Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4230
2017-10-13 
У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Маятник выведен из равновесия таким образом, что при его дальнейшем свободном движении каждый из шариков совершает гармоническое колебание. Какова частота таких колебаний и каким образом их можно возбудить?
Решение:
Если двойной маятник вывести из равновесия произвольным образом и предоставить самому себе, то каждый из шариков будет, вообще говоря, совершать довольно сложное движение, в котором трудно уловить какую-либо закономерность. Однако при некоторых начальных условиях движение маятника оказывается очень простым: оба шарика совершают чисто гармоническое колебание с одной и той же частотой, причем амплитуды и фазы этих колебаний находятся во вполне определенном соотношении друг с другом. Такие типы движения называются нормальными колебаниями системы или ее модами.
Существуют определенные методы нахождения нормальных колебаний. Но во многих случаях их можно просто угадать, основываясь на симметрии рассматриваемой системы. Если считать, что колебания двойного маятника могут происходить не только в плоскости чертежа на рис. 1, но и в перпендикулярной плоскости, то можно сразу сообразить, что рассматриваемая система обладает осевой симметрией, причем осью симметрии является вертикаль, проходящая через точку подвеса.
рис.1
Чтобы понять, как подмеченная осевая симметрия системы может помочь в нахождении нормальных колебаний, обратимся сначала к более простому примеру обыкновенного математического маятника. При малых амплитудах колебания такого маятника являются гармоническими. Хорошо известно, что гармонические колебания маятника в определенной плоскости можно рассматривать как проекцию на эту плоскость такого движения, при котором нить маятника описывает круговой конус (рис. 1). Таким образом, гармоническое колебательное движение можно представить как проекцию некоторого кругового движения, поэтому нахождение нормальных колебаний в системе с осевой симметрией можно свести к нахождению возможных круговых движений в этой системе.
Какие же круговые движения возможны у двойного маятника?
рис.2
Легко сообразить (или даже «нащупать» экспериментально, играя с таким двойным маятником), что возможное круговое движение выглядит так, как показано па рис. 2: шарики движутся равномерно и синхронно по окружностям, лежащим в горизонтальных плоскостях, так что нити, которые в каждый момент находятся в одной вертикальной плоскости, описывают конические поверхности.
рис.3
Теперь нетрудно найти угловую скорость $\omega$ и соотношение между углами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, которые нити образуют с вертикалью. Для этого нужно применить второй закон Ньютона к движению каждого из шариков. Будем для простоты считать, что массы шариков равны, а верхняя и нижняя нити имеют одинаковую длину $l$. На рис. 3 показаны действующие силы. В случае малых углов, который нас только и интересует, сила натяжения нижней нити $T_{1}$ практически не отличается от $mg$, а сила натяжения верхней нити $T_{2}$ — от $2mg$. Как видно из рис. 3, проекция действующей на нижний шарик силы $T_{1}$ на горизонтальное направление равна $T_{1} \sin \alpha_{1} \approx mg \alpha_{1}$. Аналогично проекция сил натяжения нитей, действующих на верхний шарик, равна $T_{2} \sin \alpha_{2} - T_{1} \sin \alpha_{1} \approx mg (2 \alpha_{2} - \alpha_{1})$. Поэтому уравнения второго закона Ньютона для каждого из шариков в проекции на радиальное направление имеют вид
$m \omega^{2} r_{1} = mg \alpha_{1}, m \omega^{2} r_{2} = mg(2 \alpha_{2} - \alpha_{1})$. (1)
С помощью рис. 3 радиусы окружностей $r_{1}$ и $r_{2}$, по которым движутся шарики, легко связать с углами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$:
$r_{2} = l \alpha_{2}, r_{1} = l( \alpha_{1} + \alpha_{2})$. (2)
Подставляя $r_{1}$ и $r_{2}$ в уравнения (1) вводя обозначение
$\omega_{0}^{2} = g/l$, (3)
получим систему уравнении для деления $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$:
$( \omega^{2} - \omega_{0}^{2}) \alpha_{1} + \omega^{2} \alpha_{2} = 0, \omega_{0}^{2} \alpha_{1} + ( \omega^{2} - 2 \omega_{0}^{2}) \alpha_{2} = 0$. (4)
