Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4233
2017-10-13 
К невесомому обручу радиусом $R$, расположенному вертикально, прикреплена материальная точка массы $m$. Обруч может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Если вывести обруч из положения равновесия так, чтобы диаметр обруча, проходящий через материальную точку, образовал небольшой угол $\phi_{0}$ с вертикалью (рис. 1), и отпустить без толчка, то возникнут колебания. Каков период этих колебаний?
Решение:
Если обруч находится в положении устойчивого равновесия, то прикрепленная к нему материальная точка занимает самое нижнее положение. Когда обруч катится без проскальзывания, эта точка движется по циклоиде. Получим прежде всего уравнение этой циклоиды.
рис.2
Выберем начало координат в положении равновесия материальной точки. «Прокатим» обруч по оси х так, что диаметр, проходящий через точку $m$, образует с вертикалью угол $\phi$ (рис. 2). Выразим координаты х и у интересующей нас точки через угол $\phi$. При качении без проскальзывания длина дуги $AB = R \phi$ равна длина отрезка ОВ. Поэтому непосредственно из рис. 2 видно, что
$x = R ( \phi - \sin \phi ), y = R (1 - \cos \phi)$. (1)
При малых колебаниях обруча, когда угол $\phi \ll 1$, формулы (1) можно упростить. Для этого заменим $\sin \phi$ на $\phi$, тогда выражение для $\cos \phi$ можно записать в виде
$\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^{2} \phi} \approx \sqrt{1 - \phi^{2}} \approx 1 - \phi^{2}/2$.
Теперь уравнения (1) переписываются следующим образом:
$x=0, y = R \phi^{2}/2$. (2)
Из этих соотношений следует, что при малых колебаниях обруча закрепленная на нем точка движется практически по вертикали.
Найти закон движения материальной точки по известной траектории можно, вообще не рассматривая действующие силы, а используя только закон сохранения энергии. Так как при малых углах $\phi$ точка движется по вертикали, ее кинетическая энергия равна $my^{2}/2$. Считая потенциальную энергию равной нулю в положении равновесия, запишем закон сохранения энергии в виде
$\frac{m \dot{y}^{2}}{2} + mgy = const$. (3)
Продифференцируем это уравнение по времени:
$m \dot{y} \ddot{y} + mg \dot{y} = 0$. (4)
Так как $\dot{y}$ не равно нулю тождественно, то из этого соотношения после сокращения на $m \dot{y}$ получаем
$\ddot{y} + g = 0$. (5)
Это уравнение говорит о том, что ускорение материальной точки все время направлено вертикально вниз, постоянно по модулю и равно ускорению свободного падения. Значит, при малых колебаниях невесомого обруча прикрепленная к нему материальная точка движется так же, как при свободном падении в поле тяжести. Каждый раз в момент прохождения через положение равновесия направление движения точки изменяется на противоположное, т, е. она ведет себя так же, как упругий стальной шарик, подскакивающий в поле тяжести над горизонтальной мраморной плитой.
Теперь легко написать уравнения, выражающие зависимость скорости и координаты точки от времени для первой четверти периода колебаний $T$. Так как согласно (5) $\ddot{y} = - g$, то
$\dot{y} = -gt, y(t) = y_{0} - \frac{gt^{2}}{2} (0 < t < T/4)$ (6)
Здесь $y_{0}$ — высота, на которой находилась масса т в начальный момент, когда обруч был отклонен от положения равновесия на угол $\phi_{0}$ и отпущен без толчка.
рис.3
Графики зависимости скорости и координаты у от времени показаны на рис. 3. Могло бы показаться на первый взгляд, что период колебаний вдвое меньше указанного на этих графиках. Период действительно был бы вдвое меньше, если бы речь шла о подскакивающем шарике. Но для обруча это не так, ибо период колебания здесь определяется временем полного цикла изменения угла $\phi$, который состоит из отклонений обруча как в одну сторону, так и в другую. Это особенно отчетливо видно из графика зависимости угла отклонения от времени, который показан на том же рис. 3.
График зависимости $\phi(t)$ состоит из половинок эллипсов, в чем можно убедиться, подставив во вторую из формул (6) координату у, выраженную через угол $\phi$ с помощью соотношения (2):
$\phi^{2}(t) = \phi_{0}^{2} - gt^{2}/R$ (7)
Эту формулу можно переписать в виде
$\frac{ \phi^{2}}{ \phi_{0}^{2}} + \frac{t^{2}}{R \phi_{0}^{2} / g} = 1$. (8)
В ней легко узнать уравнение эллипса на плоскости $t, \phi$. Полуоси этого эллипса равны $\phi_{0} \sqrt{R/g}$ и $\phi_{0}$. Как видно из графика зависимости $\phi(t)$, полуось $\phi_{0} \sqrt{R/g}$ равна четверти периода колебаний обруча $T/4$. Такое же значение для $T/4$ можно, разумеется, получить и из уравнения (6).
Таким образом, период колебаний обруча
$T = 4 \phi_{0} \sqrt{R/g}$. (9)
Подчеркнем, что даже малые колебания такой системы не являются гармоническими и их период зависит от амплитуды $\phi_{0}$.
