Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4235
2017-10-13 
Конец натянутой упругой струны приводится в гармоническое колебательное движение с амплитудой $A$ и частотой $\omega$ с помощью устройства, схема которого показана на рис. 1. Какую мощность развивает двигатель, приводящий его в движение? Во что превращается затраченная энергия? Что происходит на другом конце струны? Каким образом можно добиться того, чтобы там не происходило отражения волны?
Решение:
рис.2
Для того чтобы описать вынужденное движение струны, введем оси координат $x$ и $z$ так, как показано на рис. 2: ось $z$ совпадает с равновесным положением струны, а ось $x$ направлена вдоль стержня, приводящего конец струны в движение. Выберем начало отсчета времени так, чтобы смещение левого конца струны давалось выражением
$x(t)= A \cos \omega t$. (1)
Вынужденные колебания левого конца струны приводят к появлению в струне упругой волны, распространяющейся направо вдоль оси $z$. Скорость $u$ такой волны, как было выяснено в задаче 4234, зависит от предварительной силы натяжения струны $F_{0}$, плотности материала струны $\rho$ и площади ее поперечного сечения $S$:
$u^{2} = F_{0} / \rho S$. (2)
При распространении волны поперечное смещение х любой точки струны, имеющей в равновесии координату $z$, повторяет движение левого конца спустя промежуток времени $z/u$, который требуется для того, чтобы волна распространилась на расстояние $z$:
$x(z, t) = x(0, t - z/u) = A \cos \omega (t - z/u)$. (3)
Для того чтобы найти развиваемую двигателем мощность, нужно знать силу $\vec{F}$, с которой стержень действует на левый конец струны. Струна действует на стержень с равной по модулю и противоположной по направлению силой $F_{1}$ (рис. 2). Для гибкой струны, проявляющей упругие свойства только при деформации растяжения, сила натяжения в любой точке направлена по касательной. Поэтому действующая на стержень сила $\vec{ F}_{1}$ направлена под углом $\alpha$ к оси $z$, тангенс которого, как видно из рис. 2, равен производной $d x / dz$ при $z = 0$:
$tg \alpha = A \frac{ \omega}{u} \sin \omega \left ( t - \frac{z}{u} \right ) |_{z=0} = A \frac{ \omega}{ u} \sin \omega t$. (4)
При распространении волны в струне каждый ее элемент перемещается только поперек равновесного положения струны. Поэтому горизонтальная проекция силы натяжения струны остается неизменной и равной по модулю предварительной силе натяжения $F_{0}$ в любой момент времени и в любом месте струны, в том числе и на ее левом конце. Отсюда следует, что вертикальная проекция силы $\vec{F}$, равная $- F_{0} tg \alpha$ (рис. 2), изменяется со временем по гармоническому закону:
$F_{x}(t) = -F_{0} A \frac{ \omega }{u} \sin \omega t$. (5)
Скорость движения левого конца струны равна производной по времени от смещения $x(t)$, даваемого формулой (1):
$v_{x} = \dot{x} = - A \omega \sin \omega t$. (6)
Мгновенное значение развиваемой двигателем мощности $P$ равно скалярному произведению действующей на левый конец струны силы $\vec{F}$ на его скорость $\vec{v}$:
$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F_{x}v_{x} = F_{0} A^{2} \frac{ \omega^{2}}{u} \sin^{2} \omega t$. (7)
Видно, что развиваемая двигателем мощность испытывает колебания от нуля до максимального значения, равного $F_{0} A^{2} \omega^{2} /u$. Среднее значение мощности легко найти, если выразить входящий в формулу (7) квадрат синуса через косинус двойного угла:
$\sin^{2} \omega t = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \omega t)$. (8)
При усреднении по времени второе слагаемое в (8) исчезает, и выражение для средней мощности $\langle P \rangle$ принимает вид
$\langle P \rangle = \frac{1}{2} F_{0} A^{2} \frac{ \omega^{2} }{ u}$. (9)
Подставляя сюда значение силы натяжения струны $F_{0}$ из формулы (2), выражение для $\langle P \rangle$ можно записать следующим образом:
$\langle P \rangle = \frac{1}{2} \rho S \omega^{2} A^{2} u$. (10)
Затраченная на возбуждение колебаний левого конца струны энергия, разумеется, не исчезает бесследно, а переносится волной вдоль струны. Это отчетливо видно из формулы (10), в которой правая часть как раз равна потоку энергии, переносимой волной. В самом деле, если рассмотреть кинетическую и потенциальную энергии некоторого элемента струны длины $\Delta l$ при прохождении волны, то можно убедиться, что среднее значение их суммы равно $\rho S \omega^{2} A^{2} \Delta l /2$. За единицу времени волна распространяется на расстояние $\Delta l$, численно равное ее скорости $u$. Поэтому правая часть формулы (10) представляет собой энергию, переносимую волной через любое сечение струны за единицу времени.
