Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4219
2017-10-13 
При включении первичной обмотки трансформатора с замкнутым сердечником в сеть с напряжением $U_{1} = 100 В$ на разомкнутой вторичной обмотке, имеющей в два раза ($n=2$) большее число витков, напряжение $U_{2} = 197 В$. Какое напряжение будет на разомкнутой вторичной обмотке, если воспользоваться сердечником того же размера, но из материала с магнитной проницаемостью в $k=lQ$ раз меньшей, чем в первом случае? Рассеяние магнитного потока и потери в сердечнике не учитывать.
Решение:
Будем в дальнейшем, как и в условии задачи, буквами $U_{1}$ и $U_{2}$ обозначать амплитудные (или действующие) значения соответствующих напряжений.
Приводимое ниже решение справедливо для режима «холостого хода», когда вторичная обмотка трансформатора разомкнута. Напряжение $U_{2}$ на разомкнутой вторичной обмотке в первом случае меньше чем $nU_{1} = 200 В$. Поскольку рассеяния магнитного потока и потерь в сердечнике по условию задачи нет, то различие это вызвано падением напряжения на активном сопротивлении первичной обмотки. Напряжение на индуктивном сопротивлении $R_{L}$ первичной обмотки опережает по фазе на $\pi /2$ ток и, следовательно, напряжение на активном сопротивлении. Поэтому для полного напряжения $U_{1}$ на первичной обмотке, как ясно из векторной диаграммы, можно написать
$U_{1} = \sqrt{ U_{R}^{2} + U_{L}^{2}}$. (1)
Разумеется, непосредственно измерить $U_{R}$ и $U_{L}$ по отдельности нельзя, так как первичная обмотка не есть последовательно соединенные индуктивность $L$ и активное сопротивление $R$: каждый элемент обмотки обладает одновременно и индуктивностью, и сопротивлением. Это так называемая цепь с распределенными параметрами. Но при расчете можно заменить реальную обмотку на цепь с сосредоточенными параметрами — катушку индуктивности и сопротивление, соединенные последовательно, поскольку через каждый элемент исходной цепи идет один и тот же ток.
Напряжение на индуктивном сопротивлении первичной обмотки по модулю равно ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{1}$, возникающей в первичной обмотке, но противоположно ей по фазе. Напряжение $U_{2}$ на разомкнутой вторичной обмотке равно возникающей в ней ЭДС индукции $\mathcal{E}_{2}$. Поскольку $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ связаны соотношением $\mathcal{E}_{2} / \mathcal{E}_{1} = n$, то
$U_{2} = nU_{L}$. (2)
Итак, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке определяется не полным напряжением на первичной обмотке, а лишь его индуктивной составляющей. Поскольку из соотношения (1) следует, что
$\frac{U_{L}}{U_{1}} = \frac{R_{L}}{ \sqrt{ R_{L}^{2} + R^{2}}} = \frac{1}{ \sqrt{1 + (R / R_{L})^{2}}}$, (3)
то
$U_{2} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + (R/R_{L})^{2}}}$. (4)
Замена сердечника приводит к изменению индуктивного сопротивления первичной обмотки. Индуктивное сопротивление $R_{L}$ пропорционально магнитной проницаемости материала сердечника, поэтому
$R_{L}/R_{L}^{ \prime} = k$, (5)
где $R_{L}^{ \prime}$ — индуктивное сопротивление первичной обмотки после замены сердечника.
Учитывая формулу (5), с помощью выражения (4) напряжение $U_{2}^{ \prime}$ на вторичной обмотке после замены сердечника можно записать в виде
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + (R/ R_{L}^{ \prime})^{2}}} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + (kR/R_{L})^{2}}}$. (6)
Из соотношений (2) и (3) видно, что
$(R/R_{L})^{2} = (U_{1}/U_{L})^{2} - 1 = (nU_{1}/U_{2})^{2} - 1$. (7)
Подставляя (7) в соотношение (6), находим
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + k^{2} [n^{2}(U_{1} / U_{2})^{2} - 1]}}$. (8)
Используя заданные в условии значения входящих в формулу (8) величин, получаем $U_{2}^{ \prime} = 100 В$.
Итак, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке оказалось равным поданному на первичную обмотку, несмотря на то что число витков во вторичной обмотке в два раза больше. Рассмотренный пример показывает значение сердечника с большой магнитной проницаемостью: для нормальной работы трансформатора необходимо, чтобы активное сопротивление $R$ первичной обмотки было мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением $R_{L} (R \ll R_{L})$.
При выполнении этого условия индуктивная составляющая напряжения будет близка к подаваемому на первичную обмотку напряжению $U_{1}$. У такого трансформатора на холостом ходу $U_{2} \approx nU_{1}$. Эти напряжения находятся почти в противофазе. Благодаря большому индуктивному сопротивлению первичной обмотки трансформатора с сердечником ток в ней при разомкнутой вторичной цепи мал, несмотря на то что активное сопротивление первичной обмотки мало. Если же такой трансформатор включить в сеть постоянного тока, где играет роль только активное сопротивление $R$, то ток в первичной обмотке достигнет огромного значения и трансформатор сгорит.
