Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4221
2017-10-13 
На железный сердечник трансформатора (рис. 1) вместо вторичной обмотки надето проводящее кольцо сопротивлением $R$. К точкам А и В этого кольца, отстоящим друг от друга на $1/3$ длины кольца, подключен идеальный вольтметр. ЭДС индукции, наводимая в проводящем кольце, равна $\mathcal{E}$. Что покажет вольтметр?
Решение:
рис.2
Изменяющийся со временем магнитный поток в сердечнике порождает вихревое электрическое поле, линии напряженности которого представляют собой окружности, симметрично охватывающие сердечник. При симметричном расположении кольца сторонние силы во всех его участках одинаковы и ЭДС индукции в любом участке кольца пропорциональна длине участка. В частности, на участке АВ ЭДС индукции $\mathcal{E}_{AB} = 1/3 \mathcal{E}$, а на участке ВСА $\mathcal{E}_{BCA} = 2/3 \mathcal{E}$. Поэтому может показаться, что данная задача эквивалентна хорошо известной задаче о последовательно соединенных в замкнутую цепь одинаковых источниках тока (рис. 2). Легко показать, что напряжение между любыми двумя точками такой цепи равно нулю. В самом деле, применяя закон Ома для участка неоднородной цепи FD, содержащего $n$ элементов, имеем
$I = \frac{U_{FD} + n \mathcal{E}}{nr}$. (1)
С другой стороны, применяя закон Ома ко всей замкнутой цепи из $n + m$ элементов, получаем
$I = \frac{(n +m) \mathcal{E}}{(n+m)r} = \frac{ \mathcal{E}}{r}$. (2)
Сравнивая (1) и (2), видим, что $U_{FD} = 0$. Если к точкам F и D подключить вольтметр, его показание будет равно нулю. Даже если точки F и D соединить накоротко, в цепи ничего не изменится и ток через перемычку не пойдет.
рис.3
Казалось бы, и в рассматриваемой задаче о подключении вольтметра к точкам А и В проводящего кольца, охватывающего сердечник трансформатора, мы получим нулевое показание вольтметра, так как и здесь напряжение между любыми двумя точками кольца равно нулю. Однако если провести такое измерение, то результат опыта будет удивителен: мало того, что вольтметр покажет не нуль, но его показания еще будут зависеть от того, как расположены провода, соединяющие вольтметр с точками А и В, относительно сердечника трансформатора (рис. 3).
Дело в том, что в схеме с источниками тока (рис. 2) цепь самого вольтметра никакой роли не играет, тогда как в рассматриваемом случае (рис. 3) вольтметр с подводящими проводами образует контур, в котором также наблюдается явление электромагнитной индукции.
Как известно, показание вольтметра пропорционально протекающему через него току: когда ток через вольтметр равен $I_{в}$, показываемое им напряжение $U_{в}$ равно $I_{в}R_{в}$, где $R_{в}$ — внутреннее сопротивление вольтметра. Чтобы выяснить, каким будет показание вольтметра при подключении его по первому способу (рис. 3а), применим к замкнутому контуру, содержащему участок кольца АВ, соединительные провода и вольтметр, второе правило Кирхгофа. Поскольку рассматриваемый контур не охватывает сердечника, то ЭДС индукции в нем равна нулю. В результате уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид
$IR_{AB} - I_{в}R_{в} = 0$, (3)
где $I$ — ток в кольце. Ток $I$ можно считать одинаковым во всех участках кольца, так как по условию вольтметр идеальный, и, следовательно, током, ответвляющимся в вольтметр, можно пренебречь по сравнению с током в кольце. В данном случае это означает, что его сопротивление $R_{в}$ много больше сопротивления $R$ кольца. Поскольку для всего кольца справедливо
$IR = \mathcal{E}$, (4)
а сопротивление $R_{AB}$ участка АВ составляет одну треть сопротивления $R$ кольца, то из (3) получаем
