Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4234
2017-10-13 
Кольцевой резиновый жгут раскручен вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца (рис. 1). Линейная скорость элементов жгута равна $v$. С какой скоростью будут распространяться по такому кольцу поперечные волны малой амплитуды?
Решение:
Упругая поперечная волна в гибком резиновом жгуте может распространяться только в случае, если этот жгут натянут. Предварительное натяжение необходимо потому, что ненатянутый жгут, в отличие от твердого тела, обладает упругостью только по отношению к деформации растяжения, но не сжатия. В рассматриваемом примере сила натяжения кольцевого жгута обусловлена его вращением. Найдем эту силу натяжения.
рис.2
Выделим мысленно на вращающемся жгуте элемент $\Delta l$, характеризуемый малым углом $\theta$ (рис. 2). Силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, действующие на выделенный элемент со стороны соседних участков, направлены по касательной к окружности. Модуль этих сил $F$ — это и есть интересующая нас сила натяжения жгута. Равнодействующая сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ сообщает выделенному элементу жгута центростремительное ускорение $v^{2}/R$. Масса выделенного элемента равна $\rho S \Delta l = \rho SR \theta$,
где $\rho$ — плотность резины, $S$ — площадь поперечного сечения жгута. Поэтому на основании второго закона Ньютона имеем
$F \theta = \rho SR \theta v^{2} /R$, (1)
откуда
$F = \rho S v^{2}$. (2)
рис.3
рис.4
Предположим теперь, что по этому кольцу распространяется упругая волна, в которой смещение элементов жгута происходит в направлении, перпендикулярном равновесной плоскости жгута. Пусть эта волна распространяется, например, в ту же сторону, в какую вращается кольцо. Для того чтобы найти скорость распространения этой волны в жгуте $u$, поступим следующим образом. Перейдем в новую систему отсчета К, в которой в некоторый момент времени окажется неподвижным определенный выделенный горб волны (рис. 3). Ясно, что эта система отсчета движется равномерно со скоростью $u + v$ в направлении касательной к окружности, образуемой вращающимся жгутом. Выделенный горб будет в этой системе отсчета неподвижен в тот момент, когда его скорость окажется параллельной скорости введенной системы отсчета. В этот момент горб будет выглядеть застывшим, а вещество жгута будет скользить вдоль застывшего горба со скоростью $u$ налево (рис. 4). Поскольку новая система отсчета является инерциальной, в ней также справедлив второй закон Ньютона. Применим его к движению элемента жгута, проходящего через вершину горба. Этот элемент движется со скоростью $u$ по дуге окружности некоторого радиуса $r$, которая лежит В вертикальной плоскости и показана штриховой линией на рис. 13.4. Проекция уравнения второго закона Ньютона на вертикальное направление при движении по этой окружности записывается в виде
$F \phi = \rho S r \phi u^{2} / r$. (3)
Отсюда для квадрата скорости распространения поперечной волны по жгуту имеем
$u^{2} = F/ \rho S$. (4)
Ясно, что такое же выражение для скорости волны будет справедливо и в случае прямолинейного жгута, натяжение которого создается внешними силами.
Подставляя в формулу (4) выражение для силы натяжения $F$ через скорость вращающегося жгута $v$ из (2), находим, что $u=v$. Другими словами, скорость поперечных волн относительно жгута, сила натяжения которого обусловливается его вращением, совпадает с линейной скоростью вращения жгута. Поэтому волны, которые бегут в ту же сторону, куда вращается жгут, движутся относительно неподвижного наблюдателя со скоростью $2v$, а волны, бегущие навстречу вращению жгута, кажутся такому наблюдателю неподвижными.
Кольцевой резиновый жгут раскручен вокруг оси, перпендикулярной плоскости кольца (рис. 1). Линейная скорость элементов жгута равна $v$. С какой скоростью будут распространяться по такому кольцу поперечные волны малой амплитуды?
Решение:
Упругая поперечная волна в гибком резиновом жгуте может распространяться только в случае, если этот жгут натянут. Предварительное натяжение необходимо потому, что ненатянутый жгут, в отличие от твердого тела, обладает упругостью только по отношению к деформации растяжения, но не сжатия. В рассматриваемом примере сила натяжения кольцевого жгута обусловлена его вращением. Найдем эту силу натяжения.
рис.2
Выделим мысленно на вращающемся жгуте элемент $\Delta l$, характеризуемый малым углом $\theta$ (рис. 2). Силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, действующие на выделенный элемент со стороны соседних участков, направлены по касательной к окружности. Модуль этих сил $F$ — это и есть интересующая нас сила натяжения жгута. Равнодействующая сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ сообщает выделенному элементу жгута центростремительное ускорение $v^{2}/R$. Масса выделенного элемента равна $\rho S \Delta l = \rho SR \theta$,
где $\rho$ — плотность резины, $S$ — площадь поперечного сечения жгута. Поэтому на основании второго закона Ньютона имеем
$F \theta = \rho SR \theta v^{2} /R$, (1)
откуда
$F = \rho S v^{2}$. (2)
рис.3
рис.4
Предположим теперь, что по этому кольцу распространяется упругая волна, в которой смещение элементов жгута происходит в направлении, перпендикулярном равновесной плоскости жгута. Пусть эта волна распространяется, например, в ту же сторону, в какую вращается кольцо. Для того чтобы найти скорость распространения этой волны в жгуте $u$, поступим следующим образом. Перейдем в новую систему отсчета К, в которой в некоторый момент времени окажется неподвижным определенный выделенный горб волны (рис. 3). Ясно, что эта система отсчета движется равномерно со скоростью $u + v$ в направлении касательной к окружности, образуемой вращающимся жгутом. Выделенный горб будет в этой системе отсчета неподвижен в тот момент, когда его скорость окажется параллельной скорости введенной системы отсчета. В этот момент горб будет выглядеть застывшим, а вещество жгута будет скользить вдоль застывшего горба со скоростью $u$ налево (рис. 4). Поскольку новая система отсчета является инерциальной, в ней также справедлив второй закон Ньютона. Применим его к движению элемента жгута, проходящего через вершину горба. Этот элемент движется со скоростью $u$ по дуге окружности некоторого радиуса $r$, которая лежит В вертикальной плоскости и показана штриховой линией на рис. 13.4. Проекция уравнения второго закона Ньютона на вертикальное направление при движении по этой окружности записывается в виде
$F \phi = \rho S r \phi u^{2} / r$. (3)
Отсюда для квадрата скорости распространения поперечной волны по жгуту имеем
$u^{2} = F/ \rho S$. (4)
Ясно, что такое же выражение для скорости волны будет справедливо и в случае прямолинейного жгута, натяжение которого создается внешними силами.
Подставляя в формулу (4) выражение для силы натяжения $F$ через скорость вращающегося жгута $v$ из (2), находим, что $u=v$. Другими словами, скорость поперечных волн относительно жгута, сила натяжения которого обусловливается его вращением, совпадает с линейной скоростью вращения жгута. Поэтому волны, которые бегут в ту же сторону, куда вращается жгут, движутся относительно неподвижного наблюдателя со скоростью $2v$, а волны, бегущие навстречу вращению жгута, кажутся такому наблюдателю неподвижными.