Если струна простирается направо до бесконечности, то энергия переносится волной только в одном направлении. Если при этом диссипация механической энергии, приводящая к затуханию колебаний, пренебрежимо мала, то средний поток энергии в любом месте одинаков.
В ограниченной струне характер распространения энергии будет различным в зависимости от условий на другом конце струны. Если, например, второй конец струны закреплен, то струна не может передать энергию стенке, так как последняя точка струны неподвижна. Энергия волны целиком отражается назад от закрепленного конца. В результате в струне образуется стоячая волна, в которой энергия не переносится через узловые точки, где амплитуда колебаний равна нулю. Можно показать, что в этом случае средняя мощность двигателя, возбуждающего такую стоячую волну, равна нулю; сколько энергии в течение периода колебаний двигатель отдает струне, столько же и получает от нее обратно.
рис.3
Но можно на другом конце струны создать и такие условия, что волна не будет отражаться и вся переносимая ею энергия будет передаваться некоторому устройству. Что же должно представлять собой такое устройство? Для того чтобы на правом конце струны длиной $l$ не происходило отражения волны, нужно, чтобы условия в последней точке струны были бы такими же, как и в бесконечной струне. Другими словами, если «убрать» продолжение струны, то смещение и скорость последней точки должны остаться такими же. Для этого сила $\vec{F}_{2}$, действующая на последнюю точку струны со стороны устройства, должна быть такой же, как и со стороны «отрезанной» части бесконечной струны (рис. 3).
При нахождении силы $\vec{F}_{2}$ можно поступать так же, как и при нахождении силы $\vec{F}$ на левом конце струны. Тангенс угла $\beta$ (рис. 3) равен производной $dx/dz$ при $z = l$:
$tg \beta = A \frac{ \omega}{u} \sin \omega \left . \left ( t - \frac{z}{u} \right ) \right |_{z=l} = A \frac{ \omega}{u} \sin \omega \left ( t - \frac{l}{u} \right )$. (11)
Так как горизонтальная проекция силы $\vec{F}_{2}$ равна предварительной силе натяжения струны $F_{0}$, то вертикальная проекция силы $\vec{F}_{2}$, равная $F_{0} tg \beta$, дается выражением
$F_{2x} = F_{0} A \frac{ \omega }{u} \sin \omega \left ( t - \frac{l}{u} \right )$. (12)
Легко заметить, что эта сила в каждый момент времени пропорциональна скорости $v_{2}$ правого конца струны. Эту скорость можно вычислить с помощью выражения (3), предварительно положив в нем $z = l$:
$v_{2} = \dot{x} (l, t) = - A \omega \sin \omega \left ( t - \frac{l}{u} \right )$. (13)
Сравнивая формулы (12) и (13), видим, что сила $\vec{F}_{2}$, которая действует на правый конец струны со стороны устройства, обеспечивающего поглощение волны, должна быть пропорциональна скорости крайней точки струны $v_{2}$:
$F_{2x} = F_{0} v_{2}/u$. (14)
Требуемое устройство можно осуществить, используя силу сопротивления при движении тела в вязкой среде, которая при небольших скоростях пропорциональна скорости. Возьмем, например, легкий шток с поршнем пренебрежимо малой массы, который может передвигаться вертикально в цилиндре, заполненном вязкой жидкостью (рис. 3). При этом вязкость жидкости и размер поршня нужно подобрать таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью был бы как раз таким, какой требуется формулой (14), т. е. $F_{0}/u$.
При использовании такого устройства вся энергия, передаваемая струне на ее левом конце, будет превращаться в теплоту при движении поршня в вязкой жидкости. Таким образом, рассмотренная система фактически представляет собой механический волновод с согласованной нагрузкой на правом конце, с помощью которого энергия может передаваться из одного места в другое.
Аналогичным образом можно передавать энергию из одного места в другое и с помощью электромагнитных волн. Для соответствующих линий передачи или волноводов требуется подбирать нагрузку так, чтобы она была согласована с волноводом, т. е. чтобы не происходило отражения волны от его конца.
