Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4245
2017-10-14 
Плоскопараллельная стеклянная пластинка толщиной $d$ с показателем преломления $n$ освещается монохроматическим светом с длиной волны $\lambda$ от протяженного источника. Позади пластинки расположена линза с фокусным расстоянием $F$ (рис. 1). Какой вид имеет интерференционная картина, которая будет наблюдаться на экране, если его расположить в фокальной плоскости линзы?
Решение:
Разобьем мысленно протяженный источник света на отдельные малые элементы, каждый из которых можно считать точечным источником. Все эти источники излучают свет одной и той же длины волны $\lambda$, но независимо друг от друга. Поэтому они некогерентны между собой.
рис.2
Каждый элементарный источник света $S$ излучает сферическую волну, т. е. испускает лучи света по всем направлениям (рис. 2). После прохождения через пластинку и линзу эти лучи попадают в разные точки экрана. Рассмотрим один из этих лучей, составляющий угол $\theta$ с главной оптической осью линзы. В результате многократных отражений на гранях пластинки этот луч разделяется, как видно из рис. 2, на последовательность параллельных между собой лучей. Амплитуды соответствующих этим лучам волн быстро убывают. Все эти лучи после прохождения через линзу собираются в одной и той же точке А фокальной плоскости. Эта точка А находится на расстоянии х от главного фокуса линзы О, которое, как легко видеть из рис. 2, дается выражением
$x = F tg \theta$. (1)
Так как все эти лучи возникли из одного луча, то они когерентны между собой и, приходя в точку А, интерферируют. В зависимости от разности хода между лучами: в точке А будет наблюдаться либо усиление, либо ослабление освещенности. Поскольку условия усиления или ослабления колебаний одинаковы для всех пар соседних лучей, для определения положения максимумов и минимумов интерференционной картины достаточно рассмотреть два соседних луча.
рис.3
С помощью рие. 3 нетрудно убедиться, что разность хода может быть рассчитана следующим образом:
$\Delta = (BC + CD) n - BE = \frac{2nd}{ \cos \theta_{1}} - 2d tg \theta_{1} \sin \theta$. (2)
Используя закон преломления света на границе воздух — стекло
$\sin \theta = n \sin \theta_{1}$, (3)
выразим разность хода $\Delta$ в формуле (2) через угол $\theta_{1}$:
$\Delta = 2nd \left ( \frac{1}{ \cos \theta_{1}} - tg \theta_{1} \sin \theta_{1} \right ) = 2nd \cos \theta_{1}$. (4)
Из выражения (4) видно, что для данной плоскопараллельной пластинки разность хода $\Delta$ зависит только от угла $\theta_{1}$ или, в силу соотношения (3), только от угла $\theta$, образуемого лучом с главной оптической осью. Подчеркнем, что эта разность хода не зависит от положения точечного источника $S$.
В тех точках экрана, где разность хода $\Delta$ равна целому числу длин волн, будет максимум освещенности, а где полуцелому — минимум. Так как $\Delta$ зависит только от угла $\theta$, то эти максимумы и минимумы будут располагаться на концентрических окружностях, центр которых лежит в точке О.
рис.4
рис.5
Что же будет наблюдаться на экране в фокальной плоскости линзы от одного элементарного источника $S$? В отсутствие стеклянной пластинки все лучи из $S$, проходящие через линзу, создают в соответствии с законами геометрической оптики изображение источника $S$ в некоторой точке $S^{ \prime}$ (рис. 4). На экране в фокальной плоскости линзы при этом будет освещенное пятно, размеры которого ограничены крайними лучами, проходящими через линзу. При наличии пластинки это пятно будет прорезано светлыми и темными интерференционными полосами, которые, как мы уже выяснили, представляют собой окружности с центром в точке О (рис. 5). Радиусы светлых колец, соответствующих условию $\Delta = k \lambda$, легко вычислить с помощью формул (4) и (1). Эти радиусы не зависят от положения элементарного точечного источника $S$.
рис.6
Теперь нетрудно выяснить, как будет выглядеть полная интерференционная картина, создаваемая всем протяженным источником света. Она получается в результате наложения интерференционных картин от отдельных элементарных источников. Пятна от отдельных источников располагаются в разных местах экрана, частично налагаясь друг на друга (рис. 6). Существенно то, что интерференционные кольца на этих пятнах, как было показано, имеют общий центр О и одинаковые радиусы. Поэтому при наложении образуется общая система интерференционных колец. В результате полная интерференционная картина представляет собой совокупность чередующихся светлых и темных окружностей, центр которых находится на главной оптической оси линзы.
Из приведенного решения ясно, что интерференционные картины в фокальной плоскости линзы от протяженного монохроматического источника света и от точечного источника $S_{0}$, находящегося на главной оптической оси (рис. 2), принципиально не отличаются друг от друга. Отличие только в том, что протяженный источник дает больше света, чем его отдельный элемент $S_{0}$, и его интерференционная картина занимает большую площадь на экране.
В заключение отметим, что аналогичную интерференционную картину можно наблюдать и в отраженном от плоскопараллельной пластинки свете.