Сразу видно, что система уравнений (4) имеет решение $\alpha_{1} = 0$ и $\alpha_{2} = 0$, которое соответствует маятнику в положении равновесия. Но эта система имеет и ненулевые решения. Для их нахождения исключим, например, $\alpha_{2}$ из этих уравнений. Тогда для $\alpha_{1}$ получим уравнение
$[( \omega^{2} - \omega_{0}^{2}) ( \omega^{2} - 2 \omega_{0}^{2}) - \omega_{0}^{2} \omega^{2}] \alpha_{1} = 0$. (5)
Очевидно, что ненулевое решение $\alpha_{1} \neq О$ может существовать только тогда, когда равно нулю выражение в квадратных скобках. Приводя в нем подобные члены, запишем это условие в виде
$\omega^{4} - 4 \omega_{0}^{2} \omega^{2} + 2 \omega_{0}^{4} = 0$. (6)
Уравнение (6), являющееся условием существования ненулевых решений системы уравнений (4), определяет частоты возможных круговых движении двойного маятника
$\omega_{1,2}^{2} = \omega_{0}^{2} (2 \pm \sqrt{2})$. (7)
Мы видим, что круговые движения двойного маятника могут происходить с двумя разными частотами. Для того чтобы найти соотношение углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, соответствующее каждому из этих движений, нужно подставить по очереди найденные значения частот в одно из уравнений (4). Подставим сначала, например, в первое из уравнений (4) корень $\omega^{2} = \omega_{2}^{2} = \omega_{0}^{2} (2 - \sqrt{2})$. После приведения подобных членов получаем
$\alpha_{1} / \alpha_{2} = \sqrt{2} ( \omega^{2} = \omega_{0}^{2}(2 - \sqrt{2}) )$. (8)
Если бы мы подставили корень $\omega_{2}^{2}$ во второе из уравнений (4), то получили бы точно такое же значение отношения $\alpha_{1} / \alpha_{2}$. Таким образом, уравнения (4) дают возможность определить не сами углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, a только соотношение между ними. Это означает, что круговое движение двойного маятника с данной частотой возможно при разных значениях раствора конуса (но, разумеется, с определенным соотношением $\alpha_{1} / \alpha_{2}$).
Теперь подставим в первое из уравнений (4) другой корень $\omega^{2} = \omega_{1}^{2} = \omega_{0}^{2} (2 + \sqrt{2})$. Приведя подобные члены, для отношения углов отклонения нитей получим
$\alpha_{1} / \alpha_{2} = - \sqrt{2} ( \omega^{2} = \omega_{0}^{2}( 2 + \sqrt{2}))$. (9)
Знак минус в этом отношении может означать только то, что при круговом движении двойного маятника нити отклонены от вертикали в противоположные стороны. Такое движение показано на рис. 4. О том, что оно возможно, тоже можно было догадаться заранее.
рис.4
Таким образом, двойной маятник может совершать два вида круговых движений: движение с меньшей частотой соа происходит так, как показано на рис. 2, а движение с большей частотой $\omega_{1}$ — как показано на рис. 4. Каждому движению соответствует определенная конфигурация нитей. Все это легко наблюдать на опыте.
Каждому виду круговых движений двойного маятника соответствует свое нормальное колебание. Проецируя круговое движение на вертикальную плоскость, мы получаем картину соответствующего нормального колебания. Легко видеть, что при нормальном колебании двойного маятника с частотой $\omega = \omega_{0} \sqrt{2 - \sqrt{2}} = 0,77 \omega_{0}$ движение шариков происходит в одинаковой фазе, причем отношение их амплитуд, как следует из формул (2), равно
$r_{1}/r_{2} = 1 + \alpha_{1} / \alpha_{2} = 1 + \sqrt{2} = 2,41$
При нормальном колебании с частотой $\omega = \omega_{0} \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 1,85 \omega_{0}$ шарики совершают колебания в противофазе, а отношение их амплитуд равно
$|r_{1} / r_{2}| = \sqrt{2} - 1 = 0,41$.
У двойного маятника с различными длинами верхней и нижней нитей и различными массами шариков частоты нормальных колебаний и отношения амплитуд колебаний шариков будут иными, но качественно вся картина нормальных колебаний остается прежней.
Чтобы возбудить нормальные, колебания двойного маятника, можно, например, отклонить нити от вертикали на углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, удовлетворяющие соотношениям (8) или (9), и отпустить шарики одновременно без начального толчка. Но нормальные колебания на опыте можно возбудить и иначе, используя явление резонанса. Для этого можно, взявшись за нить вблизи точки подвеса, осторожно раскачивать ее с частотой, близкой к частоте одного из нормальных колебаний. Амплитуда соответствующего нормального колебания быстро нарастает, если мы попадаем в резонанс.
