Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4237
2017-10-13 
Два плоских зеркала образуют двугранный угол $\alpha$. На одно из зеркал падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Определить угол отклонения луча $\beta$ от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Ход лучей показан на рис. 1.
Решение:
рис.2
Пусть угол падения луча на первое зеркало равен $\gamma$, а на второе — $\delta$. Очевидно, что угол $\beta$ как внешний угол треугольника, образованного лучами, равен $2( \gamma + \delta)$. С другой стороны, $\gamma + \delta = \alpha$, потому что как угол $\alpha$, так и углы $\gamma + \delta$ дополняют угол $\omega$ до $\pi$. Поэтому $\beta = 2 \alpha$. Самое интересное, что этот угол не зависит от угла падения луча на зеркало! Именно это свойство и позволило использовать такую систему зеркал в навигационном приборе, называемом секстантом. Секстантом измеряют высоту светила над горизонтом, т. е. угол $\beta$ между направлениями на горизонт и на звезду (рис. 2). Делается это в неблагоприятных условиях, например на качающейся палубе корабля. Прибор можно держать трясущимися руками, при этом важно только точно зафиксировать угол а. Одно из зеркал полупрозрачное. Наблюдая сквозь него линию горизонта, изменением угла а совмещают с ней видимое в этом зеркале изображение светила (рис. 2). Затем значение угла $\alpha$ считывается со шкалы прибора.
рис.3
Обратим внимание на частный случай, когда зеркала образуют между собой прямой угол. Тогда $\beta = \pi$ и падающий луч в результате двух отражений поворачивает в обратном направлении (рис. 3). Напомним, что это справедливо только в том случае, когда падающий луч лежит в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла между зеркалами.
рис.4
А можно ли сделать устройство, в котором падающий луч при любых условиях отражался бы назад? Оказывается, что для этого достаточно добавить к двум зеркалам третье, расположив его таким образом, чтобы плоскости всех трех зеркал были взаимно перпендикулярны, подобно координатным плоскостям декартовой системы (рис. 4). При произвольной ориентации падающего луча он, испытав отражение от каждого из зеркал, будет распространяться точно в обратном направлении. Убедиться в этом совсем несложно. На рис. 5а штриховкой показаны плоскость зеркала и плоскость падения луча. Видно, что проекции падающего и отраженного лучей на плоскость зеркала направлены вдоль одной и той же прямой MN (рис. 5б).
рис.5
рис.6
Проекции этих лучей на любую плоскость $Q$, перпендикулярную зеркалу, образуют равные углы с перпендикуляром к зеркалу (рис. 5в). Отсюда следует, что при отражении лучей от трех взаимно перпендикулярных зеркал проекция лучей на плоскость любого из трех зеркал выглядит так, как показано на рис. 6. Но раз проекция луча на любую из координатных плоскостей меняет направление на противоположное, то и сам луч в результате трех отражений поворачивает точно назад. Такое устройство называется уголковым отражателем или катафотом и широко применяется на практике.
Уголковые отражатели часто выполняют в виде срезанного угла стеклянного кубика, т. е. равносторонней трехгранной пирамиды. Боковые грани такого кубика делают зеркальными. Уголковые отражатели используются вместо зеркал в лазерных резонаторах и в дальномерах. Их преимущество в том, что они не требуют юстировки. Специальные уголковые отражатели были доставлены на Луну и использованы для точного измерения расстояния до нее с помощью лазерного излучения. Погрешность измерения составила всего лишь 0,1 м.
Наиболее распространенное применение катафотов — это красные отражатели света, устанавливаемые на автомобилях, велосипедах и дорожных знаках. Такой катафот представляет собой мозаику из зеркальных углов.
рис.7
Интересно отметить, что таким же свойством отражать падающий под любым углом свет точно в обратном направлении обладает оптический элемент, изображенный на рис. 7. Он представляет собой шарик из прозрачного материала с показателем преломления $n=2$ и с посеребренной задней поверхностью. Нетрудно показать, что любой луч, проходящий внутри шарика не слишком далеко от центра, после отражения на задней поверхности выйдет из шарика в обратном направлении. Это свойство используют при изготовлении светоотражающей краски для дорожных знаков: в ее состав вводят мелкие стеклянные шарики.