Плоскопараллельная стеклянная пластинка толщиной $d$ с показателем преломления $n$ освещается монохроматическим светом с длиной волны $\lambda$ от протяженного источника. Позади пластинки расположена линза с фокусным расстоянием $F$ (рис. 1). Какой вид имеет интерференционная картина, которая будет наблюдаться на экране, если его расположить в фокальной плоскости линзы?
Решение:
Разобьем мысленно протяженный источник света на отдельные малые элементы, каждый из которых можно считать точечным источником. Все эти источники излучают свет одной и той же длины волны $\lambda$, но независимо друг от друга. Поэтому они некогерентны между собой.
рис.2
Каждый элементарный источник света $S$ излучает сферическую волну, т. е. испускает лучи света по всем направлениям (рис. 2). После прохождения через пластинку и линзу эти лучи попадают в разные точки экрана. Рассмотрим один из этих лучей, составляющий угол $\theta$ с главной оптической осью линзы. В результате многократных отражений на гранях пластинки этот луч разделяется, как видно из рис. 2, на последовательность параллельных между собой лучей. Амплитуды соответствующих этим лучам волн быстро убывают. Все эти лучи после прохождения через линзу собираются в одной и той же точке А фокальной плоскости. Эта точка А находится на расстоянии х от главного фокуса линзы О, которое, как легко видеть из рис. 2, дается выражением
$x = F tg \theta$. (1)
Так как все эти лучи возникли из одного луча, то они когерентны между собой и, приходя в точку А, интерферируют. В зависимости от разности хода между лучами: в точке А будет наблюдаться либо усиление, либо ослабление освещенности. Поскольку условия усиления или ослабления колебаний одинаковы для всех пар соседних лучей, для определения положения максимумов и минимумов интерференционной картины достаточно рассмотреть два соседних луча.
рис.3
С помощью рие. 3 нетрудно убедиться, что разность хода может быть рассчитана следующим образом:
$\Delta = (BC + CD) n - BE = \frac{2nd}{ \cos \theta_{1}} - 2d tg \theta_{1} \sin \theta$. (2)
Используя закон преломления света на границе воздух — стекло
$\sin \theta = n \sin \theta_{1}$, (3)
выразим разность хода $\Delta$ в формуле (2) через угол $\theta_{1}$:
$\Delta = 2nd \left ( \frac{1}{ \cos \theta_{1}} - tg \theta_{1} \sin \theta_{1} \right ) = 2nd \cos \theta_{1}$. (4)
Из выражения (4) видно, что для данной плоскопараллельной пластинки разность хода $\Delta$ зависит только от угла $\theta_{1}$ или, в силу соотношения (3), только от угла $\theta$, образуемого лучом с главной оптической осью. Подчеркнем, что эта разность хода не зависит от положения точечного источника $S$.
В тех точках экрана, где разность хода $\Delta$ равна целому числу длин волн, будет максимум освещенности, а где полуцелому — минимум. Так как $\Delta$ зависит только от угла $\theta$, то эти максимумы и минимумы будут располагаться на концентрических окружностях, центр которых лежит в точке О.
рис.4
рис.5
Что же будет наблюдаться на экране в фокальной плоскости линзы от одного элементарного источника $S$? В отсутствие стеклянной пластинки все лучи из $S$, проходящие через линзу, создают в соответствии с законами геометрической оптики изображение источника $S$ в некоторой точке $S^{ \prime}$ (рис. 4). На экране в фокальной плоскости линзы при этом будет освещенное пятно, размеры которого ограничены крайними лучами, проходящими через линзу. При наличии пластинки это пятно будет прорезано светлыми и темными интерференционными полосами, которые, как мы уже выяснили, представляют собой окружности с центром в точке О (рис. 5). Радиусы светлых колец, соответствующих условию $\Delta = k \lambda$, легко вычислить с помощью формул (4) и (1). Эти радиусы не зависят от положения элементарного точечного источника $S$.
рис.6
Теперь нетрудно выяснить, как будет выглядеть полная интерференционная картина, создаваемая всем протяженным источником света. Она получается в результате наложения интерференционных картин от отдельных элементарных источников. Пятна от отдельных источников располагаются в разных местах экрана, частично налагаясь друг на друга (рис. 6). Существенно то, что интерференционные кольца на этих пятнах, как было показано, имеют общий центр О и одинаковые радиусы. Поэтому при наложении образуется общая система интерференционных колец. В результате полная интерференционная картина представляет собой совокупность чередующихся светлых и темных окружностей, центр которых находится на главной оптической оси линзы.
Из приведенного решения ясно, что интерференционные картины в фокальной плоскости линзы от протяженного монохроматического источника света и от точечного источника $S_{0}$, находящегося на главной оптической оси (рис. 2), принципиально не отличаются друг от друга. Отличие только в том, что протяженный источник дает больше света, чем его отдельный элемент $S_{0}$, и его интерференционная картина занимает большую площадь на экране.
В заключение отметим, что аналогичную интерференционную картину можно наблюдать и в отраженном от плоскопараллельной пластинки свете.
