Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4223
2017-10-13 
В цепь, предназначенную для зарядки конденсатора (рис. 1), включен диод Д. Вольтамперная характеристика диода показана на рис. 2. Какое количество теплоты выделится на сопротивлении $R$ и на диоде после замыкания ключа К в процессе зарядки конденсатора?
рис.1
рис.2
Решение:
Зачем вообще нужно включать диод в цепь для зарядки конденсатора? Некоторые виды конденсаторов, в частности электролитические, требуют вполне определенной полярности подаваемого на них напряжения. В противном случае они просто могут выйти из строя. Характерной чертой диода является его односторонняя проводимость. Поэтому включение диода в цепь, показанную на рис. 1, предохраняет конденсатор от повреждения даже в том случае, если на вход цепи будет подано напряжение противоположной полярности. При этом ток в цепи не пойдет и никакой теплоты на сопротивлении $R$, разумеется, не выделится.
Если подаваемое на вход напряжение $U_{0}$ имеет требуемую полярность, то при замыкании ключа К ток в цепи в начальный момент максимален, а затем по мере зарядки конденсатора постепенно спадает до нуля. Чтобы рассчитать выделяющуюся на сопротивлении теплоту непосредственно с помощью закона Джоуля — Ленца, необходимо найти зависимость зарядного тока от времени. Однако этого можно избежать, если воспользоваться законом сохранения энергии.
Пусть в процессе зарядки конденсатора по цепи прошел некоторый заряд $q$. Совершенная при этом внешним источником напряжения работа
$A = U_{0}q$. (1)
Так как заряд конденсатора теперь равен $q$, то запасенная в конденсаторе энергия
$W = \frac{q^{2}}{2C}$. (2)
На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что выделившаяся на сопротивлении $R$ и диоде Д теплота $Q$ равна разности между работой $A$, совершенной внешним источником, и энергией $W$, запасенной конденсатором:
$Q = A - W$. (3)
Для получения ответа на поставленный вопрос остается выяснить, какой именно заряд $q$ прошел по цепи и как выделившаяся при этом теплота $Q$ распределилась между сопротивлением $R$ и диодом Д.
Полный заряд $q$, прошедший по цепи, найти легко, ибо в конце концов напряжение на конденсаторе $U_{C}$ станет равным приложенному напряжению $U_{0}$:
$q = CU_{0}$. (4)
Подставляя значение $q$ из формулы (4) в соотношения (1) и (2), для полного количества теплоты $Q$, выделившейся на сопротивлении и диоде, получаем
$Q = \frac{CU_{0}^{2}}{2}$. (5)
Не так просто обстоит дело с выяснением того, какая часть теплоты $Q_{R}$ выделилась на сопротивлении, а какая часть $Q_{д}$ — на диоде. Причина этого заключается в сложном виде вольт-амперной характеристики диода, из которой видно, что сопротивление диода очень сильно зависит от значения приложенного к нему напряжения. Чтобы разобраться в этом вопросе, заменим сначала реальную вольт-амиерную характеристику диода, показанную на рис. 2, идеализированной характеристикой, изображенной на рис. 3.
рис.3
рис.4
рис.5
рис.6
В отличие от реальной характеристики диода, будем считать, что сопротивление диода в запорном направлении стремится к бесконечности (т. е. обратный ток равен нулю). Будем также считать, что сопротивление диода в пропускном направлении бесконечно, пока приложенное напряжение не достигнет некоторого значения $U_{1}$, после чего сопротивление скачком уменьшается до некоторого значения $r$. Фактически это означает замену круто взмывающего вверх участка реальной вольт-амперной характеристики прямой на рис. 3. Как же выбрать значение $U_{1}$ начиная с которого сопротивление диода можно считать постоянным, и чему равно это постоянное значение $r$? Ток в цепи при замыкании ключа не может превышать значения $U_{0}/R$. Поэтому участок вольт-амперной характеристики диода, расположенный выше точки $I = U_{0}/R$ на рис. 2, вообще не имеет отношения к рассматриваемой задаче. Мы считаем, что сопротивление $R$ и приложенное напряжение $U_{0}$ таковы, что эта точка приходится на крутой почти прямолинейный участок вольт-амперной характеристики, как показано на рис. 4. Заменяем этот участок прямой линией и продолжаем ее до пересечения с осью абсцисс. Эту прямую и будем рассматривать как идеализированную вольт-амперную характеристику диода. Тогда напряжение $U_{1}$ соответствует точке пересечения построенной прямой с осью абсцисс, а ее наклон характеризует сопротивление диода $r$ при напряжениях, превышающих $U_{1}$. Уравнение этой прямой
$I = \frac{U - U_{1}}{r}$. (6)
При такой идеализированной вольт-амперной характеристике диода зарядный ток обращается в нуль уже тогда, когда напряжение на конденсаторе достигнет значения $U_{0} - U_{1}$. Поэтому к моменту прекращения тока в цепи заряд конденсатора будет равен $C( U_{0} - U_{1})$, а его энергия равна $C( U_{0} - U_{1})^{2}/2$.
