Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4224
2017-10-13 
Горизонтальная площадка может совершать гармонические колебания с частотой $\omega$ либо в горизонтальном, либо в вертикальном направлении. При какой амплитуде колебаний монета будет смещаться относительно подставки?
Решение:
Рассмотрим сначала вертикальные колебания подставки. При каком условии монета будет двигаться вместе с подставкой? На монету действуют сила тяжести и сила реакции подставки, которая может быть направлена только вверх. Пока сила реакции не обратится в нуль, монета будет двигаться вместе с подставкой. Условие отрыва монеты от подставки — обращение в нуль силы реакции. Итак, монета будет отрываться от подставки лишь тогда, когда ускорение подставки будет направлено вниз и превысит по модулю ускорение свободного падения $g$.
Пусть в момент времени $t=0$ подставка начинает двигаться вверх и ее вертикальная координата изменяется по закону
$y(t) = B \sin \omega t$. (1)
При этом вертикальная проекция ускорения
$a_{y}(t) = - \omega^{2} B \sin \omega t$. (2)
Чтобы найти момент времени $t_{1}$, когда произойдет отрыв монеты, нужно положить $a_{y}(t_{1}) = - g$:
$\omega^{2} B \sin \omega t_{1} = g$. (3)
Графическое решение этого уравнения показано на рис. 1. Для того чтобы уравнение имело решение, т. е. действительно происходил отрыв монеты от подставки, должно выполняться условие $\omega^{2} B > g$. Поэтому минимальная амплитуда вертикальных колебаний, при которой монета отделяется от подставки, дается формулой
$B_{min} = g/ \omega^{2}$. (4)
рис.1
Чем выше частота колебаний, тем меньше эта амплитуда. Отрыв монеты происходит, как видно из рис. 1, при движении подставки вверх от среднего положения, когда ее скорость уменьшается. Интересно отметить, что положение $y_{1}$ точки отрыва при заданной частоте $\omega$ не зависит от амплитуды колебаний подставки. В самом деле, подставляя из (3) $\sin \omega t_{1} = g / \omega B$ в (1), находим $y_{1} = g \omega^{2}$.
До момента времени $t_{1}$ подставка и монета движутся вместе. Начиная с момента $t_{1}$ график движения монеты представляет собой параболу, которая имеет в точке $t_{1}$ общую касательную с синусоидой.
При горизонтальных колебаниях подставки движение монеты определяется действующей на нее силой трения.
Пока ускорение подставки не превышает по модулю максимального ускорения $\mu g$, которое может сообщить монете сила трения, монета движется вместе с подставкой. Если ускорение подставки в какой-то момент времени превысит это предельное значение, монета будет скользить по подставке. Уравнения для этого случая аналогичны уравнениям (1) и (2):
$x(t) = A \sin \omega t, a_{x}(t) = - \omega^{2} A \sin \omega t$. (5)
Минимальная амплитуда, при которой монета будет скользить по подставке, находится из условия
$\omega^{2} A_{min} = \mu g$, откуда $A_{min} = \mu g/ \omega^{2}$. (6)
Естественно, что эта амплитуда тем меньше, чем меньше коэффициент трения.
Отметим, что в задачах подобного рода представляет интерес не только выяснение условий, при которых монета отрывается от подставки или смещается относительно нее, но и исследование характера дальнейшего движения монеты как при вертикальных, так и при горизонтальных колебаниях подставки. Это даже более интересная, но и вместе с тем более трудная задача.
Горизонтальная площадка может совершать гармонические колебания с частотой $\omega$ либо в горизонтальном, либо в вертикальном направлении. При какой амплитуде колебаний монета будет смещаться относительно подставки?
Решение:
Рассмотрим сначала вертикальные колебания подставки. При каком условии монета будет двигаться вместе с подставкой? На монету действуют сила тяжести и сила реакции подставки, которая может быть направлена только вверх. Пока сила реакции не обратится в нуль, монета будет двигаться вместе с подставкой. Условие отрыва монеты от подставки — обращение в нуль силы реакции. Итак, монета будет отрываться от подставки лишь тогда, когда ускорение подставки будет направлено вниз и превысит по модулю ускорение свободного падения $g$.
Пусть в момент времени $t=0$ подставка начинает двигаться вверх и ее вертикальная координата изменяется по закону
$y(t) = B \sin \omega t$. (1)
При этом вертикальная проекция ускорения
$a_{y}(t) = - \omega^{2} B \sin \omega t$. (2)
Чтобы найти момент времени $t_{1}$, когда произойдет отрыв монеты, нужно положить $a_{y}(t_{1}) = - g$:
$\omega^{2} B \sin \omega t_{1} = g$. (3)
Графическое решение этого уравнения показано на рис. 1. Для того чтобы уравнение имело решение, т. е. действительно происходил отрыв монеты от подставки, должно выполняться условие $\omega^{2} B > g$. Поэтому минимальная амплитуда вертикальных колебаний, при которой монета отделяется от подставки, дается формулой
$B_{min} = g/ \omega^{2}$. (4)
рис.1
Чем выше частота колебаний, тем меньше эта амплитуда. Отрыв монеты происходит, как видно из рис. 1, при движении подставки вверх от среднего положения, когда ее скорость уменьшается. Интересно отметить, что положение $y_{1}$ точки отрыва при заданной частоте $\omega$ не зависит от амплитуды колебаний подставки. В самом деле, подставляя из (3) $\sin \omega t_{1} = g / \omega B$ в (1), находим $y_{1} = g \omega^{2}$.
До момента времени $t_{1}$ подставка и монета движутся вместе. Начиная с момента $t_{1}$ график движения монеты представляет собой параболу, которая имеет в точке $t_{1}$ общую касательную с синусоидой.
При горизонтальных колебаниях подставки движение монеты определяется действующей на нее силой трения.
Пока ускорение подставки не превышает по модулю максимального ускорения $\mu g$, которое может сообщить монете сила трения, монета движется вместе с подставкой. Если ускорение подставки в какой-то момент времени превысит это предельное значение, монета будет скользить по подставке. Уравнения для этого случая аналогичны уравнениям (1) и (2):
$x(t) = A \sin \omega t, a_{x}(t) = - \omega^{2} A \sin \omega t$. (5)
Минимальная амплитуда, при которой монета будет скользить по подставке, находится из условия
$\omega^{2} A_{min} = \mu g$, откуда $A_{min} = \mu g/ \omega^{2}$. (6)
Естественно, что эта амплитуда тем меньше, чем меньше коэффициент трения.
Отметим, что в задачах подобного рода представляет интерес не только выяснение условий, при которых монета отрывается от подставки или смещается относительно нее, но и исследование характера дальнейшего движения монеты как при вертикальных, так и при горизонтальных колебаниях подставки. Это даже более интересная, но и вместе с тем более трудная задача.