Конец натянутой упругой струны приводится в гармоническое колебательное движение с амплитудой $A$ и частотой $\omega$ с помощью устройства, схема которого показана на рис. 1. Какую мощность развивает двигатель, приводящий его в движение? Во что превращается затраченная энергия? Что происходит на другом конце струны? Каким образом можно добиться того, чтобы там не происходило отражения волны?
Решение:
рис.2
Для того чтобы описать вынужденное движение струны, введем оси координат $x$ и $z$ так, как показано на рис. 2: ось $z$ совпадает с равновесным положением струны, а ось $x$ направлена вдоль стержня, приводящего конец струны в движение. Выберем начало отсчета времени так, чтобы смещение левого конца струны давалось выражением
$x(t)= A \cos \omega t$. (1)
Вынужденные колебания левого конца струны приводят к появлению в струне упругой волны, распространяющейся направо вдоль оси $z$. Скорость $u$ такой волны, как было выяснено в задаче 4234, зависит от предварительной силы натяжения струны $F_{0}$, плотности материала струны $\rho$ и площади ее поперечного сечения $S$:
$u^{2} = F_{0} / \rho S$. (2)
При распространении волны поперечное смещение х любой точки струны, имеющей в равновесии координату $z$, повторяет движение левого конца спустя промежуток времени $z/u$, который требуется для того, чтобы волна распространилась на расстояние $z$:
$x(z, t) = x(0, t - z/u) = A \cos \omega (t - z/u)$. (3)
Для того чтобы найти развиваемую двигателем мощность, нужно знать силу $\vec{F}$, с которой стержень действует на левый конец струны. Струна действует на стержень с равной по модулю и противоположной по направлению силой $F_{1}$ (рис. 2). Для гибкой струны, проявляющей упругие свойства только при деформации растяжения, сила натяжения в любой точке направлена по касательной. Поэтому действующая на стержень сила $\vec{ F}_{1}$ направлена под углом $\alpha$ к оси $z$, тангенс которого, как видно из рис. 2, равен производной $d x / dz$ при $z = 0$:
$tg \alpha = A \frac{ \omega}{u} \sin \omega \left ( t - \frac{z}{u} \right ) |_{z=0} = A \frac{ \omega}{ u} \sin \omega t$. (4)
При распространении волны в струне каждый ее элемент перемещается только поперек равновесного положения струны. Поэтому горизонтальная проекция силы натяжения струны остается неизменной и равной по модулю предварительной силе натяжения $F_{0}$ в любой момент времени и в любом месте струны, в том числе и на ее левом конце. Отсюда следует, что вертикальная проекция силы $\vec{F}$, равная $- F_{0} tg \alpha$ (рис. 2), изменяется со временем по гармоническому закону:
$F_{x}(t) = -F_{0} A \frac{ \omega }{u} \sin \omega t$. (5)
Скорость движения левого конца струны равна производной по времени от смещения $x(t)$, даваемого формулой (1):
$v_{x} = \dot{x} = - A \omega \sin \omega t$. (6)
Мгновенное значение развиваемой двигателем мощности $P$ равно скалярному произведению действующей на левый конец струны силы $\vec{F}$ на его скорость $\vec{v}$:
$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F_{x}v_{x} = F_{0} A^{2} \frac{ \omega^{2}}{u} \sin^{2} \omega t$. (7)
Видно, что развиваемая двигателем мощность испытывает колебания от нуля до максимального значения, равного $F_{0} A^{2} \omega^{2} /u$. Среднее значение мощности легко найти, если выразить входящий в формулу (7) квадрат синуса через косинус двойного угла:
$\sin^{2} \omega t = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \omega t)$. (8)
При усреднении по времени второе слагаемое в (8) исчезает, и выражение для средней мощности $\langle P \rangle$ принимает вид
$\langle P \rangle = \frac{1}{2} F_{0} A^{2} \frac{ \omega^{2} }{ u}$. (9)
Подставляя сюда значение силы натяжения струны $F_{0}$ из формулы (2), выражение для $\langle P \rangle$ можно записать следующим образом:
$\langle P \rangle = \frac{1}{2} \rho S \omega^{2} A^{2} u$. (10)
Затраченная на возбуждение колебаний левого конца струны энергия, разумеется, не исчезает бесследно, а переносится волной вдоль струны. Это отчетливо видно из формулы (10), в которой правая часть как раз равна потоку энергии, переносимой волной. В самом деле, если рассмотреть кинетическую и потенциальную энергии некоторого элемента струны длины $\Delta l$ при прохождении волны, то можно убедиться, что среднее значение их суммы равно $\rho S \omega^{2} A^{2} \Delta l /2$. За единицу времени волна распространяется на расстояние $\Delta l$, численно равное ее скорости $u$. Поэтому правая часть формулы (10) представляет собой энергию, переносимую волной через любое сечение струны за единицу времени.