Так как ток в цепи существует только при напряжениях на диоде, больших чем $U_{1}$, то «работает» только наклонный участок идеализированной вольт-амперной характеристики. Но уравнение этой прямой (6) соответствует закону Ома для неоднородного участка цепи, показанной на рис. 5, с ЭДС источника $U_{1} < U$. Поэтому мы можем считать, что в цепи для зарядки конденсатора вместо диода включено омическое сопротивление г последовательно с $R$, а приложенное напряжение равно $U_{0} - U_{1}$ (рис. 6). При прохождении по такой цепи заряда $C(U_{0} - U_{1})$ эквивалентный источник с ЭДС $U_{0} - U_{1}$ совершает работу $C( U_{0} - U_{1})^{2}$. Вычитая из этой работы запасенную конденсатором энергию $C(U_{0} - U_{1})^{2}/2$, получаем теплоту $Q^{ \prime}$, выделившуюся на обоих сопротивлениях $R$ и $r$:
$Q^{ \prime} = \frac{C(U_{0} - U_{1})^{2}}{2}$. (7)
Поскольку сопротивления $R$ и $r$ соединены последовательно, то выделяющаяся на каждом из них теплота пропорциональна сопротивлению. Поэтому для теплоты $Q_{R}$, выделяющейся на сопротивлении $R$, с помощью (7) получаем
$Q_{R} = Q^{ \prime} \frac{R}{R + r} = \frac{C(U_{0} - U_{1})^{2}}{2} \frac{R}{R+r}$. (8)
Если $r \ll R$, то почти вся теплота $Q^{ \prime}$ выделяется на сопротивлении $R$.
В действительности, как уже отмечалось выше, ток в цепи обратится в нуль только тогда, когда напряжение на конденсаторе сравняется с $U_{0}$. При этом прохождению дополнительного заряда соответствует пологий начальный участок реальной вольт-амперной характеристики диода. Так как сопротивление диода на этом пологом участке очень велико, то большая часть теплоты, связанной с прохождением дополнительного заряда, выделяется на диоде, а не на сопротивлении $R$.
Итак, выделяющаяся на сопротивлении $R$ теплота $Q_{R}$ дается выражением (8) (или (7), если $r \ll R$). Теплоту $Q_{д}$, выделяющуюся на диоде в течение всего процесса зарядки конденсатора, можно найти как разность между теплотой $Q$, даваемой формулой (5), и теплотой $Q_{R}$.
В цепь, предназначенную для зарядки конденсатора (рис. 1), включен диод Д. Вольтамперная характеристика диода показана на рис. 2. Какое количество теплоты выделится на сопротивлении $R$ и на диоде после замыкания ключа К в процессе зарядки конденсатора?
рис.1
рис.2
Решение:
Зачем вообще нужно включать диод в цепь для зарядки конденсатора? Некоторые виды конденсаторов, в частности электролитические, требуют вполне определенной полярности подаваемого на них напряжения. В противном случае они просто могут выйти из строя. Характерной чертой диода является его односторонняя проводимость. Поэтому включение диода в цепь, показанную на рис. 1, предохраняет конденсатор от повреждения даже в том случае, если на вход цепи будет подано напряжение противоположной полярности. При этом ток в цепи не пойдет и никакой теплоты на сопротивлении $R$, разумеется, не выделится.
Если подаваемое на вход напряжение $U_{0}$ имеет требуемую полярность, то при замыкании ключа К ток в цепи в начальный момент максимален, а затем по мере зарядки конденсатора постепенно спадает до нуля. Чтобы рассчитать выделяющуюся на сопротивлении теплоту непосредственно с помощью закона Джоуля — Ленца, необходимо найти зависимость зарядного тока от времени. Однако этого можно избежать, если воспользоваться законом сохранения энергии.
Пусть в процессе зарядки конденсатора по цепи прошел некоторый заряд $q$. Совершенная при этом внешним источником напряжения работа
$A = U_{0}q$. (1)
Так как заряд конденсатора теперь равен $q$, то запасенная в конденсаторе энергия
$W = \frac{q^{2}}{2C}$. (2)
На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что выделившаяся на сопротивлении $R$ и диоде Д теплота $Q$ равна разности между работой $A$, совершенной внешним источником, и энергией $W$, запасенной конденсатором:
$Q = A - W$. (3)
Для получения ответа на поставленный вопрос остается выяснить, какой именно заряд $q$ прошел по цепи и как выделившаяся при этом теплота $Q$ распределилась между сопротивлением $R$ и диодом Д.
