Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4222
2017-10-13 
Прямоугольная металлическая рамка находится между полюсами электромагнита, создающего постоянное однородное магнитное поле индукции $B$, направленное горизонтально (рис. 1). В некоторый момент рамку отпускают, и она начинает падать. Описать дальнейшее движение рамки. Считать, что магнитное поле существует только между полюсами электромагнита.
Решение:
Прежде всего отметим, что разомкнутая рамка, в которой ток идти не может, падала бы так же, как и в отсутствие магнитного поля, т. е. с постоянным ускорением свободного падения $g$. То же самое будет происходить и с замкнутой рамкой до тех пор, пока она целиком находится между полюсами магнита, т. е. в области однородного магнитного поля. В самом деле, в этом случае магнитный поток через рамку не изменяется при ее поступательном движении, индукционный ток в ней не возникает и никаких сил, кроме силы тяжести, на рамку не действует.
рис.2
Но все изменится, как только нижняя сторона рамки выйдет за пределы полюсов магнита, т. е. области, где существует магнитное поле (рис. 2). Теперь при движении рамки пронизывающий ее магнитный поток убывает и в рамке течет индукционный ток. В результате на верхнюю горизонтальную сторону рамки, находящуюся в магнитном поле, действует сила Ампера $F$. Эта сила, в соответствии с правилом Ленца для индукционного тока, направлена вверх, т. е. стремится уменьшить внешнее воздействие, приводящее к появлению индукционного тока. Ускорение рамки уже не будет равно $g$. Силы Ампера, действующие па боковые (вертикальные) стороны рамки, направлены в противоположные стороны и не оказывают влияния на ее движение.
Поскольку действующая на верхнюю сторону рамки сила Ампера $F$ равна $IBl$ ($l$ — длина этой стороны), то уравнение второго закона Ньютона для падающей рамки имеет вид
$mdv/dt = mg - IBl$. (1)
Здесь $m$ — масса рамки. Индукционный ток $I$ зависит от сопротивления рамки $R$ и ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$. ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока через рамку:
$\mathcal{E}_{i} = Blv$, (2)
поэтому
$I = Blv/R$. (3)
Подставляя индукционный ток (3) в уравнение второго закона Ньютона (1), получаем
$\frac{dv}{dt} = g - \frac{B^{2}l^{2}}{mR} v$. (4)
Если к тому моменту, когда нижняя сторона рамки выходит из магнитного поля, скорость рамки невелика, так что первое слагаемое в правой части (4) больше второго, то рамка продолжает разгоняться, хотя и с меньшим ускорением. Если же рамка уже разогналась настолько, что второе слагаемое больше первого, то она начинает тормозиться.
Уравнение (4) имеет такой же вид, как и уравнение, описывающее разгон корабля под действием постоянной тяги винтов при учете силы сопротивления, пропорциональной скорости корабля. Точно такое же уравнение описывает и процесс падения тяжелого шарика в вязкой жидкости. Во всех случаях скорость тела изменяется до тех пор, пока сила сопротивления не сравняется по модулю с постоянной внешней силой.
Это значение скорости $v_{1}$, соответствующее установившемуся движению, легко найти с помощью (4), даже не решая этого дифференциального уравнения. При установившемся движении $dv/dt = 0$, и для скорости $v_{1}$ приравнивая пулю правую часть (4), получаем
$v_{1} \ = mgR/B^{2}l^{2}$. (5)
Скорость установившегося падения $v_{1}$ можно найти и из энергетических соображений, не прибегая к уравнениям движения. При падении рамки с постоянной скоростью ее кинетическая энергия остается неизменной, потенциальная энергия уменьшается, и поэтому выделяющаяся в рамке джоулева теплота равна убыли ее потенциальной энергии в поле тяжести:
$I^{2}R = \ mgv_{1}$. (6)
Подставляя сюда значение индукционного тока $I$ из формулы (3), приходим к прежнему значению $v_{1}$, выраженному формулой (5).
Сколько времени происходит процесс установления? Успеет ли рамка приобрести значение скорости $v_{1}$ пока ее верхняя сторона все еще находится в магнитном поле? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно решить уравнение (4). С решением уравнения такого вида мы уже встречались в задаче 13, где речь шла о процессе зарядки конденсатора. Прежде всего, учитывая соотношение (5), перепишем уравнение (4) в более удобном виде:
$dv/dt = - (v - v_{1})/ \tau$, (7)
где использовано обозначение
$\tau = mR/ B^{2}l^{2}$. (8)
Так как производные по времени от $v$ и $(v - v_{1})$ совпадают, то уравнение (7) говорит о том, что скорость изменения величины $v - v_{1}$ пропорциональна самой этой величине. Поэтому решение уравнения (7) имеет вид
$v - v_{1} = C e^{ - t/ \tau}$. (9)
Из формулы (9) видно, что значение постоянной $C$ равно отличию начальной скорости $v v_{0}$ при $t = $0 от скорости установившегося движения рамки $v_{1}: C = v_{0} - v_{1}$. Видно также, что отличие мгновенной скорости от установившейся $v - v_{1}$ затухает со временем экспоненциально с характерным временем $\tau$, определяемым соотношением (8).
