Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4216
2017-10-13 
Рассмотрим схему, показанную на рис. 1. К входным клеммам приложено постоянное напряжение $U$. Определить напряжения на конденсаторах, рассматривая четыре возможных положения ключей $K_{1}$ и $K_{2}$. 1) оба ключа разомкнуты; 2) ключ $K_{1}$ замкнут, $K_{2}$ разомкнут; 3) оба ключа замкнуты; 4) ключ $K_{1}$ разомкнут, $K_{2}$ — замкнут.
Решение:
Проанализируем последовательно все четыре случая.
1. Когда оба ключа разомкнуты, никакого тока ни в одном участке цепи нет. Задача в этом случае чисто электростатическая: два последовательно соединенных конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения $U$.
Поэтому напряжения на конденсаторах $U_{1}$ и $U_{2}$ в этом случае определяются из системы уравнений
$U_{1} + U_{2} = U, C_{1}U_{1} = C_{2}U_{2}$. (1)
Первое из этих уравнений очевидно, а второе отражает равенство зарядов последовательно соединенных конденсаторов. Решая систему (1), находим
$U_{1} = U \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}, U_{2} = U \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}}$. (2)
рис.2
2. Во втором случае, когда ключ $K_{1}$ замкнут, а $K_{2}$ разомкнут, схема принимает вид, показанный на рис. 2. В такой цепи через последовательно соединенные сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$ идет ток, а для конденсаторов все остается так же, как и в первом случае, так как напряжение $U$ по условию неизменно. Другими словами, в такой схеме последовательные цепочки конденсаторов и сопротивлений независимо, параллельно друг другу подключены к сети с постоянным напряжением $U$.
Если напряжение $U$ не поддерживается неизменным, а источник представляет собой, например, аккумулятор с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, то подключение цепочки сопротивлений $R_{1}$ и $R_{2}$ и возникновение тока $I = \mathcal{E} /( R_{1} + R_{2} + r)$ приводят к уменьшению напряжения, приложенного к цепочке конденсаторов. В этом случае оно будет равно не ЭДС источника, а
$U = I(R_{1} + R_{2}) = \frac{ \mathcal{E} (R_{1} + R_{2})}{R_{1} + R_{2} + r}$. (3)
Формулы (2) для напряжений на конденсаторах остаются в силе, только под $U$ следует понимать величину, даваемую соотношением (3).
рис.3
3. Когда оба ключа замкнуты, конденсаторы нельзя считать соединенными последовательно. Действительно, в этом случае схему можно представлять так, как показано на рис. 3. Каждый конденсатор соединен параллельно со «своим» сопротивлением, и поэтому заряды конденсаторов уже не равны друг другу. Напряжение на каждом конденсаторе равно напряжению на соответствующем сопротивлении. Так как сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$ соединены между собой последовательно, ток через них одинаков и напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$ удовлетворяют системе уравнений:
$U_{1} + U_{2} = U, U_{1}/U_{2} = R_{1} / R_{2}$. (4)
Решая эту систему, получаем
$U_{1} = U \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}, U_{2} = U \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$. (5)
Если и в этом случае нельзя пренебрегать внутренним сопротивлением источника, то под $U$ в формулах (5) следует понимать напряжение на внешнем участке цепи, даваемое выражением (3).
4. Когда ключ $K_{1}$ разомкнут, тока в цепи нет. Если ключ $K_{2}$ при этом замкнут, то напряжение на конденсаторе $C_{2}$ равно нулю. Следовательно, напряжение на конденсаторе $C_{1}$ равно напряжению источника питания $U$.
Отметим, что полученные ответы справедливы тогда, когда все переходные процессы в цепи уже закончились. Непосредственно после замыкания (или размыкания) ключей происходит перезарядка конденсаторов, что занимает некоторый промежуток времени. Длительность этого промежутка зависит от значений сопротивлений и емкостей.
При решении этой задачи считалось, что все конденсаторы были не заряжены до подключения источника в каждом из рассмотренных случаев. Это условие может оказаться невыполненным при последовательном переходе от одного случая к другому без отключения источника. Например, при переходе от случая 4 к случаю 1 путем размыкания ключа $K_{2}$ конденсатор $C_{2}$ как был, так и останется незаряженным, несмотря на то, что при этом получается схема с последовательно соединенными конденсаторами. Напряжение на первом конденсаторе остается равным $U$, а на втором — нулю.
