Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4229
2017-10-13 
Часы массой $M$ имеют маятник в виде невесомого стержня длиной $l$ с точечной массой $m$ на конце. Как изменится ход этих часов, если их подвесить на длинных параллельных шнурах (рис. 1)?
Решение:
Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закрепленных на стене, получают возможность раскачиваться. Если шнуры параллельны, движение корпуса часов будет при таких раскачиваниях поступательным. Это означает, что все точки корпуса часов, в том числе и центр масс корпуса, и точка подвеса маятника, движутся одинаково.
Предположим, что амплитуда раскачивания часов достаточно мала, так чтобы можно было считать шнуры все время вертикальными. Тогда, как и в задаче 4228, все действующие на рассматриваемую систему — часы с маятником — внешние силы направлены по вертикали, ибо, кроме сил натяжения шнуров, действуют только силы тяжести корпуса часов и маятника. Значит, центр масс всей системы по горизонтали перемещаться не будет.
рис.2
Теперь ясно, что колебания маятника и корпуса часов будут происходить с одинаковой частотой и в противофазе, так, чтобы центр масс все время оставался на одной вертикали. При этом смещение $s_{1}$ (рис. 2) груза маятника и смещение $s_{2}$ корпуса часов (в том числе и точки подвеса маятника) будут обратно пропорциональны их массам:
$s_{1}/s_{2} = (M - m)/m$. (1)
Из формулы (1) видно, что при $m \ll M$ будет $s_{1} \ll s_{1}$ т. е. амплитуда раскачиваний корпуса много меньше амплитуды колебаний маятника. Поэтому при $m \ll M$ шнуры будут оставаться практически вертикальными уже тогда, когда их длина порядка длины маятника.
Приведенные рассуждения показывают, что для нахождения периода колебаний рассматриваемой системы можно непосредственно воспользоваться результатом решения задачи 4228, заменив там, конечно, массу верхнего груза $M$ на массу корпуса $M - m$:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g[1 + m/(M-m)]}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} \left ( 1 - \frac{m}{M} \right ) }$. (2)
Обозначая через $T_{0}$ период колебаний маятника длиной $l$ в неподвижных часах ($T_{0} = 2 \pi \sqrt{l/g}$) и учитывая условие $m/M \ll 1$, формуле (2) можно придать вид
$T = T_{0} \left ( 1 - \frac{m}{2M} \right )$. (3)
Подвешенные на шнурах часы будут спешить. Интересно отметить, что относительное изменение периода
$\frac{| \Delta T|}{T_{0}} = \frac{T_{0} - T}{T_{0}} = \frac{m}{2M}$
не зависит от длины маятника. Если, например, $M = 5 кг, m = 200 г$, то уменьшение периода составляет 2 % и за сутки подвешенные на шнурах часы уйдут вперед почти на полчаса.
Часы массой $M$ имеют маятник в виде невесомого стержня длиной $l$ с точечной массой $m$ на конце. Как изменится ход этих часов, если их подвесить на длинных параллельных шнурах (рис. 1)?
Решение:
Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закрепленных на стене, получают возможность раскачиваться. Если шнуры параллельны, движение корпуса часов будет при таких раскачиваниях поступательным. Это означает, что все точки корпуса часов, в том числе и центр масс корпуса, и точка подвеса маятника, движутся одинаково.
Предположим, что амплитуда раскачивания часов достаточно мала, так чтобы можно было считать шнуры все время вертикальными. Тогда, как и в задаче 4228, все действующие на рассматриваемую систему — часы с маятником — внешние силы направлены по вертикали, ибо, кроме сил натяжения шнуров, действуют только силы тяжести корпуса часов и маятника. Значит, центр масс всей системы по горизонтали перемещаться не будет.
рис.2
Теперь ясно, что колебания маятника и корпуса часов будут происходить с одинаковой частотой и в противофазе, так, чтобы центр масс все время оставался на одной вертикали. При этом смещение $s_{1}$ (рис. 2) груза маятника и смещение $s_{2}$ корпуса часов (в том числе и точки подвеса маятника) будут обратно пропорциональны их массам:
$s_{1}/s_{2} = (M - m)/m$. (1)
Из формулы (1) видно, что при $m \ll M$ будет $s_{1} \ll s_{1}$ т. е. амплитуда раскачиваний корпуса много меньше амплитуды колебаний маятника. Поэтому при $m \ll M$ шнуры будут оставаться практически вертикальными уже тогда, когда их длина порядка длины маятника.
Приведенные рассуждения показывают, что для нахождения периода колебаний рассматриваемой системы можно непосредственно воспользоваться результатом решения задачи 4228, заменив там, конечно, массу верхнего груза $M$ на массу корпуса $M - m$:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g[1 + m/(M-m)]}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} \left ( 1 - \frac{m}{M} \right ) }$. (2)
Обозначая через $T_{0}$ период колебаний маятника длиной $l$ в неподвижных часах ($T_{0} = 2 \pi \sqrt{l/g}$) и учитывая условие $m/M \ll 1$, формуле (2) можно придать вид
$T = T_{0} \left ( 1 - \frac{m}{2M} \right )$. (3)
Подвешенные на шнурах часы будут спешить. Интересно отметить, что относительное изменение периода
$\frac{| \Delta T|}{T_{0}} = \frac{T_{0} - T}{T_{0}} = \frac{m}{2M}$
не зависит от длины маятника. Если, например, $M = 5 кг, m = 200 г$, то уменьшение периода составляет 2 % и за сутки подвешенные на шнурах часы уйдут вперед почти на полчаса.