Таким образом, зависимость скорости от времени с того момента, как на рамку начинает действовать сила Ампера, согласно выражению (9) имеет вид
$v(t) = (v_{0} - v_{1}) e^{ - \frac{t}{ \tau}} + v_{1}$. (10)
Это выражение для скорости справедливо, разумеется, только до того момента, пока верхняя сторона рамки не выйдет за пределы магнитного поля (рис.2).
Графики скорости рамки показаны на рис. 3. Верхний график соответствует случаю, когда к моменту появления силы Ампера ($t = 0$) скорость рамки $v_{0}$ меньше предельного значения $v_{1}$. Нижний график — случаю, когда $v_{0} > v_{1}$. Наклонные прямолинейные участки графиков при $t < 0$ соответствуют свободному падению рамки до появления силы Ампера. Расстояние, которое проходит рамка за характерное время установления $\tau$, равно площади, заштрихованной на этих графиках. Для оценки можно считать, что по порядку величины эта площадь равна $v_{1} \tau$. Если длина вертикальной стороны рамки $l_{1}$ много меньше этого расстояния $v_{1} \tau$, то ни о каком установлении скорости рамки говорить не приходится. Для установления скорости необходимо выполнение неравенства
$l_{1} \geq v_{1} \tau = g \left ( \frac{ mR }{ B^{2} l^{2} } \right )^{2}$. (11)
Только при выполнении этого условия магнитное поле заметно сказывается на движении рамки. Интересно отметить, что к этому условию можно прийти из других, более наглядных соображений. В самом деле, магнитное поле может существенно повлиять на движение рамки только в том случае, когда при свободном падении за время установления $\tau$ рамка прошла бы расстояние, меньшее ее вертикального размера $l_{1}: l_{1} \geq g \tau^{2}$. Подставляя сюда значение $\tau$ из формулы (8), приходим опять к условию (11).
рис.3
При решении задачи мы считали, что область, в которой существует магнитное поле, имеет резкую границу (рис. 1,2). Именно следствием этого предположения является существование изломов на графиках скорости при $t = 0$ (рис. 3). Так как у любого реального магнита спадание магнитного поля происходит постепенно, то в действительности движению рамки соответствуют графики со сглаженными изломами.
При решении задачи мы не учитывали и самоиндукцию падающей рамки, благодаря которой индукционный ток, строго говоря, не равен значению, даваемому формулой (3). Этим эффектом действительно можно пренебречь, когда внешнее магнитное поле $B$ много больше магнитного поля, создаваемого самим индукционным током.
Прямоугольная металлическая рамка находится между полюсами электромагнита, создающего постоянное однородное магнитное поле индукции $B$, направленное горизонтально (рис. 1). В некоторый момент рамку отпускают, и она начинает падать. Описать дальнейшее движение рамки. Считать, что магнитное поле существует только между полюсами электромагнита.
Решение:
Прежде всего отметим, что разомкнутая рамка, в которой ток идти не может, падала бы так же, как и в отсутствие магнитного поля, т. е. с постоянным ускорением свободного падения $g$. То же самое будет происходить и с замкнутой рамкой до тех пор, пока она целиком находится между полюсами магнита, т. е. в области однородного магнитного поля. В самом деле, в этом случае магнитный поток через рамку не изменяется при ее поступательном движении, индукционный ток в ней не возникает и никаких сил, кроме силы тяжести, на рамку не действует.
рис.2
Но все изменится, как только нижняя сторона рамки выйдет за пределы полюсов магнита, т. е. области, где существует магнитное поле (рис. 2). Теперь при движении рамки пронизывающий ее магнитный поток убывает и в рамке течет индукционный ток. В результате на верхнюю горизонтальную сторону рамки, находящуюся в магнитном поле, действует сила Ампера $F$. Эта сила, в соответствии с правилом Ленца для индукционного тока, направлена вверх, т. е. стремится уменьшить внешнее воздействие, приводящее к появлению индукционного тока. Ускорение рамки уже не будет равно $g$. Силы Ампера, действующие па боковые (вертикальные) стороны рамки, направлены в противоположные стороны и не оказывают влияния на ее движение.
Поскольку действующая на верхнюю сторону рамки сила Ампера $F$ равна $IBl$ ($l$ — длина этой стороны), то уравнение второго закона Ньютона для падающей рамки имеет вид
$mdv/dt = mg - IBl$. (1)
Здесь $m$ — масса рамки. Индукционный ток $I$ зависит от сопротивления рамки $R$ и ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$. ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока через рамку:
$\mathcal{E}_{i} = Blv$, (2)
поэтому
$I = Blv/R$. (3)
Подставляя индукционный ток (3) в уравнение второго закона Ньютона (1), получаем
$\frac{dv}{dt} = g - \frac{B^{2}l^{2}}{mR} v$. (4)
Если к тому моменту, когда нижняя сторона рамки выходит из магнитного поля, скорость рамки невелика, так что первое слагаемое в правой части (4) больше второго, то рамка продолжает разгоняться, хотя и с меньшим ускорением. Если же рамка уже разогналась настолько, что второе слагаемое больше первого, то она начинает тормозиться.