Два плоских зеркала образуют двугранный угол $\alpha$. На одно из зеркал падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной ребру угла. Определить угол отклонения луча $\beta$ от первоначального направления после отражения от обоих зеркал. Ход лучей показан на рис. 1.
Решение:
рис.2
Пусть угол падения луча на первое зеркало равен $\gamma$, а на второе — $\delta$. Очевидно, что угол $\beta$ как внешний угол треугольника, образованного лучами, равен $2( \gamma + \delta)$. С другой стороны, $\gamma + \delta = \alpha$, потому что как угол $\alpha$, так и углы $\gamma + \delta$ дополняют угол $\omega$ до $\pi$. Поэтому $\beta = 2 \alpha$. Самое интересное, что этот угол не зависит от угла падения луча на зеркало! Именно это свойство и позволило использовать такую систему зеркал в навигационном приборе, называемом секстантом. Секстантом измеряют высоту светила над горизонтом, т. е. угол $\beta$ между направлениями на горизонт и на звезду (рис. 2). Делается это в неблагоприятных условиях, например на качающейся палубе корабля. Прибор можно держать трясущимися руками, при этом важно только точно зафиксировать угол а. Одно из зеркал полупрозрачное. Наблюдая сквозь него линию горизонта, изменением угла а совмещают с ней видимое в этом зеркале изображение светила (рис. 2). Затем значение угла $\alpha$ считывается со шкалы прибора.
рис.3
Обратим внимание на частный случай, когда зеркала образуют между собой прямой угол. Тогда $\beta = \pi$ и падающий луч в результате двух отражений поворачивает в обратном направлении (рис. 3). Напомним, что это справедливо только в том случае, когда падающий луч лежит в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла между зеркалами.
рис.4
А можно ли сделать устройство, в котором падающий луч при любых условиях отражался бы назад? Оказывается, что для этого достаточно добавить к двум зеркалам третье, расположив его таким образом, чтобы плоскости всех трех зеркал были взаимно перпендикулярны, подобно координатным плоскостям декартовой системы (рис. 4). При произвольной ориентации падающего луча он, испытав отражение от каждого из зеркал, будет распространяться точно в обратном направлении. Убедиться в этом совсем несложно. На рис. 5а штриховкой показаны плоскость зеркала и плоскость падения луча. Видно, что проекции падающего и отраженного лучей на плоскость зеркала направлены вдоль одной и той же прямой MN (рис. 5б).
рис.5
рис.6
Проекции этих лучей на любую плоскость $Q$, перпендикулярную зеркалу, образуют равные углы с перпендикуляром к зеркалу (рис. 5в). Отсюда следует, что при отражении лучей от трех взаимно перпендикулярных зеркал проекция лучей на плоскость любого из трех зеркал выглядит так, как показано на рис. 6. Но раз проекция луча на любую из координатных плоскостей меняет направление на противоположное, то и сам луч в результате трех отражений поворачивает точно назад. Такое устройство называется уголковым отражателем или катафотом и широко применяется на практике.
Уголковые отражатели часто выполняют в виде срезанного угла стеклянного кубика, т. е. равносторонней трехгранной пирамиды. Боковые грани такого кубика делают зеркальными. Уголковые отражатели используются вместо зеркал в лазерных резонаторах и в дальномерах. Их преимущество в том, что они не требуют юстировки. Специальные уголковые отражатели были доставлены на Луну и использованы для точного измерения расстояния до нее с помощью лазерного излучения. Погрешность измерения составила всего лишь 0,1 м.
Наиболее распространенное применение катафотов — это красные отражатели света, устанавливаемые на автомобилях, велосипедах и дорожных знаках. Такой катафот представляет собой мозаику из зеркальных углов.
рис.7
Интересно отметить, что таким же свойством отражать падающий под любым углом свет точно в обратном направлении обладает оптический элемент, изображенный на рис. 7. Он представляет собой шарик из прозрачного материала с показателем преломления $n=2$ и с посеребренной задней поверхностью. Нетрудно показать, что любой луч, проходящий внутри шарика не слишком далеко от центра, после отражения на задней поверхности выйдет из шарика в обратном направлении. Это свойство используют при изготовлении светоотражающей краски для дорожных знаков: в ее состав вводят мелкие стеклянные шарики.
