевидно, что движение такой механической системы подчиняется законам классической механики Ньютона. С другой стороны, непонятно, как эти законы можно здесь применить.
То, что квантовая физика здесь ни при чем, сомнений не вызывает, поэтому остается выяснить, какое отношение может иметь эта задача, в которой рассматривается движение с заведомо нерелятивистскими скоростями, к теории относительности. Оказывается, что и к теории относительности эта задача тоже отношения не имеет. Но вот принцип относительности, лежащий в основе этой теории, причем в своей классической форме, сформулированный еще Галилеем, имеет к этой задаче самое непосредственное отношение. Его использование позволяет сразу свести эту задачу к другой, хорошо известной.
рис.2
Согласно принципу относительности Галилея законы, описывающие механические явления, во всех инерциальных системах отсчета одинаковы. При решении данной задачи удобно перейти в систему отсчета, в которой точка подвеса неподвижна. Так как в исходной (лабораторной) системе отсчета точка подвеса движется с постоянной скоростью $\vec{v}$, то новая система отсчета также является инерциальной. Однако в этой системе движение шарика на нити выглядит уже довольно просто: точка подвеса нити все время неподвижна, а самому шарику в начальный момент времени сообщается скорость $- \vec{v}$, направленная по горизонтали направо (рис. 2). Разумеется, и в новой системе отсчета на шарик тоже действует поле тяготения напряженности $\vec{g}$.
В системе отсчета, связанной с точкой подвеса, дальнейшее движение шарика будет происходить по-разному в зависимости от его начальной скорости. При небольшой начальной скорости система будет вести себя как математический маятник, совершающий малые почти гармонические колебания вблизи вертикального положения равновесия:
$\phi(t) = \phi_{0} \sin \omega t$. (1)
Частота $\omega$ равна частоте собственных колебаний математического маятника длины $l: \omega^{2} = g/l$. Выбор начальной фазы колебаний в уравнении (1) соответствует тому, что при $t = 0$ маятник расположен вертикально и $\phi = 0$. Амплитуда колебаний $\phi_{0}$ также находится из начальных условий. Так как согласно формуле (1) угловая скорость маятника $\dot{ \phi}$ равна
$\dot{ \phi}(t) = \omega \phi_{0} \cos \omega t$, (2)
то линейная скорость шарика при $t = 0$ равна $\omega \phi_{0} l$. Приравнивая ее начальной скорости $v$, находим угловую амплитуду $\phi_{0}$:
$\phi_{0} = v/ \omega l$. (3)
Такое гармоническое колебательное движение маятника происходит только при небольшой амплитуде $\phi_{0} \ll 1$, т. е., как видно из формулы (3), при
$v \ll \omega l = \sqrt{gl}$.
Если начальная скорость $v$ не очень мала, т. е. не удовлетворяет приведенному неравенству, то колебания маятника будут происходить с большой амплитудой и уже не будут гармоническими. Но амплитуда колебаний, разумеется, не может превышать значения $\phi_{0} = \pi /2$. При такой амплитуде шарик в крайних положениях поднимается до уровня точки подвеса. Этому соответствует, как легко убедиться с помощью закона сохранения энергии, значение начальной скорости $v = \sqrt{2gl}$. Если же начальная скорость больше этого значения, то шарик поднимется выше точки подвеса, однако он будет двигаться по окружности только до тех пор, пока сила натяжения нити не обратится в нуль. Начиная с этой точки, гибкая нить не влияет на движение шарика, и ои движется свободно в поле тяжести по параболе, пока нить снова не вытянется на всю длину.
рис.3
Угловое положение точки $\phi_{1}$ в которой сила натяжения нити обращается в нуль, легко найти с помощью закона сохранения энергии и проекции уравнения второго закона Ньютона на направление нити, полагая в нем силу натяжения нити $T$ равной нулю. Из рис. 3 видно, что эти уравнения записываются следующим образом:
$\frac{mv^{2}}{2} = mgl (1 - \cos \phi_{1}) + \frac{mv_{1}^{2}}{2}$, (4)
$mg \cos ( \pi - \phi_{1}) = mv_{1}^{2}/l$. (5)
Подставляя $v_{1}^{2}$ из уравнения (5) в (4), находим
$ \cos \phi_{1} = \frac{1}{3} \left ( 2 - \frac{v^{2}}{gl} \right )$. (6)
Поскольку шарик поднимается выше точки подвеса только при $v^{2} > 2gl$, то даваемое формулой (6) значение $\cos \phi_{1}$ отрицательно. Из формулы (6) видно, что чем больше начальная скорость шарика $v$, тем ближе угол $\phi_{1}$ к $\pi$. Наконец, если $v^{2} = 5gl$, то $\cos \phi_{1} = -1$ и сила натяжения нити обращается в нуль, когда шарик при движении по окружности оказывается точно над точкой подвеса. Ясно, что при таком и тем более при больших значениях начальной скорости шарик будет совершать полные обороты по окружности, все время натягивая нить.
Движение шарика в исходной лабораторной системе отсчета, где его точка подвеса приведена в равномерное движение со скоростью $v$, получается в результате сложения описанного выше движения во вспомогательной системе отсчета и равномерного движения со скоростью $\vec{v}$.
Разобранный пример наглядно показывает следующее: несмотря на то, что законы движения во всех инерциальных системах отсчета одинаковы, при решении конкретной задачи одна из этих систем может оказаться гораздо удобнее, чем остальные. Удачное применение принципа относительности может превратить сложную на первый взгляд задачу в почти очевидную.
Шарик массы $m$ на нити длиной $l$ висит неподвижно в однородном поле тяжести напряженности $\vec{g}$. В некоторый момент времени точка подвеса начинает двигаться в горизонтальном направлении с постоянной скоростью $\vec{v}$ (рис. 1). Как при этом будет двигаться шарик?