К невесомому обручу радиусом $R$, расположенному вертикально, прикреплена материальная точка массы $m$. Обруч может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Если вывести обруч из положения равновесия так, чтобы диаметр обруча, проходящий через материальную точку, образовал небольшой угол $\phi_{0}$ с вертикалью (рис. 1), и отпустить без толчка, то возникнут колебания. Каков период этих колебаний?
Решение:
Если обруч находится в положении устойчивого равновесия, то прикрепленная к нему материальная точка занимает самое нижнее положение. Когда обруч катится без проскальзывания, эта точка движется по циклоиде. Получим прежде всего уравнение этой циклоиды.
рис.2
Выберем начало координат в положении равновесия материальной точки. «Прокатим» обруч по оси х так, что диаметр, проходящий через точку $m$, образует с вертикалью угол $\phi$ (рис. 2). Выразим координаты х и у интересующей нас точки через угол $\phi$. При качении без проскальзывания длина дуги $AB = R \phi$ равна длина отрезка ОВ. Поэтому непосредственно из рис. 2 видно, что
$x = R ( \phi - \sin \phi ), y = R (1 - \cos \phi)$. (1)
При малых колебаниях обруча, когда угол $\phi \ll 1$, формулы (1) можно упростить. Для этого заменим $\sin \phi$ на $\phi$, тогда выражение для $\cos \phi$ можно записать в виде
$\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^{2} \phi} \approx \sqrt{1 - \phi^{2}} \approx 1 - \phi^{2}/2$.
Теперь уравнения (1) переписываются следующим образом:
$x=0, y = R \phi^{2}/2$. (2)
Из этих соотношений следует, что при малых колебаниях обруча закрепленная на нем точка движется практически по вертикали.
Найти закон движения материальной точки по известной траектории можно, вообще не рассматривая действующие силы, а используя только закон сохранения энергии. Так как при малых углах $\phi$ точка движется по вертикали, ее кинетическая энергия равна $my^{2}/2$. Считая потенциальную энергию равной нулю в положении равновесия, запишем закон сохранения энергии в виде
$\frac{m \dot{y}^{2}}{2} + mgy = const$. (3)
Продифференцируем это уравнение по времени:
$m \dot{y} \ddot{y} + mg \dot{y} = 0$. (4)
Так как $\dot{y}$ не равно нулю тождественно, то из этого соотношения после сокращения на $m \dot{y}$ получаем
$\ddot{y} + g = 0$. (5)
Это уравнение говорит о том, что ускорение материальной точки все время направлено вертикально вниз, постоянно по модулю и равно ускорению свободного падения. Значит, при малых колебаниях невесомого обруча прикрепленная к нему материальная точка движется так же, как при свободном падении в поле тяжести. Каждый раз в момент прохождения через положение равновесия направление движения точки изменяется на противоположное, т, е. она ведет себя так же, как упругий стальной шарик, подскакивающий в поле тяжести над горизонтальной мраморной плитой.
Теперь легко написать уравнения, выражающие зависимость скорости и координаты точки от времени для первой четверти периода колебаний $T$. Так как согласно (5) $\ddot{y} = - g$, то
$\dot{y} = -gt, y(t) = y_{0} - \frac{gt^{2}}{2} (0 < t < T/4)$ (6)
Здесь $y_{0}$ — высота, на которой находилась масса т в начальный момент, когда обруч был отклонен от положения равновесия на угол $\phi_{0}$ и отпущен без толчка.
рис.3
Графики зависимости скорости и координаты у от времени показаны на рис. 3. Могло бы показаться на первый взгляд, что период колебаний вдвое меньше указанного на этих графиках. Период действительно был бы вдвое меньше, если бы речь шла о подскакивающем шарике. Но для обруча это не так, ибо период колебания здесь определяется временем полного цикла изменения угла $\phi$, который состоит из отклонений обруча как в одну сторону, так и в другую. Это особенно отчетливо видно из графика зависимости угла отклонения от времени, который показан на том же рис. 3.
График зависимости $\phi(t)$ состоит из половинок эллипсов, в чем можно убедиться, подставив во вторую из формул (6) координату у, выраженную через угол $\phi$ с помощью соотношения (2):
$\phi^{2}(t) = \phi_{0}^{2} - gt^{2}/R$ (7)
Эту формулу можно переписать в виде
$\frac{ \phi^{2}}{ \phi_{0}^{2}} + \frac{t^{2}}{R \phi_{0}^{2} / g} = 1$. (8)
В ней легко узнать уравнение эллипса на плоскости $t, \phi$. Полуоси этого эллипса равны $\phi_{0} \sqrt{R/g}$ и $\phi_{0}$. Как видно из графика зависимости $\phi(t)$, полуось $\phi_{0} \sqrt{R/g}$ равна четверти периода колебаний обруча $T/4$. Такое же значение для $T/4$ можно, разумеется, получить и из уравнения (6).
Таким образом, период колебаний обруча
$T = 4 \phi_{0} \sqrt{R/g}$. (9)
Подчеркнем, что даже малые колебания такой системы не являются гармоническими и их период зависит от амплитуды $\phi_{0}$.
