Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4225
2017-10-13 
Как выглядит график скорости монеты, лежащей на подставке, которая совершает горизонтальные гармонические колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $A$?
Решение:
рис.1
Как было выяснено в предыдущей задаче, при выполнении условия $\omega^{2} A \leq \mu g$ монета будет двигаться вместе с подставкой. При этом график скорости монеты совпадает с графиком скорости подставки и представляет собой косинусоиду $v_{x}(t) = \omega A \cos \omega t$, показанную на рис. 1б. Поэтому интересен только противоположный случай $\omega^{2}A > \mu g$, когда монета смещается относительно подставки.
На рис. 1а приведен график ускорения подставки $a_{x}(t) = - \omega^{2} A \sin \omega t$, на котором указаны области, где модуль этого ускорения не превосходит значения $\mu g$, т. е. максимального ускорения, которое сила трения может сообщить монете. Именно в эти интервалы времени (интервалы «захвата») монета могла бы двигаться вместе с подставкой.
Пусть до момента $t_{1}$ (рис. 1) монета движется вместе с подставкой. В момент $t_{1}$ происходит «срыв» монеты, и трение покоя заменяется трением скольжения. Так как сила трения скольжения постоянна, то дальнейшее движение монеты в инерциальной системе отсчета (т. е. в лабораторной системе отсчета, а не относительно подставки) происходит с постоянным ускорением. Поэтому график скорости монеты, начиная с момента $t_{1}$, представляет собой прямую линию, наклон которой определяется силой трения скольжения. Если считать, что эта сила равна максимальной силе трения покоя, то данная прямая касается синусоиды в момент «срыва» $t_{1}$.
Характер дальнейшего движения монеты зависит от того, в какой момент времени ее скорость снова станет равной скорости подставки. Если это случится в пределах интервала «захвата», например в момент $t_{2}$ (рис. 1), то в течение промежутка от $t_{2}$ до границы интервала «захвата» $t_{3}$ монета движется вместе с подставкой. В момент $t_{3}$ снова происходит «срыв», и дальнейшее движение опять происходит с таким же по модулю ускорением, но направленным в противоположную сторону. В момент $t_{4}$ скорости монеты и подставки опять сравниваются, и они движутся вместе до очередного «срыва», происходящего в момент $t_{5}$. Дальше все повторяется сначала. Таким образом, график скорости монеты представляет собой «пилу», состоящую из отрезков синусоид и прямых линий (рис. 1б).
рис.2
Теперь рассмотрим случай, когда скорости монеты и подставки сравниваются за пределами следующего интервала «захвата» (рис. 2). График скорости монеты теперь будет состоять из прямолинейных отрезков, наклон которых, равный ускорению монеты $\pm \mu g$, определяется силой трения скольжения. Изломы на этом графике соответствуют моментам изменения направления силы трения. Это происходит при изменениях направления относительной скорости, т. е. при пересечении прямых с синусоидой графика скорости подставки. Высота зубцов такой «пилы», т. е. максимальное значение скорости монеты $v_{max}$, равно произведению наклона $\mu g$ на четверть периода колебаний подставки:
$v_{max} = \mu gT /4 = \pi \mu g/2 \omega$.
Итак, возможны три режима движения монеты на вибрирующей подставке в зависимости от значения безразмерного параметра $\omega^{2}A / \mu g$. Как мы видели, при $\omega^{2} A / \mu g < 1$ монета будет двигаться вместе с подставкой. При значениях этого параметра, превосходящих единицу, только часть периода монета будет двигаться вместе с подставкой. Такой режим движения осуществляется, пока параметр $\omega^{2}A / \mu g$ не достигнет значения $\sqrt{1 + \pi^{2} / 4}$. Чтобы убедиться в этом, достаточно сообразить, что переход к третьему режиму, при котором монета все время проскальзывает относительно подставки, происходит тогда, когда произведение наклона прямой $\mu g$ на половину периода $T/2$ равно удвоенному значению скорости подставки в момент срыва:
$\mu g \pi / \omega = 2 \omega A \cos \omega t_{1}$.
Подставляя сюда $\cos \omega t_{1} = \sqr{1 - \sin^{2} \omega t_{1}} = \sqrt{1 - ( \mu g / \omega^{2} A)^{2}}$, находим предельное значение интересующего нас параметра:
$\omega^{2} A / \mu g = \sqrt{1 + \pi^{2} / 4}$.
Видно, что переход от одного режима движения к другому возможен при увеличении либо частоты, либо амплитуды колебаний $A$, либо при уменьшении коэффициента трения $\mu$.
