Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4232
2017-10-13 
В плоский конденсатор с размерами обкладок $l_{1} \times l_{2}$ и расстоянием между ними $d (l_{1} \gg d, l_{2} \gg d)$ полностью вставлена диэлектрическая пластина массы $m$ с проницаемостью $\epsilon$, как раз заполняющая весь объем между обкладками. На конденсаторе поддерживается постоянное напряжение $U$. Диэлектрическая пластина выдвигается вдоль стороны длиной $l_{1}$ на расстояние $x_{0}$ и отпускается. Пренебрегая трением, найти зависимость смещения пластины от времени $x(t)$.
Решение:
рис.1
Чтобы выяснить, по какому закону будет происходить движение пластины, прежде всего необходимо найти выражение для силы, действующей на нее со стороны электрического поля плоского конденсатора, соединенного с источником постоянного напряжения $U$. Пусть пластина диэлектрика выдвинута на расстояние х за пределы конденсатора (рис. 1) и находится в равновесии под действием силы $\vec{F}_{эл}$, действующей со стороны электрического поля, и равной ей по модулю внешней силы $\vec{F}$. Допустим, что диэлектрик вдвинулся в пространство между обкладками на величину $\Delta x$. Из закона сохранения энергии следует, что совершенная при этом источником напряжения работа $A_{ист}$ равна сумме изменения энергии конденсатора $\Delta W_{к}$ и механической работы, совершенной силой $\vec{F}_{к}$ над внешними телами:
$A_{ист} = \Delta W_{к} + F_{эл} \Delta x$. (1)
Если заряд конденсатора изменился при этом на величину $\Delta q$, то изменение энергии конденсатора
$\Delta W_{к} = \frac{U \Delta q}{2}$. (2)
Источник напряжения при этом совершил работу
$A_{ист} = U \Delta q$. (3)
Подставляя $\Delta W_{к}$ и $A_{ист}$ из (2) и (3) в уравнение (1), получаем
$F_{эл} \Delta x = \frac{U \Delta q}{2}$. (4)
Это соотношение позволяет найти силу $F_{эл}$, действующую на диэлектрическую пластину со стороны электрического поля конденсатора. Изменение заряда конденсатора $\Delta q$ при вдвигании пластины можно записать в виде $\Delta q = U \Delta C$. Изменение емкости конденсатора $\Delta C$ при вдвигании пластины на $\Delta x$ можно найти, если рассматривать конденсатор с частично вдвинутой пластиной как два соединенных параллельно конденсатора, один из которых заполнен диэлектриком, а другой — нет. Тогда простой расчет приводит к результату
$\Delta C = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) l_{1} \Delta x}{d}$. {5)
Подставляя изменение заряда $\Delta q$ в уравнение (4), находим, что
$F_{эл} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) l_{1}}{d} \frac{U^{2}}{2}$. (6)
Таким образом, если между обкладками конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то действующая на диэлектрик сила не зависит от длины выступающей из конденсатора части. Эта сила втягивает диэлектрик в пространство между обкладками.
Теперь легко сообразить, что выдвинутая пластина будет под действием постоянной силы $F_{эл}$ двигаться равноускоренно с ускорением $a = F_{эл} / m$, пока не достигнет положения равновесия. После того как пластина проскочит по инерции положение равновесия и выдвинется из конденсатора с другой стороны, направление ускорения изменится на противоположное, так как изменится направление втягивающей силы. В результате пластина будет совершать колебания, которые, однако, не будут гармоническими. График смещения в зависимости от времени $x(t)$ состоит из отрезков парабол (рис.2). Так, например, в течение первой четверти периода таких колебаний, т. е. при $0 < t < T/4$,
$x(t) = x_{0} - at^{2} /2$, (7)
где
$a = \frac{F_{эл}}{m} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1 ) l_{1} U^{2}}{2md}$. (8)
Амплитуда таких колебаний, как видно из рис. 2, совпадает с начальным смещением пластины $x_{0}$ из положения равновесия. По истечении первой четверти периода колебаний $x(t)$ в левой части соотношения (7) обращается в нуль.
Поэтому для полного периода колебаний $T$ получаем
$T = 4 \sqrt{2x_{0}/a}$. (9)
Видно, что период этих несинусоидальных колебаний зависит от амплитуды $x_{0}$.
Если график зависимости смещения пластины конденсатора от времени еще хоть как-то напоминает косинусоиду, то график скорости уже совершенно не похож на то, что должно быть при гармонических колебаниях. Поскольку ускорение пластины постоянно по модулю и только скачком меняет направление на противоположное в моменты прохождения пластиной положения равновесия, то график скорости $v(t)$ представляет собой «пилу», показанную на рис. 2.
