Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4241
2017-10-14 
С помощью тонкой линзы получается изображение объемного предмета, например кубика. Может ли объемное изображение этого предмета быть геометрически подобным самому предмету (т. е. тоже быть кубиком)?
Решение:
На первый взгляд может показаться, что так и должно быть, поскольку изображение всегда похоже на предмет. Однако если мы попробуем строго показать, что отношение поперечных и продольных размеров у Изображения такое же, как и у предмета, то увидим, что дело обстоит далеко не так просто.
рис.1
Количественный подход к решению этой задачи основан на использовании формулы тонкой линзы
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$. (1)
Этой формуле удобно придать несколько иной вид, вводя обозначение $p$ для расстояния от предмета до переднего фокуса линзы и $q$ для расстояния от заднего фокуса до изображения (рис. 1):
$p = d - F, q \ f - F$. (2)
Подставляя величины $d$ и $f$ из формул (2) в уравнение (1), после простых преобразований получим
$pq = F^{2}$. (3)
Такой вид соотношения для тонкой линзы называется формулой Ньютона.
рис.2
Обозначим поперечный и продольный размеры предмета через у и х, а соответствующие размеры изображения — через Y и X (рис. 2). Чтобы выяснить вопрос о геометрическом подобии объемного предмета и его изображения, введем наряду с поперечным линейным увеличением линзы $\Gamma = Y/y$ (рис. 2) также продольное увеличение $\gamma$, равное отношению продольных размеров изображения и предмета:
$\gamma = X/x$. (4)
Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ можно выразить через введенные величины $p$ и $q$, характеризующие положение предмета и изображения относительно фокусов линзы:
$\Gamma = \frac{Y}{y} = \frac{f}{d} = \frac{F + q}{F + p}$. (5)
Подставляя сюда фокусное расстояние линзы $F$ из формулы Ньютона (3), получаем
$\Gamma = \sqrt{q/p}$. (6)
Для того чтобы получить выражение для продольного увеличения $\gamma$, применим формулу Ньютона к точке предмета, показанной концом горизонтальной стрелки на рис. 2:
$(p + x)(q - X) = F^{2}$. (7)
Раскрываем скобки в левой части выражения (7). Тогда, учитывая формулу (3), получаем
$xq - pX - xX = 0$. (8)
Предположим, что $xX$ мало по сравнению с каждым из остальных двух членов в соотношении (8). В этом случае из (8) вытекает, что
$X/x = q/p$. (9)
Чтобы отброшенное слагаемое $xX$ в (8) было мало по сравнению со вторым членом $pX$, нужно, чтобы продольный размер предмета $x$ был мал по сравнению с расстоянием $p$ от предмета до фокуса: $x \ll p$. Если это условие выполнено, то из (9) видно, что и $X \ll q$. Отсюда ясно, что член $xX$ в (8) будет мал и по сравнению с первым слагаемым.
Таким образом, когда продольный размер предмета $x$ мал по сравнению с расстоянием $p$ до фокуса, продольное увеличение линзы $\gamma$, в соответствии с формулой (4), дается выражением (9):
$\gamma = q/p$. (10)
Сравнивая формулы (6) и (10), видим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения:
$\gamma = \Gamma^{2}$. (11)
Отсюда следует, что изображение будет геометрически подобным предмету только тогда, когда $\gamma = \Gamma = 1$. Для сохранения геометрического подобия предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Во всех остальных случаях геометрического подобия не будет.
Итак, если мы хотим с помощью тонкой линзы получить изображение объемного предмета, геометрически подобное самому предмету, то продольные размеры предмета должны быть малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить его нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.
С помощью тонкой линзы получается изображение объемного предмета, например кубика. Может ли объемное изображение этого предмета быть геометрически подобным самому предмету (т. е. тоже быть кубиком)?
Решение:
На первый взгляд может показаться, что так и должно быть, поскольку изображение всегда похоже на предмет. Однако если мы попробуем строго показать, что отношение поперечных и продольных размеров у Изображения такое же, как и у предмета, то увидим, что дело обстоит далеко не так просто.
рис.1
Количественный подход к решению этой задачи основан на использовании формулы тонкой линзы
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$. (1)
Этой формуле удобно придать несколько иной вид, вводя обозначение $p$ для расстояния от предмета до переднего фокуса линзы и $q$ для расстояния от заднего фокуса до изображения (рис. 1):
$p = d - F, q \ f - F$. (2)
Подставляя величины $d$ и $f$ из формул (2) в уравнение (1), после простых преобразований получим
$pq = F^{2}$. (3)
Такой вид соотношения для тонкой линзы называется формулой Ньютона.
рис.2
Обозначим поперечный и продольный размеры предмета через у и х, а соответствующие размеры изображения — через Y и X (рис. 2). Чтобы выяснить вопрос о геометрическом подобии объемного предмета и его изображения, введем наряду с поперечным линейным увеличением линзы $\Gamma = Y/y$ (рис. 2) также продольное увеличение $\gamma$, равное отношению продольных размеров изображения и предмета:
$\gamma = X/x$. (4)
Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ можно выразить через введенные величины $p$ и $q$, характеризующие положение предмета и изображения относительно фокусов линзы:
$\Gamma = \frac{Y}{y} = \frac{f}{d} = \frac{F + q}{F + p}$. (5)
Подставляя сюда фокусное расстояние линзы $F$ из формулы Ньютона (3), получаем
$\Gamma = \sqrt{q/p}$. (6)
Для того чтобы получить выражение для продольного увеличения $\gamma$, применим формулу Ньютона к точке предмета, показанной концом горизонтальной стрелки на рис. 2:
$(p + x)(q - X) = F^{2}$. (7)
Раскрываем скобки в левой части выражения (7). Тогда, учитывая формулу (3), получаем
$xq - pX - xX = 0$. (8)
Предположим, что $xX$ мало по сравнению с каждым из остальных двух членов в соотношении (8). В этом случае из (8) вытекает, что
$X/x = q/p$. (9)
Чтобы отброшенное слагаемое $xX$ в (8) было мало по сравнению со вторым членом $pX$, нужно, чтобы продольный размер предмета $x$ был мал по сравнению с расстоянием $p$ от предмета до фокуса: $x \ll p$. Если это условие выполнено, то из (9) видно, что и $X \ll q$. Отсюда ясно, что член $xX$ в (8) будет мал и по сравнению с первым слагаемым.
Таким образом, когда продольный размер предмета $x$ мал по сравнению с расстоянием $p$ до фокуса, продольное увеличение линзы $\gamma$, в соответствии с формулой (4), дается выражением (9):
$\gamma = q/p$. (10)
Сравнивая формулы (6) и (10), видим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения:
$\gamma = \Gamma^{2}$. (11)
Отсюда следует, что изображение будет геометрически подобным предмету только тогда, когда $\gamma = \Gamma = 1$. Для сохранения геометрического подобия предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Во всех остальных случаях геометрического подобия не будет.
Итак, если мы хотим с помощью тонкой линзы получить изображение объемного предмета, геометрически подобное самому предмету, то продольные размеры предмета должны быть малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить его нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.