У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Маятник выведен из равновесия таким образом, что при его дальнейшем свободном движении каждый из шариков совершает гармоническое колебание. Какова частота таких колебаний и каким образом их можно возбудить?
Решение:
Если двойной маятник вывести из равновесия произвольным образом и предоставить самому себе, то каждый из шариков будет, вообще говоря, совершать довольно сложное движение, в котором трудно уловить какую-либо закономерность. Однако при некоторых начальных условиях движение маятника оказывается очень простым: оба шарика совершают чисто гармоническое колебание с одной и той же частотой, причем амплитуды и фазы этих колебаний находятся во вполне определенном соотношении друг с другом. Такие типы движения называются нормальными колебаниями системы или ее модами.
Существуют определенные методы нахождения нормальных колебаний. Но во многих случаях их можно просто угадать, основываясь на симметрии рассматриваемой системы. Если считать, что колебания двойного маятника могут происходить не только в плоскости чертежа на рис. 1, но и в перпендикулярной плоскости, то можно сразу сообразить, что рассматриваемая система обладает осевой симметрией, причем осью симметрии является вертикаль, проходящая через точку подвеса.
рис.1
Чтобы понять, как подмеченная осевая симметрия системы может помочь в нахождении нормальных колебаний, обратимся сначала к более простому примеру обыкновенного математического маятника. При малых амплитудах колебания такого маятника являются гармоническими. Хорошо известно, что гармонические колебания маятника в определенной плоскости можно рассматривать как проекцию на эту плоскость такого движения, при котором нить маятника описывает круговой конус (рис. 1). Таким образом, гармоническое колебательное движение можно представить как проекцию некоторого кругового движения, поэтому нахождение нормальных колебаний в системе с осевой симметрией можно свести к нахождению возможных круговых движений в этой системе.
Какие же круговые движения возможны у двойного маятника?
рис.2
Легко сообразить (или даже «нащупать» экспериментально, играя с таким двойным маятником), что возможное круговое движение выглядит так, как показано па рис. 2: шарики движутся равномерно и синхронно по окружностям, лежащим в горизонтальных плоскостях, так что нити, которые в каждый момент находятся в одной вертикальной плоскости, описывают конические поверхности.
рис.3
Теперь нетрудно найти угловую скорость $\omega$ и соотношение между углами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, которые нити образуют с вертикалью. Для этого нужно применить второй закон Ньютона к движению каждого из шариков. Будем для простоты считать, что массы шариков равны, а верхняя и нижняя нити имеют одинаковую длину $l$. На рис. 3 показаны действующие силы. В случае малых углов, который нас только и интересует, сила натяжения нижней нити $T_{1}$ практически не отличается от $mg$, а сила натяжения верхней нити $T_{2}$ — от $2mg$. Как видно из рис. 3, проекция действующей на нижний шарик силы $T_{1}$ на горизонтальное направление равна $T_{1} \sin \alpha_{1} \approx mg \alpha_{1}$. Аналогично проекция сил натяжения нитей, действующих на верхний шарик, равна $T_{2} \sin \alpha_{2} - T_{1} \sin \alpha_{1} \approx mg (2 \alpha_{2} - \alpha_{1})$. Поэтому уравнения второго закона Ньютона для каждого из шариков в проекции на радиальное направление имеют вид
$m \omega^{2} r_{1} = mg \alpha_{1}, m \omega^{2} r_{2} = mg(2 \alpha_{2} - \alpha_{1})$. (1)
С помощью рис. 3 радиусы окружностей $r_{1}$ и $r_{2}$, по которым движутся шарики, легко связать с углами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$:
$r_{2} = l \alpha_{2}, r_{1} = l( \alpha_{1} + \alpha_{2})$. (2)
Подставляя $r_{1}$ и $r_{2}$ в уравнения (1) вводя обозначение
$\omega_{0}^{2} = g/l$, (3)
получим систему уравнении для деления $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$:
$( \omega^{2} - \omega_{0}^{2}) \alpha_{1} + \omega^{2} \alpha_{2} = 0, \omega_{0}^{2} \alpha_{1} + ( \omega^{2} - 2 \omega_{0}^{2}) \alpha_{2} = 0$. (4)