Как выглядит график скорости монеты, лежащей на подставке, которая совершает горизонтальные гармонические колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $A$?
Решение:
рис.1
Как было выяснено в предыдущей задаче, при выполнении условия $\omega^{2} A \leq \mu g$ монета будет двигаться вместе с подставкой. При этом график скорости монеты совпадает с графиком скорости подставки и представляет собой косинусоиду $v_{x}(t) = \omega A \cos \omega t$, показанную на рис. 1б. Поэтому интересен только противоположный случай $\omega^{2}A > \mu g$, когда монета смещается относительно подставки.
На рис. 1а приведен график ускорения подставки $a_{x}(t) = - \omega^{2} A \sin \omega t$, на котором указаны области, где модуль этого ускорения не превосходит значения $\mu g$, т. е. максимального ускорения, которое сила трения может сообщить монете. Именно в эти интервалы времени (интервалы «захвата») монета могла бы двигаться вместе с подставкой.
Пусть до момента $t_{1}$ (рис. 1) монета движется вместе с подставкой. В момент $t_{1}$ происходит «срыв» монеты, и трение покоя заменяется трением скольжения. Так как сила трения скольжения постоянна, то дальнейшее движение монеты в инерциальной системе отсчета (т. е. в лабораторной системе отсчета, а не относительно подставки) происходит с постоянным ускорением. Поэтому график скорости монеты, начиная с момента $t_{1}$, представляет собой прямую линию, наклон которой определяется силой трения скольжения. Если считать, что эта сила равна максимальной силе трения покоя, то данная прямая касается синусоиды в момент «срыва» $t_{1}$.
Характер дальнейшего движения монеты зависит от того, в какой момент времени ее скорость снова станет равной скорости подставки. Если это случится в пределах интервала «захвата», например в момент $t_{2}$ (рис. 1), то в течение промежутка от $t_{2}$ до границы интервала «захвата» $t_{3}$ монета движется вместе с подставкой. В момент $t_{3}$ снова происходит «срыв», и дальнейшее движение опять происходит с таким же по модулю ускорением, но направленным в противоположную сторону. В момент $t_{4}$ скорости монеты и подставки опять сравниваются, и они движутся вместе до очередного «срыва», происходящего в момент $t_{5}$. Дальше все повторяется сначала. Таким образом, график скорости монеты представляет собой «пилу», состоящую из отрезков синусоид и прямых линий (рис. 1б).
рис.2
Теперь рассмотрим случай, когда скорости монеты и подставки сравниваются за пределами следующего интервала «захвата» (рис. 2). График скорости монеты теперь будет состоять из прямолинейных отрезков, наклон которых, равный ускорению монеты $\pm \mu g$, определяется силой трения скольжения. Изломы на этом графике соответствуют моментам изменения направления силы трения. Это происходит при изменениях направления относительной скорости, т. е. при пересечении прямых с синусоидой графика скорости подставки. Высота зубцов такой «пилы», т. е. максимальное значение скорости монеты $v_{max}$, равно произведению наклона $\mu g$ на четверть периода колебаний подставки:
$v_{max} = \mu gT /4 = \pi \mu g/2 \omega$.
Итак, возможны три режима движения монеты на вибрирующей подставке в зависимости от значения безразмерного параметра $\omega^{2}A / \mu g$. Как мы видели, при $\omega^{2} A / \mu g < 1$ монета будет двигаться вместе с подставкой. При значениях этого параметра, превосходящих единицу, только часть периода монета будет двигаться вместе с подставкой. Такой режим движения осуществляется, пока параметр $\omega^{2}A / \mu g$ не достигнет значения $\sqrt{1 + \pi^{2} / 4}$. Чтобы убедиться в этом, достаточно сообразить, что переход к третьему режиму, при котором монета все время проскальзывает относительно подставки, происходит тогда, когда произведение наклона прямой $\mu g$ на половину периода $T/2$ равно удвоенному значению скорости подставки в момент срыва:
$\mu g \pi / \omega = 2 \omega A \cos \omega t_{1}$.
Подставляя сюда $\cos \omega t_{1} = \sqr{1 - \sin^{2} \omega t_{1}} = \sqrt{1 - ( \mu g / \omega^{2} A)^{2}}$, находим предельное значение интересующего нас параметра:
$\omega^{2} A / \mu g = \sqrt{1 + \pi^{2} / 4}$.
Видно, что переход от одного режима движения к другому возможен при увеличении либо частоты, либо амплитуды колебаний $A$, либо при уменьшении коэффициента трения $\mu$.