Уравнение (4) имеет такой же вид, как и уравнение, описывающее разгон корабля под действием постоянной тяги винтов при учете силы сопротивления, пропорциональной скорости корабля. Точно такое же уравнение описывает и процесс падения тяжелого шарика в вязкой жидкости. Во всех случаях скорость тела изменяется до тех пор, пока сила сопротивления не сравняется по модулю с постоянной внешней силой.
Это значение скорости $v_{1}$, соответствующее установившемуся движению, легко найти с помощью (4), даже не решая этого дифференциального уравнения. При установившемся движении $dv/dt = 0$, и для скорости $v_{1}$ приравнивая пулю правую часть (4), получаем
$v_{1} \ = mgR/B^{2}l^{2}$. (5)
Скорость установившегося падения $v_{1}$ можно найти и из энергетических соображений, не прибегая к уравнениям движения. При падении рамки с постоянной скоростью ее кинетическая энергия остается неизменной, потенциальная энергия уменьшается, и поэтому выделяющаяся в рамке джоулева теплота равна убыли ее потенциальной энергии в поле тяжести:
$I^{2}R = \ mgv_{1}$. (6)
Подставляя сюда значение индукционного тока $I$ из формулы (3), приходим к прежнему значению $v_{1}$, выраженному формулой (5).
Сколько времени происходит процесс установления? Успеет ли рамка приобрести значение скорости $v_{1}$ пока ее верхняя сторона все еще находится в магнитном поле? Чтобы ответить на эти вопросы, нужно решить уравнение (4). С решением уравнения такого вида мы уже встречались в задаче 13, где речь шла о процессе зарядки конденсатора. Прежде всего, учитывая соотношение (5), перепишем уравнение (4) в более удобном виде:
$dv/dt = - (v - v_{1})/ \tau$, (7)
где использовано обозначение
$\tau = mR/ B^{2}l^{2}$. (8)
Так как производные по времени от $v$ и $(v - v_{1})$ совпадают, то уравнение (7) говорит о том, что скорость изменения величины $v - v_{1}$ пропорциональна самой этой величине. Поэтому решение уравнения (7) имеет вид
$v - v_{1} = C e^{ - t/ \tau}$. (9)
Из формулы (9) видно, что значение постоянной $C$ равно отличию начальной скорости $v v_{0}$ при $t = $0 от скорости установившегося движения рамки $v_{1}: C = v_{0} - v_{1}$. Видно также, что отличие мгновенной скорости от установившейся $v - v_{1}$ затухает со временем экспоненциально с характерным временем $\tau$, определяемым соотношением (8).
Таким образом, зависимость скорости от времени с того момента, как на рамку начинает действовать сила Ампера, согласно выражению (9) имеет вид
$v(t) = (v_{0} - v_{1}) e^{ - \frac{t}{ \tau}} + v_{1}$. (10)
Это выражение для скорости справедливо, разумеется, только до того момента, пока верхняя сторона рамки не выйдет за пределы магнитного поля (рис.2).
Графики скорости рамки показаны на рис. 3. Верхний график соответствует случаю, когда к моменту появления силы Ампера ($t = 0$) скорость рамки $v_{0}$ меньше предельного значения $v_{1}$. Нижний график — случаю, когда $v_{0} > v_{1}$. Наклонные прямолинейные участки графиков при $t < 0$ соответствуют свободному падению рамки до появления силы Ампера. Расстояние, которое проходит рамка за характерное время установления $\tau$, равно площади, заштрихованной на этих графиках. Для оценки можно считать, что по порядку величины эта площадь равна $v_{1} \tau$. Если длина вертикальной стороны рамки $l_{1}$ много меньше этого расстояния $v_{1} \tau$, то ни о каком установлении скорости рамки говорить не приходится. Для установления скорости необходимо выполнение неравенства
$l_{1} \geq v_{1} \tau = g \left ( \frac{ mR }{ B^{2} l^{2} } \right )^{2}$. (11)
Только при выполнении этого условия магнитное поле заметно сказывается на движении рамки. Интересно отметить, что к этому условию можно прийти из других, более наглядных соображений. В самом деле, магнитное поле может существенно повлиять на движение рамки только в том случае, когда при свободном падении за время установления $\tau$ рамка прошла бы расстояние, меньшее ее вертикального размера $l_{1}: l_{1} \geq g \tau^{2}$. Подставляя сюда значение $\tau$ из формулы (8), приходим опять к условию (11).
рис.3
При решении задачи мы считали, что область, в которой существует магнитное поле, имеет резкую границу (рис. 1,2). Именно следствием этого предположения является существование изломов на графиках скорости при $t = 0$ (рис. 3). Так как у любого реального магнита спадание магнитного поля происходит постепенно, то в действительности движению рамки соответствуют графики со сглаженными изломами.
При решении задачи мы не учитывали и самоиндукцию падающей рамки, благодаря которой индукционный ток, строго говоря, не равен значению, даваемому формулой (3). Этим эффектом действительно можно пренебречь, когда внешнее магнитное поле $B$ много больше магнитного поля, создаваемого самим индукционным током.