$U_{в} = I_{в}R_{в} = 1/3 \mathcal{E}$. (5)
Итак, показание вольтметра действительно отлично от нуля, хотя он подключен к точкам кольца, напряжение между которыми равно нулю. Так происходит потому,что в данном случае и в подводящих проводах действуют сторонние силы. Разумеется, тот же результат (5) можно получить, рассматривая другой замкнутый контур, содержащий вольтметр с подводящими проводами и участок ВСA кольца (рис. 3а). Такой контур охватывает сердечник, и действующая в нем ЭДС индукции равна $\mathcal{E}$. Уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид
$IR_{BCA} + I_{в}R_{в} = \mathcal{E}$. (6)
Поскольку $IR_{BCA} = I \cdot 2/3 R = 2/3 \mathcal{E}$, то из (6) снова получаем
$U_{в} = I_{в}R_{в} = 1/3< \mathcal{E}$. (7)
Совершенно аналогично можно найти показываемое вольтметром напряжение при подключении его к точкам A и В по второму способу (рис. 3б). ЭДС индукции в контуре, содержащем вольтметр с проводами и участок АВ кольца, равна $\mathcal{E}$. Поэтому уравнение при обходе этого контура имеет вид
$IR_{AB} + I_{в}R_{в} = \mathcal{E}$. (8)
Поскольку $IR_{AB} = I \cdot 1/3 R = 1/3 \mathcal{E}$, то для показания вольтметра получаем $U_{в} = I_{в}R_{в} = 2/3 \mathcal{E}$. Такой же результат получится, если воспользоваться контуром, содержащим участок ВС А, в котором ЭДС индукции равна нулю.
Таким образом, показания вольтметра действительно оказываются разными в случаях а и б на рис. 3, несмотря на то что он подключается к одним и тем же точкам. Урок, который можно вынести из этой задачи, заключается в том, что относиться к аналогиям в физике следует с известной осторожностью. Использование аналогий приносит большую пользу, но избежать подводных камней при этом можно лишь при достаточно глубоком понимании рассматриваемого физического явления. Аналогия никогда не означает тождественности, поскольку даже в очень похожих явлениях разной физической природы всегда имеются свои особенности.
На железный сердечник трансформатора (рис. 1) вместо вторичной обмотки надето проводящее кольцо сопротивлением $R$. К точкам А и В этого кольца, отстоящим друг от друга на $1/3$ длины кольца, подключен идеальный вольтметр. ЭДС индукции, наводимая в проводящем кольце, равна $\mathcal{E}$. Что покажет вольтметр?
Решение:
рис.2
Изменяющийся со временем магнитный поток в сердечнике порождает вихревое электрическое поле, линии напряженности которого представляют собой окружности, симметрично охватывающие сердечник. При симметричном расположении кольца сторонние силы во всех его участках одинаковы и ЭДС индукции в любом участке кольца пропорциональна длине участка. В частности, на участке АВ ЭДС индукции $\mathcal{E}_{AB} = 1/3 \mathcal{E}$, а на участке ВСА $\mathcal{E}_{BCA} = 2/3 \mathcal{E}$. Поэтому может показаться, что данная задача эквивалентна хорошо известной задаче о последовательно соединенных в замкнутую цепь одинаковых источниках тока (рис. 2). Легко показать, что напряжение между любыми двумя точками такой цепи равно нулю. В самом деле, применяя закон Ома для участка неоднородной цепи FD, содержащего $n$ элементов, имеем
$I = \frac{U_{FD} + n \mathcal{E}}{nr}$. (1)
С другой стороны, применяя закон Ома ко всей замкнутой цепи из $n + m$ элементов, получаем
$I = \frac{(n +m) \mathcal{E}}{(n+m)r} = \frac{ \mathcal{E}}{r}$. (2)
Сравнивая (1) и (2), видим, что $U_{FD} = 0$. Если к точкам F и D подключить вольтметр, его показание будет равно нулю. Даже если точки F и D соединить накоротко, в цепи ничего не изменится и ток через перемычку не пойдет.