При включении первичной обмотки трансформатора с замкнутым сердечником в сеть с напряжением $U_{1} = 100 В$ на разомкнутой вторичной обмотке, имеющей в два раза ($n=2$) большее число витков, напряжение $U_{2} = 197 В$. Какое напряжение будет на разомкнутой вторичной обмотке, если воспользоваться сердечником того же размера, но из материала с магнитной проницаемостью в $k=lQ$ раз меньшей, чем в первом случае? Рассеяние магнитного потока и потери в сердечнике не учитывать.
Решение:
Будем в дальнейшем, как и в условии задачи, буквами $U_{1}$ и $U_{2}$ обозначать амплитудные (или действующие) значения соответствующих напряжений.
Приводимое ниже решение справедливо для режима «холостого хода», когда вторичная обмотка трансформатора разомкнута. Напряжение $U_{2}$ на разомкнутой вторичной обмотке в первом случае меньше чем $nU_{1} = 200 В$. Поскольку рассеяния магнитного потока и потерь в сердечнике по условию задачи нет, то различие это вызвано падением напряжения на активном сопротивлении первичной обмотки. Напряжение на индуктивном сопротивлении $R_{L}$ первичной обмотки опережает по фазе на $\pi /2$ ток и, следовательно, напряжение на активном сопротивлении. Поэтому для полного напряжения $U_{1}$ на первичной обмотке, как ясно из векторной диаграммы, можно написать
$U_{1} = \sqrt{ U_{R}^{2} + U_{L}^{2}}$. (1)
Разумеется, непосредственно измерить $U_{R}$ и $U_{L}$ по отдельности нельзя, так как первичная обмотка не есть последовательно соединенные индуктивность $L$ и активное сопротивление $R$: каждый элемент обмотки обладает одновременно и индуктивностью, и сопротивлением. Это так называемая цепь с распределенными параметрами. Но при расчете можно заменить реальную обмотку на цепь с сосредоточенными параметрами — катушку индуктивности и сопротивление, соединенные последовательно, поскольку через каждый элемент исходной цепи идет один и тот же ток.
Напряжение на индуктивном сопротивлении первичной обмотки по модулю равно ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{1}$, возникающей в первичной обмотке, но противоположно ей по фазе. Напряжение $U_{2}$ на разомкнутой вторичной обмотке равно возникающей в ней ЭДС индукции $\mathcal{E}_{2}$. Поскольку $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ связаны соотношением $\mathcal{E}_{2} / \mathcal{E}_{1} = n$, то
$U_{2} = nU_{L}$. (2)
Итак, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке определяется не полным напряжением на первичной обмотке, а лишь его индуктивной составляющей. Поскольку из соотношения (1) следует, что
$\frac{U_{L}}{U_{1}} = \frac{R_{L}}{ \sqrt{ R_{L}^{2} + R^{2}}} = \frac{1}{ \sqrt{1 + (R / R_{L})^{2}}}$, (3)
то
$U_{2} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + (R/R_{L})^{2}}}$. (4)
Замена сердечника приводит к изменению индуктивного сопротивления первичной обмотки. Индуктивное сопротивление $R_{L}$ пропорционально магнитной проницаемости материала сердечника, поэтому
$R_{L}/R_{L}^{ \prime} = k$, (5)
где $R_{L}^{ \prime}$ — индуктивное сопротивление первичной обмотки после замены сердечника.
Учитывая формулу (5), с помощью выражения (4) напряжение $U_{2}^{ \prime}$ на вторичной обмотке после замены сердечника можно записать в виде
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + (R/ R_{L}^{ \prime})^{2}}} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + (kR/R_{L})^{2}}}$. (6)
Из соотношений (2) и (3) видно, что
$(R/R_{L})^{2} = (U_{1}/U_{L})^{2} - 1 = (nU_{1}/U_{2})^{2} - 1$. (7)
Подставляя (7) в соотношение (6), находим
$U_{2}^{ \prime} = \frac{nU_{1}}{ \sqrt{1 + k^{2} [n^{2}(U_{1} / U_{2})^{2} - 1]}}$. (8)
Используя заданные в условии значения входящих в формулу (8) величин, получаем $U_{2}^{ \prime} = 100 В$.
Итак, напряжение на разомкнутой вторичной обмотке оказалось равным поданному на первичную обмотку, несмотря на то что число витков во вторичной обмотке в два раза больше. Рассмотренный пример показывает значение сердечника с большой магнитной проницаемостью: для нормальной работы трансформатора необходимо, чтобы активное сопротивление $R$ первичной обмотки было мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением $R_{L} (R \ll R_{L})$.
При выполнении этого условия индуктивная составляющая напряжения будет близка к подаваемому на первичную обмотку напряжению $U_{1}$. У такого трансформатора на холостом ходу $U_{2} \approx nU_{1}$. Эти напряжения находятся почти в противофазе. Благодаря большому индуктивному сопротивлению первичной обмотки трансформатора с сердечником ток в ней при разомкнутой вторичной цепи мал, несмотря на то что активное сопротивление первичной обмотки мало. Если же такой трансформатор включить в сеть постоянного тока, где играет роль только активное сопротивление $R$, то ток в первичной обмотке достигнет огромного значения и трансформатор сгорит.