Решение:
Условие этой задачи очень простое, однако на первый взгляд совершенно не ясно, как к ней подступиться. С одной стороны, очевидно, что движение такой механической системы подчиняется законам классической механики Ньютона. С другой стороны, непонятно, как эти законы можно здесь применить.
То, что квантовая физика здесь ни при чем, сомнений не вызывает, поэтому остается выяснить, какое отношение может иметь эта задача, в которой рассматривается движение с заведомо нерелятивистскими скоростями, к теории относительности. Оказывается, что и к теории относительности эта задача тоже отношения не имеет. Но вот принцип относительности, лежащий в основе этой теории, причем в своей классической форме, сформулированный еще Галилеем, имеет к этой задаче самое непосредственное отношение. Его использование позволяет сразу свести эту задачу к другой, хорошо известной.
рис.2
Согласно принципу относительности Галилея законы, описывающие механические явления, во всех инерциальных системах отсчета одинаковы. При решении данной задачи удобно перейти в систему отсчета, в которой точка подвеса неподвижна. Так как в исходной (лабораторной) системе отсчета точка подвеса движется с постоянной скоростью $\vec{v}$, то новая система отсчета также является инерциальной. Однако в этой системе движение шарика на нити выглядит уже довольно просто: точка подвеса нити все время неподвижна, а самому шарику в начальный момент времени сообщается скорость $- \vec{v}$, направленная по горизонтали направо (рис. 2). Разумеется, и в новой системе отсчета на шарик тоже действует поле тяготения напряженности $\vec{g}$.
В системе отсчета, связанной с точкой подвеса, дальнейшее движение шарика будет происходить по-разному в зависимости от его начальной скорости. При небольшой начальной скорости система будет вести себя как математический маятник, совершающий малые почти гармонические колебания вблизи вертикального положения равновесия:
$\phi(t) = \phi_{0} \sin \omega t$. (1)
Частота $\omega$ равна частоте собственных колебаний математического маятника длины $l: \omega^{2} = g/l$. Выбор начальной фазы колебаний в уравнении (1) соответствует тому, что при $t = 0$ маятник расположен вертикально и $\phi = 0$. Амплитуда колебаний $\phi_{0}$ также находится из начальных условий. Так как согласно формуле (1) угловая скорость маятника $\dot{ \phi}$ равна
$\dot{ \phi}(t) = \omega \phi_{0} \cos \omega t$, (2)
то линейная скорость шарика при $t = 0$ равна $\omega \phi_{0} l$. Приравнивая ее начальной скорости $v$, находим угловую амплитуду $\phi_{0}$:
$\phi_{0} = v/ \omega l$. (3)
Такое гармоническое колебательное движение маятника происходит только при небольшой амплитуде $\phi_{0} \ll 1$, т. е., как видно из формулы (3), при
$v \ll \omega l = \sqrt{gl}$.
Если начальная скорость $v$ не очень мала, т. е. не удовлетворяет приведенному неравенству, то колебания маятника будут происходить с большой амплитудой и уже не будут гармоническими. Но амплитуда колебаний, разумеется, не может превышать значения $\phi_{0} = \pi /2$. При такой амплитуде шарик в крайних положениях поднимается до уровня точки подвеса. Этому соответствует, как легко убедиться с помощью закона сохранения энергии, значение начальной скорости $v = \sqrt{2gl}$. Если же начальная скорость больше этого значения, то шарик поднимется выше точки подвеса, однако он будет двигаться по окружности только до тех пор, пока сила натяжения нити не обратится в нуль. Начиная с этой точки, гибкая нить не влияет на движение шарика, и ои движется свободно в поле тяжести по параболе, пока нить снова не вытянется на всю длину.
рис.3
Угловое положение точки $\phi_{1}$ в которой сила натяжения нити обращается в нуль, легко найти с помощью закона сохранения энергии и проекции уравнения второго закона Ньютона на направление нити, полагая в нем силу натяжения нити $T$ равной нулю. Из рис. 3 видно, что эти уравнения записываются следующим образом:
$\frac{mv^{2}}{2} = mgl (1 - \cos \phi_{1}) + \frac{mv_{1}^{2}}{2}$, (4)
$mg \cos ( \pi - \phi_{1}) = mv_{1}^{2}/l$. (5)
Подставляя $v_{1}^{2}$ из уравнения (5) в (4), находим
$ \cos \phi_{1} = \frac{1}{3} \left ( 2 - \frac{v^{2}}{gl} \right )$. (6)
Поскольку шарик поднимается выше точки подвеса только при $v^{2} > 2gl$, то даваемое формулой (6) значение $\cos \phi_{1}$ отрицательно. Из формулы (6) видно, что чем больше начальная скорость шарика $v$, тем ближе угол $\phi_{1}$ к $\pi$. Наконец, если $v^{2} = 5gl$, то $\cos \phi_{1} = -1$ и сила натяжения нити обращается в нуль, когда шарик при движении по окружности оказывается точно над точкой подвеса. Ясно, что при таком и тем более при больших значениях начальной скорости шарик будет совершать полные обороты по окружности, все время натягивая нить.
Движение шарика в исходной лабораторной системе отсчета, где его точка подвеса приведена в равномерное движение со скоростью $v$, получается в результате сложения описанного выше движения во вспомогательной системе отсчета и равномерного движения со скоростью $\vec{v}$.
Разобранный пример наглядно показывает следующее: несмотря на то, что законы движения во всех инерциальных системах отсчета одинаковы, при решении конкретной задачи одна из этих систем может оказаться гораздо удобнее, чем остальные. Удачное применение принципа относительности может превратить сложную на первый взгляд задачу в почти очевидную.