Сразу видно, что система уравнений (4) имеет решение $\alpha_{1} = 0$ и $\alpha_{2} = 0$, которое соответствует маятнику в положении равновесия. Но эта система имеет и ненулевые решения. Для их нахождения исключим, например, $\alpha_{2}$ из этих уравнений. Тогда для $\alpha_{1}$ получим уравнение
$[( \omega^{2} - \omega_{0}^{2}) ( \omega^{2} - 2 \omega_{0}^{2}) - \omega_{0}^{2} \omega^{2}] \alpha_{1} = 0$. (5)
Очевидно, что ненулевое решение $\alpha_{1} \neq О$ может существовать только тогда, когда равно нулю выражение в квадратных скобках. Приводя в нем подобные члены, запишем это условие в виде
$\omega^{4} - 4 \omega_{0}^{2} \omega^{2} + 2 \omega_{0}^{4} = 0$. (6)
Уравнение (6), являющееся условием существования ненулевых решений системы уравнений (4), определяет частоты возможных круговых движении двойного маятника
$\omega_{1,2}^{2} = \omega_{0}^{2} (2 \pm \sqrt{2})$. (7)
Мы видим, что круговые движения двойного маятника могут происходить с двумя разными частотами. Для того чтобы найти соотношение углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, соответствующее каждому из этих движений, нужно подставить по очереди найденные значения частот в одно из уравнений (4). Подставим сначала, например, в первое из уравнений (4) корень $\omega^{2} = \omega_{2}^{2} = \omega_{0}^{2} (2 - \sqrt{2})$. После приведения подобных членов получаем
$\alpha_{1} / \alpha_{2} = \sqrt{2} ( \omega^{2} = \omega_{0}^{2}(2 - \sqrt{2}) )$. (8)
Если бы мы подставили корень $\omega_{2}^{2}$ во второе из уравнений (4), то получили бы точно такое же значение отношения $\alpha_{1} / \alpha_{2}$. Таким образом, уравнения (4) дают возможность определить не сами углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, a только соотношение между ними. Это означает, что круговое движение двойного маятника с данной частотой возможно при разных значениях раствора конуса (но, разумеется, с определенным соотношением $\alpha_{1} / \alpha_{2}$).
Теперь подставим в первое из уравнений (4) другой корень $\omega^{2} = \omega_{1}^{2} = \omega_{0}^{2} (2 + \sqrt{2})$. Приведя подобные члены, для отношения углов отклонения нитей получим
$\alpha_{1} / \alpha_{2} = - \sqrt{2} ( \omega^{2} = \omega_{0}^{2}( 2 + \sqrt{2}))$. (9)
Знак минус в этом отношении может означать только то, что при круговом движении двойного маятника нити отклонены от вертикали в противоположные стороны. Такое движение показано на рис. 4. О том, что оно возможно, тоже можно было догадаться заранее.
рис.4
Таким образом, двойной маятник может совершать два вида круговых движений: движение с меньшей частотой соа происходит так, как показано на рис. 2, а движение с большей частотой $\omega_{1}$ — как показано на рис. 4. Каждому движению соответствует определенная конфигурация нитей. Все это легко наблюдать на опыте.
Каждому виду круговых движений двойного маятника соответствует свое нормальное колебание. Проецируя круговое движение на вертикальную плоскость, мы получаем картину соответствующего нормального колебания. Легко видеть, что при нормальном колебании двойного маятника с частотой $\omega = \omega_{0} \sqrt{2 - \sqrt{2}} = 0,77 \omega_{0}$ движение шариков происходит в одинаковой фазе, причем отношение их амплитуд, как следует из формул (2), равно
$r_{1}/r_{2} = 1 + \alpha_{1} / \alpha_{2} = 1 + \sqrt{2} = 2,41$
При нормальном колебании с частотой $\omega = \omega_{0} \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 1,85 \omega_{0}$ шарики совершают колебания в противофазе, а отношение их амплитуд равно
$|r_{1} / r_{2}| = \sqrt{2} - 1 = 0,41$.
У двойного маятника с различными длинами верхней и нижней нитей и различными массами шариков частоты нормальных колебаний и отношения амплитуд колебаний шариков будут иными, но качественно вся картина нормальных колебаний остается прежней.
Чтобы возбудить нормальные, колебания двойного маятника, можно, например, отклонить нити от вертикали на углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, удовлетворяющие соотношениям (8) или (9), и отпустить шарики одновременно без начального толчка. Но нормальные колебания на опыте можно возбудить и иначе, используя явление резонанса. Для этого можно, взявшись за нить вблизи точки подвеса, осторожно раскачивать ее с частотой, близкой к частоте одного из нормальных колебаний. Амплитуда соответствующего нормального колебания быстро нарастает, если мы попадаем в резонанс.