Полный заряд $q$, прошедший по цепи, найти легко, ибо в конце концов напряжение на конденсаторе $U_{C}$ станет равным приложенному напряжению $U_{0}$:
$q = CU_{0}$. (4)
Подставляя значение $q$ из формулы (4) в соотношения (1) и (2), для полного количества теплоты $Q$, выделившейся на сопротивлении и диоде, получаем
$Q = \frac{CU_{0}^{2}}{2}$. (5)
Не так просто обстоит дело с выяснением того, какая часть теплоты $Q_{R}$ выделилась на сопротивлении, а какая часть $Q_{д}$ — на диоде. Причина этого заключается в сложном виде вольт-амперной характеристики диода, из которой видно, что сопротивление диода очень сильно зависит от значения приложенного к нему напряжения. Чтобы разобраться в этом вопросе, заменим сначала реальную вольт-амиерную характеристику диода, показанную на рис. 2, идеализированной характеристикой, изображенной на рис. 3.
рис.3
рис.4
рис.5
рис.6
В отличие от реальной характеристики диода, будем считать, что сопротивление диода в запорном направлении стремится к бесконечности (т. е. обратный ток равен нулю). Будем также считать, что сопротивление диода в пропускном направлении бесконечно, пока приложенное напряжение не достигнет некоторого значения $U_{1}$, после чего сопротивление скачком уменьшается до некоторого значения $r$. Фактически это означает замену круто взмывающего вверх участка реальной вольт-амперной характеристики прямой на рис. 3. Как же выбрать значение $U_{1}$ начиная с которого сопротивление диода можно считать постоянным, и чему равно это постоянное значение $r$? Ток в цепи при замыкании ключа не может превышать значения $U_{0}/R$. Поэтому участок вольт-амперной характеристики диода, расположенный выше точки $I = U_{0}/R$ на рис. 2, вообще не имеет отношения к рассматриваемой задаче. Мы считаем, что сопротивление $R$ и приложенное напряжение $U_{0}$ таковы, что эта точка приходится на крутой почти прямолинейный участок вольт-амперной характеристики, как показано на рис. 4. Заменяем этот участок прямой линией и продолжаем ее до пересечения с осью абсцисс. Эту прямую и будем рассматривать как идеализированную вольт-амперную характеристику диода. Тогда напряжение $U_{1}$ соответствует точке пересечения построенной прямой с осью абсцисс, а ее наклон характеризует сопротивление диода $r$ при напряжениях, превышающих $U_{1}$. Уравнение этой прямой
$I = \frac{U - U_{1}}{r}$. (6)
При такой идеализированной вольт-амперной характеристике диода зарядный ток обращается в нуль уже тогда, когда напряжение на конденсаторе достигнет значения $U_{0} - U_{1}$. Поэтому к моменту прекращения тока в цепи заряд конденсатора будет равен $C( U_{0} - U_{1})$, а его энергия равна $C( U_{0} - U_{1})^{2}/2$.
Так как ток в цепи существует только при напряжениях на диоде, больших чем $U_{1}$, то «работает» только наклонный участок идеализированной вольт-амперной характеристики. Но уравнение этой прямой (6) соответствует закону Ома для неоднородного участка цепи, показанной на рис. 5, с ЭДС источника $U_{1} < U$. Поэтому мы можем считать, что в цепи для зарядки конденсатора вместо диода включено омическое сопротивление г последовательно с $R$, а приложенное напряжение равно $U_{0} - U_{1}$ (рис. 6). При прохождении по такой цепи заряда $C(U_{0} - U_{1})$ эквивалентный источник с ЭДС $U_{0} - U_{1}$ совершает работу $C( U_{0} - U_{1})^{2}$. Вычитая из этой работы запасенную конденсатором энергию $C(U_{0} - U_{1})^{2}/2$, получаем теплоту $Q^{ \prime}$, выделившуюся на обоих сопротивлениях $R$ и $r$:
$Q^{ \prime} = \frac{C(U_{0} - U_{1})^{2}}{2}$. (7)
Поскольку сопротивления $R$ и $r$ соединены последовательно, то выделяющаяся на каждом из них теплота пропорциональна сопротивлению. Поэтому для теплоты $Q_{R}$, выделяющейся на сопротивлении $R$, с помощью (7) получаем
$Q_{R} = Q^{ \prime} \frac{R}{R + r} = \frac{C(U_{0} - U_{1})^{2}}{2} \frac{R}{R+r}$. (8)
Если $r \ll R$, то почти вся теплота $Q^{ \prime}$ выделяется на сопротивлении $R$.
В действительности, как уже отмечалось выше, ток в цепи обратится в нуль только тогда, когда напряжение на конденсаторе сравняется с $U_{0}$. При этом прохождению дополнительного заряда соответствует пологий начальный участок реальной вольт-амперной характеристики диода. Так как сопротивление диода на этом пологом участке очень велико, то большая часть теплоты, связанной с прохождением дополнительного заряда, выделяется на диоде, а не на сопротивлении $R$.
Итак, выделяющаяся на сопротивлении $R$ теплота $Q_{R}$ дается выражением (8) (или (7), если $r \ll R$). Теплоту $Q_{д}$, выделяющуюся на диоде в течение всего процесса зарядки конденсатора, можно найти как разность между теплотой $Q$, даваемой формулой (5), и теплотой $Q_{R}$.
