Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4228
2017-10-13 
Точка подвеса А двойного маятника совершает гармонические колебания с малой амплитудой в горизонтальном направлении (рис. 1). Длина нижней нити равна $l$, масса нижнего шарика равна $m$, верхнего — $M$. Каким должен быть период колебаний точки подвеса А, чтобы верхняя нить все время оставалась вертикальной?
Решение:
рис.2
Рассмотрим систему шариков $m$ и $M$, соединенных нитью длины $l$. Допустим, мы подобрали такой период колебаний $T$ точки подвеса А, что при колебаниях нашего двойного маятника верхняя нить все время остается вертикальной. Это значит, что все внешние силы, действующие на выделенную систему, а именно силы тяжести и сила натяжения верхней нити, направлены по вертикали. Отсюда следует, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении. Другими словами, шары в любой момент времени движутся в противоположных направлениях, а отношение их ускорений обратно пропорционально отношению масс:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{M}{m}$. (1)
С другой стороны, непосредственно из рис. 2 видно, что
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{s}{l - s}$. (2)
Сравнивая (1) и (2), находим
$s = \frac{l}{1+ \frac{m}{M}}$. (3)
Попытаемся теперь представить себе, что это за колебания. Ускорения обоим шарам сообщает горизонтальная составляющая силы натяжения нижней нити. Поскольку точка В (центр масс шаров) по горизонтали не перемещается, движение нижнего шара приближенно можно представить себе как свободные колебания математического маятника длиной $s$. Строго говоря, точка В совершает перемещения по вертикали, однако при небольшой амплитуде колебания маятника эти перемещения столь малы, что не влияют на период колебаний.
Период колебаний математического маятника длиной $s$ равен $T = 2 \pi \sqrt{s/g}$. Подставляя сюда $s$ из формулы (3), получаем
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g \left (1 + \frac{m}{M} \right )}}$.
Заметим, что точно такие же колебания шаров можно получить, если верхний шар не подвешивать на нити, а насадить на гладкий горизонтальный стержень, по которому он может скользить без трения. Сила реакции такого стержня направлена все время вертикально вверх и выполняет ту же роль, что и сила натяжения верхней вертикальной нити,— поддерживает верхний шар на одном и том же уровне, не сообщая ему никакого горизонтального ускорения. Отсюда ясно, что ответ не зависит от длины верхней нити.
Интересно отметить, что рассматриваемые нами колебания этой системы шаров не являются вынужденными: при отсутствии трения это есть свободные незатухающие колебания. Силу натяжения верхней нити нельзя рассматривать как «вынуждающую», так как, будучи перпендикулярной перемещению, эта сила работы не совершает, т. е. энергия к системе не подводится.
Точка подвеса А двойного маятника совершает гармонические колебания с малой амплитудой в горизонтальном направлении (рис. 1). Длина нижней нити равна $l$, масса нижнего шарика равна $m$, верхнего — $M$. Каким должен быть период колебаний точки подвеса А, чтобы верхняя нить все время оставалась вертикальной?
Решение:
рис.2
Рассмотрим систему шариков $m$ и $M$, соединенных нитью длины $l$. Допустим, мы подобрали такой период колебаний $T$ точки подвеса А, что при колебаниях нашего двойного маятника верхняя нить все время остается вертикальной. Это значит, что все внешние силы, действующие на выделенную систему, а именно силы тяжести и сила натяжения верхней нити, направлены по вертикали. Отсюда следует, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении. Другими словами, шары в любой момент времени движутся в противоположных направлениях, а отношение их ускорений обратно пропорционально отношению масс:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{M}{m}$. (1)
С другой стороны, непосредственно из рис. 2 видно, что
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{s}{l - s}$. (2)
Сравнивая (1) и (2), находим
$s = \frac{l}{1+ \frac{m}{M}}$. (3)
Попытаемся теперь представить себе, что это за колебания. Ускорения обоим шарам сообщает горизонтальная составляющая силы натяжения нижней нити. Поскольку точка В (центр масс шаров) по горизонтали не перемещается, движение нижнего шара приближенно можно представить себе как свободные колебания математического маятника длиной $s$. Строго говоря, точка В совершает перемещения по вертикали, однако при небольшой амплитуде колебания маятника эти перемещения столь малы, что не влияют на период колебаний.
Период колебаний математического маятника длиной $s$ равен $T = 2 \pi \sqrt{s/g}$. Подставляя сюда $s$ из формулы (3), получаем
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g \left (1 + \frac{m}{M} \right )}}$.
Заметим, что точно такие же колебания шаров можно получить, если верхний шар не подвешивать на нити, а насадить на гладкий горизонтальный стержень, по которому он может скользить без трения. Сила реакции такого стержня направлена все время вертикально вверх и выполняет ту же роль, что и сила натяжения верхней вертикальной нити,— поддерживает верхний шар на одном и том же уровне, не сообщая ему никакого горизонтального ускорения. Отсюда ясно, что ответ не зависит от длины верхней нити.
Интересно отметить, что рассматриваемые нами колебания этой системы шаров не являются вынужденными: при отсутствии трения это есть свободные незатухающие колебания. Силу натяжения верхней нити нельзя рассматривать как «вынуждающую», так как, будучи перпендикулярной перемещению, эта сила работы не совершает, т. е. энергия к системе не подводится.