Рассмотрим схему, показанную на рис. 1. К входным клеммам приложено постоянное напряжение $U$. Определить напряжения на конденсаторах, рассматривая четыре возможных положения ключей $K_{1}$ и $K_{2}$. 1) оба ключа разомкнуты; 2) ключ $K_{1}$ замкнут, $K_{2}$ разомкнут; 3) оба ключа замкнуты; 4) ключ $K_{1}$ разомкнут, $K_{2}$ — замкнут.
Решение:
Проанализируем последовательно все четыре случая.
1. Когда оба ключа разомкнуты, никакого тока ни в одном участке цепи нет. Задача в этом случае чисто электростатическая: два последовательно соединенных конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения $U$.
Поэтому напряжения на конденсаторах $U_{1}$ и $U_{2}$ в этом случае определяются из системы уравнений
$U_{1} + U_{2} = U, C_{1}U_{1} = C_{2}U_{2}$. (1)
Первое из этих уравнений очевидно, а второе отражает равенство зарядов последовательно соединенных конденсаторов. Решая систему (1), находим
$U_{1} = U \frac{C_{2}}{C_{1} + C_{2}}, U_{2} = U \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}}$. (2)
рис.2
2. Во втором случае, когда ключ $K_{1}$ замкнут, а $K_{2}$ разомкнут, схема принимает вид, показанный на рис. 2. В такой цепи через последовательно соединенные сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$ идет ток, а для конденсаторов все остается так же, как и в первом случае, так как напряжение $U$ по условию неизменно. Другими словами, в такой схеме последовательные цепочки конденсаторов и сопротивлений независимо, параллельно друг другу подключены к сети с постоянным напряжением $U$.
Если напряжение $U$ не поддерживается неизменным, а источник представляет собой, например, аккумулятор с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, то подключение цепочки сопротивлений $R_{1}$ и $R_{2}$ и возникновение тока $I = \mathcal{E} /( R_{1} + R_{2} + r)$ приводят к уменьшению напряжения, приложенного к цепочке конденсаторов. В этом случае оно будет равно не ЭДС источника, а
$U = I(R_{1} + R_{2}) = \frac{ \mathcal{E} (R_{1} + R_{2})}{R_{1} + R_{2} + r}$. (3)
Формулы (2) для напряжений на конденсаторах остаются в силе, только под $U$ следует понимать величину, даваемую соотношением (3).
рис.3
3. Когда оба ключа замкнуты, конденсаторы нельзя считать соединенными последовательно. Действительно, в этом случае схему можно представлять так, как показано на рис. 3. Каждый конденсатор соединен параллельно со «своим» сопротивлением, и поэтому заряды конденсаторов уже не равны друг другу. Напряжение на каждом конденсаторе равно напряжению на соответствующем сопротивлении. Так как сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$ соединены между собой последовательно, ток через них одинаков и напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$ удовлетворяют системе уравнений:
$U_{1} + U_{2} = U, U_{1}/U_{2} = R_{1} / R_{2}$. (4)
Решая эту систему, получаем
$U_{1} = U \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}}, U_{2} = U \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$. (5)
Если и в этом случае нельзя пренебрегать внутренним сопротивлением источника, то под $U$ в формулах (5) следует понимать напряжение на внешнем участке цепи, даваемое выражением (3).
4. Когда ключ $K_{1}$ разомкнут, тока в цепи нет. Если ключ $K_{2}$ при этом замкнут, то напряжение на конденсаторе $C_{2}$ равно нулю. Следовательно, напряжение на конденсаторе $C_{1}$ равно напряжению источника питания $U$.
Отметим, что полученные ответы справедливы тогда, когда все переходные процессы в цепи уже закончились. Непосредственно после замыкания (или размыкания) ключей происходит перезарядка конденсаторов, что занимает некоторый промежуток времени. Длительность этого промежутка зависит от значений сопротивлений и емкостей.
При решении этой задачи считалось, что все конденсаторы были не заряжены до подключения источника в каждом из рассмотренных случаев. Это условие может оказаться невыполненным при последовательном переходе от одного случая к другому без отключения источника. Например, при переходе от случая 4 к случаю 1 путем размыкания ключа $K_{2}$ конденсатор $C_{2}$ как был, так и останется незаряженным, несмотря на то, что при этом получается схема с последовательно соединенными конденсаторами. Напряжение на первом конденсаторе остается равным $U$, а на втором — нулю.