рис.2
В плоский конденсатор с размерами обкладок $l_{1} \times l_{2}$ и расстоянием между ними $d (l_{1} \gg d, l_{2} \gg d)$ полностью вставлена диэлектрическая пластина массы $m$ с проницаемостью $\epsilon$, как раз заполняющая весь объем между обкладками. На конденсаторе поддерживается постоянное напряжение $U$. Диэлектрическая пластина выдвигается вдоль стороны длиной $l_{1}$ на расстояние $x_{0}$ и отпускается. Пренебрегая трением, найти зависимость смещения пластины от времени $x(t)$.
Решение:
рис.1
Чтобы выяснить, по какому закону будет происходить движение пластины, прежде всего необходимо найти выражение для силы, действующей на нее со стороны электрического поля плоского конденсатора, соединенного с источником постоянного напряжения $U$. Пусть пластина диэлектрика выдвинута на расстояние х за пределы конденсатора (рис. 1) и находится в равновесии под действием силы $\vec{F}_{эл}$, действующей со стороны электрического поля, и равной ей по модулю внешней силы $\vec{F}$. Допустим, что диэлектрик вдвинулся в пространство между обкладками на величину $\Delta x$. Из закона сохранения энергии следует, что совершенная при этом источником напряжения работа $A_{ист}$ равна сумме изменения энергии конденсатора $\Delta W_{к}$ и механической работы, совершенной силой $\vec{F}_{к}$ над внешними телами:
$A_{ист} = \Delta W_{к} + F_{эл} \Delta x$. (1)
Если заряд конденсатора изменился при этом на величину $\Delta q$, то изменение энергии конденсатора
$\Delta W_{к} = \frac{U \Delta q}{2}$. (2)
Источник напряжения при этом совершил работу
$A_{ист} = U \Delta q$. (3)
Подставляя $\Delta W_{к}$ и $A_{ист}$ из (2) и (3) в уравнение (1), получаем
$F_{эл} \Delta x = \frac{U \Delta q}{2}$. (4)
Это соотношение позволяет найти силу $F_{эл}$, действующую на диэлектрическую пластину со стороны электрического поля конденсатора. Изменение заряда конденсатора $\Delta q$ при вдвигании пластины можно записать в виде $\Delta q = U \Delta C$. Изменение емкости конденсатора $\Delta C$ при вдвигании пластины на $\Delta x$ можно найти, если рассматривать конденсатор с частично вдвинутой пластиной как два соединенных параллельно конденсатора, один из которых заполнен диэлектриком, а другой — нет. Тогда простой расчет приводит к результату
$\Delta C = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) l_{1} \Delta x}{d}$. {5)
Подставляя изменение заряда $\Delta q$ в уравнение (4), находим, что
$F_{эл} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1) l_{1}}{d} \frac{U^{2}}{2}$. (6)
Таким образом, если между обкладками конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то действующая на диэлектрик сила не зависит от длины выступающей из конденсатора части. Эта сила втягивает диэлектрик в пространство между обкладками.
Теперь легко сообразить, что выдвинутая пластина будет под действием постоянной силы $F_{эл}$ двигаться равноускоренно с ускорением $a = F_{эл} / m$, пока не достигнет положения равновесия. После того как пластина проскочит по инерции положение равновесия и выдвинется из конденсатора с другой стороны, направление ускорения изменится на противоположное, так как изменится направление втягивающей силы. В результате пластина будет совершать колебания, которые, однако, не будут гармоническими. График смещения в зависимости от времени $x(t)$ состоит из отрезков парабол (рис.2). Так, например, в течение первой четверти периода таких колебаний, т. е. при $0 < t < T/4$,
$x(t) = x_{0} - at^{2} /2$, (7)
где
$a = \frac{F_{эл}}{m} = \frac{ \epsilon_{0} ( \epsilon - 1 ) l_{1} U^{2}}{2md}$. (8)
Амплитуда таких колебаний, как видно из рис. 2, совпадает с начальным смещением пластины $x_{0}$ из положения равновесия. По истечении первой четверти периода колебаний $x(t)$ в левой части соотношения (7) обращается в нуль.
Поэтому для полного периода колебаний $T$ получаем
$T = 4 \sqrt{2x_{0}/a}$. (9)
Видно, что период этих несинусоидальных колебаний зависит от амплитуды $x_{0}$.
Если график зависимости смещения пластины конденсатора от времени еще хоть как-то напоминает косинусоиду, то график скорости уже совершенно не похож на то, что должно быть при гармонических колебаниях. Поскольку ускорение пластины постоянно по модулю и только скачком меняет направление на противоположное в моменты прохождения пластиной положения равновесия, то график скорости $v(t)$ представляет собой «пилу», показанную на рис. 2.
рис.2
