Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4238
2017-10-13 
Если пускать солнечный зайчик с помощью плоского зеркала прямоугольной формы, то на ближней стене форма светлого пятна повторяет форму зеркала, а на далекой стене пятно имеет эллиптическую форму. Почему?
Решение:
Зеркало ограничивает (подобно диафрагме) пучок падающих на него прямолинейных солнечных лучей и изменяет их направление. Изменение направления лучей при их отражении не играет принципиальной роли в вопросе о форме образующегося на стене освещенного пятна. Поэтому достаточно рассмотреть ограничение пучка солнечных лучей отверстием такой же формы и размеров, как и зеркало.
Описанное в условии задачи явление объясняется тем, что свет от Солнца образует на стене изображение отверстия, когда стена находится близко, и дает изображение источника, когда стена далеко. Рассмотрим подробно оба случая.
рис.1
1. Стена расположена близко к отверстию (или к зеркалу). В первом приближении Солнце можно считать точечным источником $S$ (рис. 1). Тогда освещенное пятно представляет собой центральную проекцию отверстия на плоскость стены. Центр проекции $S$ расположен очень далеко, поэтому все лучи практически параллельны. Если при этом плоскости экрана с отверстием и стены параллельны, то форма и размер освещенного пятна $d_{1}$ совпадают с формой и размером отверстия $d: d_{1} = d$.
Пусть сначала экран с отверстием и стена перепенди-кулярны направлению лучей (рис. 1). Если наклонить нормаль к плоскости экрана с отверстием на угол $\beta$ относительно направления на Солнце, то размер светлого пятна в соответствующем направлении уменьшается:
$d_{1} = d \cos \beta$.
Если же наклонить нормаль к стене на угол $\gamma$, то размер пятна увеличивается:
$d_{1} = d/ \cos \gamma$.
При таких наклонах светлое пятно на стене имеет форму прямоугольника. Если одновременно наклонить экран и стену относительно направления лучей в разных плоскостях, то светлое пятно будет иметь форму параллелограмма.
рис.2
В действительности из-за конечности углового диаметра Солнца ($\alpha \approx 0,01$) границы тени на стене от краев отверстия в экране будут размыты. Очевидно, что полученные выше результаты справедливы, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна (т. е. размеров зеркала). Ширина полутени $d^{ \prime} = \alpha L$, где $L$ — расстояние от отверстия до стены (рис. 2). Итак, форма солнечного зайчика повторяет форму зеркала при условии $\alpha L \ll d$. Так как $\alpha \approx 0,01$, то рассматриваемое условие принимает вид
$L \ll 100d$.
При $d \approx 10 см$ это дает $L \ll 10 м$.
рис.3
2. Стена расположена далеко от отверстия (от зеркала). Теперь в первом приближении отверстие в экране можно считать точечным. Его форма не играет роли, н все определяется конечным угловым размером Солнца. Освещенное пятно на стене — это как бы изображение Солнца в камере-обскуре. Оно представляет собой сечение плоскостью стены кругового конуса солнечных лучей с вершиной в отверстии и углом $\alpha$ при вершине, равным угловому диаметру Солнца (рис. 3). Если стена перпендикулярна оси конуса лучей, то светлое пятно представляет собой круг диаметром $d_{1} = \alpha L$. При наклоне стены на угол $\gamma$ этот круг превращается в эллипс с большой осью
$d_{2} = d_{1}/ \cos \gamma = \alpha L / \cos \gamma$.
С увеличением размеров отверстия (т. е. зеркала) освещенность пятна возрастает (зайчик становится ярче), но одновременно его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие порядка размеров отверстия $d$. Таким образом, солнечный зайчик имеет эллиптическую (или круглую) форму, если $d \ll d_{1} = \alpha L$, т. е. при $L \gg 100d$.
Из приведенного решения ясно, что безразмерным параметром $\Gamma$, которым определяется форма солнечного зайчика, является отношение углового диаметра Солнца $\alpha$ к угловому размеру зеркала, т. е. к углу $\epsilon$, под которым оно видно/ от стены:
$\Gamma = \alpha / \epsilon = \alpha L/d$.
При $\Gamma < 1$ реализуется первый из рассмотренных случаев, при $\Gamma > 1$ — второй.
Проведенное рассмотрение целиком основывалось на законе геометрической оптики о прямолинейном распространении света. Исчерпывающее решение должно учитывать дифракционные эффекты, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в экране. Угол $\phi$ дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны $\lambda$ к размеру отверстия $d$:
$\phi = \lambda / d$.
Дифракционные эффекты не влияют на форму солнечного зайчика, если угол $\phi$ мал по сравнению с угловым размером Солнца $\alpha$:
$\lambda / d \ll \alpha$.
Считая $\lambda \approx 5 \cdot 10^{-7} м, \alpha \approx 0,01$, находим, что дифракционные эффекты не существенны, если размер $d$ зеркала превышает $5 \cdot 10^{-5} м$.