Если струна простирается направо до бесконечности, то энергия переносится волной только в одном направлении. Если при этом диссипация механической энергии, приводящая к затуханию колебаний, пренебрежимо мала, то средний поток энергии в любом месте одинаков.
В ограниченной струне характер распространения энергии будет различным в зависимости от условий на другом конце струны. Если, например, второй конец струны закреплен, то струна не может передать энергию стенке, так как последняя точка струны неподвижна. Энергия волны целиком отражается назад от закрепленного конца. В результате в струне образуется стоячая волна, в которой энергия не переносится через узловые точки, где амплитуда колебаний равна нулю. Можно показать, что в этом случае средняя мощность двигателя, возбуждающего такую стоячую волну, равна нулю; сколько энергии в течение периода колебаний двигатель отдает струне, столько же и получает от нее обратно.
рис.3
Но можно на другом конце струны создать и такие условия, что волна не будет отражаться и вся переносимая ею энергия будет передаваться некоторому устройству. Что же должно представлять собой такое устройство? Для того чтобы на правом конце струны длиной $l$ не происходило отражения волны, нужно, чтобы условия в последней точке струны были бы такими же, как и в бесконечной струне. Другими словами, если «убрать» продолжение струны, то смещение и скорость последней точки должны остаться такими же. Для этого сила $\vec{F}_{2}$, действующая на последнюю точку струны со стороны устройства, должна быть такой же, как и со стороны «отрезанной» части бесконечной струны (рис. 3).
При нахождении силы $\vec{F}_{2}$ можно поступать так же, как и при нахождении силы $\vec{F}$ на левом конце струны. Тангенс угла $\beta$ (рис. 3) равен производной $dx/dz$ при $z = l$:
$tg \beta = A \frac{ \omega}{u} \sin \omega \left . \left ( t - \frac{z}{u} \right ) \right |_{z=l} = A \frac{ \omega}{u} \sin \omega \left ( t - \frac{l}{u} \right )$. (11)
Так как горизонтальная проекция силы $\vec{F}_{2}$ равна предварительной силе натяжения струны $F_{0}$, то вертикальная проекция силы $\vec{F}_{2}$, равная $F_{0} tg \beta$, дается выражением
$F_{2x} = F_{0} A \frac{ \omega }{u} \sin \omega \left ( t - \frac{l}{u} \right )$. (12)
Легко заметить, что эта сила в каждый момент времени пропорциональна скорости $v_{2}$ правого конца струны. Эту скорость можно вычислить с помощью выражения (3), предварительно положив в нем $z = l$:
$v_{2} = \dot{x} (l, t) = - A \omega \sin \omega \left ( t - \frac{l}{u} \right )$. (13)
Сравнивая формулы (12) и (13), видим, что сила $\vec{F}_{2}$, которая действует на правый конец струны со стороны устройства, обеспечивающего поглощение волны, должна быть пропорциональна скорости крайней точки струны $v_{2}$:
$F_{2x} = F_{0} v_{2}/u$. (14)
Требуемое устройство можно осуществить, используя силу сопротивления при движении тела в вязкой среде, которая при небольших скоростях пропорциональна скорости. Возьмем, например, легкий шток с поршнем пренебрежимо малой массы, который может передвигаться вертикально в цилиндре, заполненном вязкой жидкостью (рис. 3). При этом вязкость жидкости и размер поршня нужно подобрать таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью был бы как раз таким, какой требуется формулой (14), т. е. $F_{0}/u$.
При использовании такого устройства вся энергия, передаваемая струне на ее левом конце, будет превращаться в теплоту при движении поршня в вязкой жидкости. Таким образом, рассмотренная система фактически представляет собой механический волновод с согласованной нагрузкой на правом конце, с помощью которого энергия может передаваться из одного места в другое.
Аналогичным образом можно передавать энергию из одного места в другое и с помощью электромагнитных волн. Для соответствующих линий передачи или волноводов требуется подбирать нагрузку так, чтобы она была согласована с волноводом, т. е. чтобы не происходило отражения волны от его конца.
