Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4215
2017-10-13 
Электродвигатель, якорь которого имеет сопротивление $R$, включен в сеть постоянного тока с напряжением $U$. При этом груз массой $m$ поднимается со скоростью $v_{ \uparrow}$ посредством невесомой нити, намотанной на ось двигателя. С какой скоростью $v_{ \downarrow}$ будет опускаться этот же груз, если во внешней цепи произойдет замыкание, в результате которого обмотка якоря окажется закороченной? Якорь электродвигателя находится в магнитном поле, создаваемом постоянным магнитом. Трением в подшипниках пренебречь.
Решение:
Прежде всего подумаем, почему вообще устанавливается какая-то определенная скорость спуска. Ведь если просто отключить двигатель от сети, то при отсутствии трения в подшипниках груз будет раскручивать якорь и опускаться равноускоренно. Ускорение, конечно, будет меньше ускорения свободного падения, если якорь двигателя обладает заметным моментом инерции. Двигатель, как мы видим, здесь вообще ни при чем, его якорь — это просто раскручиваемый опускающимся грузом маховик. Однако в рассматриваемом в задаче случае электрическая цепь оказывается замкнутой, но так, что напряжение на двигатель не подается, и в результате при опускании груза он работает как замкнутый накоротко генератор постоянного тока. При вращении якоря в магнитном поле в его обмотке идет ток. Скорость опускания груза теперь будет увеличиваться только до тех пор, пока действующий на якорь двигателя со стороны груза механический момент не будет уравновешен моментом сил, действующих на якорь с током со стороны магнитного поля индуктора.
Так как момент механических сил, действующих на якорь, одинаков как при равномерном подъеме, так и при равномерном спуске (груз один и тот же), а магнитное поле индуктора считается постоянным (по условию задачи оно создается постоянным магнитом), то и ток в цепи якоря будет одинаковым при установившихся подъеме и спуске, поскольку сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, пропорциональна току. Обозначим ток в якоре при установившемся движении через $I$. Найти его можно, воспользовавшись законом сохранения энергии при подъеме груза: потребляемая от сети мощность $IU$ идет па нагревание обмотки якоря и на подъем груза. Обозначая механическую мощность, развиваемую двигателем, через $P_{м}$, можем написать
$IU = I^{2}R + P_{м}$. (1)
Решая это уравнение, находим
$I = \frac{U}{2R} \pm \sqrt{ \frac{U^{2}}{4R^{2}} - \frac{P_{м}}{R}}$. (2)
Почему же получилось два значения тока? В условии задачи заданы масса груза и скорость его подъема, т. е. фактически задана механическая мощность, развиваемая двигателем:
$P_{м} = mgv_{ \uparrow}$. (3)
Но одну и ту же механическую мощность, меньшую максимальной, которую может развить двигатель при заданном напряжении $U$, можно получить при двух значениях тока в якоре. В самом деле, построим с помощью формулы (1) график зависимости механической мощности $P_{м}$ от силы тока в якоре двигателя (рис. 1). Этот график представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз и пересекают ось абсцисс в точках $I=0$ и $I=U/R$. Первая точка соответствует режиму холостого хода, т. е. вращению якоря мотора без внешней механической нагрузки. При этом ЭДС индукции в обмотке якоря компенсирует приложенное напряжение $U$, и ток отсутствует. Вторая точка ($I = U/R$) соответствует заторможенному внешним усилием невращающемуся якорю, когда ЭДС индукции в его обмотке отсутствует. При этом механическая мощность двигателя, очевидно, равна нулю, и вся потребляемая от сети мощность идет на нагревание обмотки якоря. Вершина параболы соответствует максимальной механической мощности двигателя, которая, как нетрудно убедиться, равна $U^{2}/4R$.