Если пускать солнечный зайчик с помощью плоского зеркала прямоугольной формы, то на ближней стене форма светлого пятна повторяет форму зеркала, а на далекой стене пятно имеет эллиптическую форму. Почему?
Решение:
Зеркало ограничивает (подобно диафрагме) пучок падающих на него прямолинейных солнечных лучей и изменяет их направление. Изменение направления лучей при их отражении не играет принципиальной роли в вопросе о форме образующегося на стене освещенного пятна. Поэтому достаточно рассмотреть ограничение пучка солнечных лучей отверстием такой же формы и размеров, как и зеркало.
Описанное в условии задачи явление объясняется тем, что свет от Солнца образует на стене изображение отверстия, когда стена находится близко, и дает изображение источника, когда стена далеко. Рассмотрим подробно оба случая.
рис.1
1. Стена расположена близко к отверстию (или к зеркалу). В первом приближении Солнце можно считать точечным источником $S$ (рис. 1). Тогда освещенное пятно представляет собой центральную проекцию отверстия на плоскость стены. Центр проекции $S$ расположен очень далеко, поэтому все лучи практически параллельны. Если при этом плоскости экрана с отверстием и стены параллельны, то форма и размер освещенного пятна $d_{1}$ совпадают с формой и размером отверстия $d: d_{1} = d$.
Пусть сначала экран с отверстием и стена перепенди-кулярны направлению лучей (рис. 1). Если наклонить нормаль к плоскости экрана с отверстием на угол $\beta$ относительно направления на Солнце, то размер светлого пятна в соответствующем направлении уменьшается:
$d_{1} = d \cos \beta$.
Если же наклонить нормаль к стене на угол $\gamma$, то размер пятна увеличивается:
$d_{1} = d/ \cos \gamma$.
При таких наклонах светлое пятно на стене имеет форму прямоугольника. Если одновременно наклонить экран и стену относительно направления лучей в разных плоскостях, то светлое пятно будет иметь форму параллелограмма.
рис.2
В действительности из-за конечности углового диаметра Солнца ($\alpha \approx 0,01$) границы тени на стене от краев отверстия в экране будут размыты. Очевидно, что полученные выше результаты справедливы, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна (т. е. размеров зеркала). Ширина полутени $d^{ \prime} = \alpha L$, где $L$ — расстояние от отверстия до стены (рис. 2). Итак, форма солнечного зайчика повторяет форму зеркала при условии $\alpha L \ll d$. Так как $\alpha \approx 0,01$, то рассматриваемое условие принимает вид
$L \ll 100d$.
При $d \approx 10 см$ это дает $L \ll 10 м$.
рис.3
2. Стена расположена далеко от отверстия (от зеркала). Теперь в первом приближении отверстие в экране можно считать точечным. Его форма не играет роли, н все определяется конечным угловым размером Солнца. Освещенное пятно на стене — это как бы изображение Солнца в камере-обскуре. Оно представляет собой сечение плоскостью стены кругового конуса солнечных лучей с вершиной в отверстии и углом $\alpha$ при вершине, равным угловому диаметру Солнца (рис. 3). Если стена перпендикулярна оси конуса лучей, то светлое пятно представляет собой круг диаметром $d_{1} = \alpha L$. При наклоне стены на угол $\gamma$ этот круг превращается в эллипс с большой осью
$d_{2} = d_{1}/ \cos \gamma = \alpha L / \cos \gamma$.
С увеличением размеров отверстия (т. е. зеркала) освещенность пятна возрастает (зайчик становится ярче), но одновременно его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие порядка размеров отверстия $d$. Таким образом, солнечный зайчик имеет эллиптическую (или круглую) форму, если $d \ll d_{1} = \alpha L$, т. е. при $L \gg 100d$.
Из приведенного решения ясно, что безразмерным параметром $\Gamma$, которым определяется форма солнечного зайчика, является отношение углового диаметра Солнца $\alpha$ к угловому размеру зеркала, т. е. к углу $\epsilon$, под которым оно видно/ от стены:
$\Gamma = \alpha / \epsilon = \alpha L/d$.
При $\Gamma < 1$ реализуется первый из рассмотренных случаев, при $\Gamma > 1$ — второй.
Проведенное рассмотрение целиком основывалось на законе геометрической оптики о прямолинейном распространении света. Исчерпывающее решение должно учитывать дифракционные эффекты, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в экране. Угол $\phi$ дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны $\lambda$ к размеру отверстия $d$:
$\phi = \lambda / d$.
Дифракционные эффекты не влияют на форму солнечного зайчика, если угол $\phi$ мал по сравнению с угловым размером Солнца $\alpha$:
$\lambda / d \ll \alpha$.
Считая $\lambda \approx 5 \cdot 10^{-7} м, \alpha \approx 0,01$, находим, что дифракционные эффекты не существенны, если размер $d$ зеркала превышает $5 \cdot 10^{-5} м$.