рис.3
Казалось бы, и в рассматриваемой задаче о подключении вольтметра к точкам А и В проводящего кольца, охватывающего сердечник трансформатора, мы получим нулевое показание вольтметра, так как и здесь напряжение между любыми двумя точками кольца равно нулю. Однако если провести такое измерение, то результат опыта будет удивителен: мало того, что вольтметр покажет не нуль, но его показания еще будут зависеть от того, как расположены провода, соединяющие вольтметр с точками А и В, относительно сердечника трансформатора (рис. 3).
Дело в том, что в схеме с источниками тока (рис. 2) цепь самого вольтметра никакой роли не играет, тогда как в рассматриваемом случае (рис. 3) вольтметр с подводящими проводами образует контур, в котором также наблюдается явление электромагнитной индукции.
Как известно, показание вольтметра пропорционально протекающему через него току: когда ток через вольтметр равен $I_{в}$, показываемое им напряжение $U_{в}$ равно $I_{в}R_{в}$, где $R_{в}$ — внутреннее сопротивление вольтметра. Чтобы выяснить, каким будет показание вольтметра при подключении его по первому способу (рис. 3а), применим к замкнутому контуру, содержащему участок кольца АВ, соединительные провода и вольтметр, второе правило Кирхгофа. Поскольку рассматриваемый контур не охватывает сердечника, то ЭДС индукции в нем равна нулю. В результате уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид
$IR_{AB} - I_{в}R_{в} = 0$, (3)
где $I$ — ток в кольце. Ток $I$ можно считать одинаковым во всех участках кольца, так как по условию вольтметр идеальный, и, следовательно, током, ответвляющимся в вольтметр, можно пренебречь по сравнению с током в кольце. В данном случае это означает, что его сопротивление $R_{в}$ много больше сопротивления $R$ кольца. Поскольку для всего кольца справедливо
$IR = \mathcal{E}$, (4)
а сопротивление $R_{AB}$ участка АВ составляет одну треть сопротивления $R$ кольца, то из (3) получаем
$U_{в} = I_{в}R_{в} = 1/3 \mathcal{E}$. (5)
Итак, показание вольтметра действительно отлично от нуля, хотя он подключен к точкам кольца, напряжение между которыми равно нулю. Так происходит потому,что в данном случае и в подводящих проводах действуют сторонние силы. Разумеется, тот же результат (5) можно получить, рассматривая другой замкнутый контур, содержащий вольтметр с подводящими проводами и участок ВСA кольца (рис. 3а). Такой контур охватывает сердечник, и действующая в нем ЭДС индукции равна $\mathcal{E}$. Уравнение, получающееся при обходе этого контура, имеет вид
$IR_{BCA} + I_{в}R_{в} = \mathcal{E}$. (6)
Поскольку $IR_{BCA} = I \cdot 2/3 R = 2/3 \mathcal{E}$, то из (6) снова получаем
$U_{в} = I_{в}R_{в} = 1/3< \mathcal{E}$. (7)
Совершенно аналогично можно найти показываемое вольтметром напряжение при подключении его к точкам A и В по второму способу (рис. 3б). ЭДС индукции в контуре, содержащем вольтметр с проводами и участок АВ кольца, равна $\mathcal{E}$. Поэтому уравнение при обходе этого контура имеет вид
$IR_{AB} + I_{в}R_{в} = \mathcal{E}$. (8)
Поскольку $IR_{AB} = I \cdot 1/3 R = 1/3 \mathcal{E}$, то для показания вольтметра получаем $U_{в} = I_{в}R_{в} = 2/3 \mathcal{E}$. Такой же результат получится, если воспользоваться контуром, содержащим участок ВС А, в котором ЭДС индукции равна нулю.
Таким образом, показания вольтметра действительно оказываются разными в случаях а и б на рис. 3, несмотря на то что он подключается к одним и тем же точкам. Урок, который можно вынести из этой задачи, заключается в том, что относиться к аналогиям в физике следует с известной осторожностью. Использование аналогий приносит большую пользу, но избежать подводных камней при этом можно лишь при достаточно глубоком понимании рассматриваемого физического явления. Аналогия никогда не означает тождественности, поскольку даже в очень похожих явлениях разной физической природы всегда имеются свои особенности.