рис.1
рис.2
Из рис. 1 видно, что любое значение механической мощности $P_{м} = mgv_{ \uparrow}$, меньшее $U^{2}/4R$, можно получить при двух значениях тока $I_{1}$ и $I_{2}$. Каждому из этих значений тока соответствует определенное значение момента внешней силы, действующей на якорь двигателя. Поскольку эта сила равна силе тяжести $mg$, действующей на поднимаемый груз, то каждому значению механического момента соответствует определенный радиус оси, на которую наматывается пить (рис. 2а соответствует меньшему значению механического момента и, следовательно, току $I_{1}$, рис. 2б — току $I_{2}$). В первом случае та же самая механическая мощность двигателя $mgv_{ \uparrow}$ получается при меньшем радиусе и большей угловой скорости вращения якоря, чем во втором случае. Первый случай, очевидно, соответствует более высокому КПД мотора. Хотя данных задачи, строго говоря, недостаточно для того, чтобы отдать предпочтение тому или другому значению тока, но если предположить, что при подъеме груза двигатель работал в «правильном» режиме, то из корней $I_{1}$ и $I_{2}$ следует выбрать меньший.
Как мы выяснили, такой же ток будет протекать в обмотке якоря и при установившемся спуске груза. Воспользуемся законом сохранения энергии. Поскольку теперь мотор представляет собой замкнутый накоротко генератор постоянного тока, убыль потенциальной энергии груза равна количеству теплоты, выделяющегося в обмотке якоря:
$mgv_{downarrow} = I^{2}R$. (4)
Значение установившейся скорости спуска $v_{ \downarrow}$ получается отсюда после подстановки значения силы тока $I$ из формулы (2), в которой механическая мощность $P_{м}$, развиваемая мотором при подъеме груза, подставлена из соотношения (3):
$v_{ \downarrow} = \frac{I^{2}R}{mg} = \frac{U^{2}}{4mgR} \left [ 1 - \sqrt{1 - \frac{4mgRv_{ \uparrow }}{U^{2}}} \right ]^{2}$. (5)
Любопытно отметить, что сумма скоростей подъема и спуска равна скорости холостого хода $v_{0}$, т. е. скорости подъема нити без груза.
Чтобы убедиться в этом, вспомним, что возникающая в обмотке якоря ЭДС индукции $\mathcal{E}_{1}$ пропорциональна скорости вращения якоря, т. е. скорости движения нити $v$, намотанной на ось:
$\mathcal{E}_{1} = kv$. (6)
Используя выражение (6), запишем уравнения закона Ома для трех режимов работы двигателя — при подъеме груза, при спуске груза с короткозамкнутым якорем и на холостом ходу:
$U - kv_{ \uparrow } = IR, kv_{ \downarrow} = IR, U - kv_{0} = 0$. (7)
Вычитая второе и третье уравнения из первого, получаем
$v_{ \uparrow} + v_{ \downarrow} = v_{0}$. (8)
Электродвигатель, якорь которого имеет сопротивление $R$, включен в сеть постоянного тока с напряжением $U$. При этом груз массой $m$ поднимается со скоростью $v_{ \uparrow}$ посредством невесомой нити, намотанной на ось двигателя. С какой скоростью $v_{ \downarrow}$ будет опускаться этот же груз, если во внешней цепи произойдет замыкание, в результате которого обмотка якоря окажется закороченной? Якорь электродвигателя находится в магнитном поле, создаваемом постоянным магнитом. Трением в подшипниках пренебречь.
Решение:
Прежде всего подумаем, почему вообще устанавливается какая-то определенная скорость спуска. Ведь если просто отключить двигатель от сети, то при отсутствии трения в подшипниках груз будет раскручивать якорь и опускаться равноускоренно. Ускорение, конечно, будет меньше ускорения свободного падения, если якорь двигателя обладает заметным моментом инерции. Двигатель, как мы видим, здесь вообще ни при чем, его якорь — это просто раскручиваемый опускающимся грузом маховик. Однако в рассматриваемом в задаче случае электрическая цепь оказывается замкнутой, но так, что напряжение на двигатель не подается, и в результате при опускании груза он работает как замкнутый накоротко генератор постоянного тока. При вращении якоря в магнитном поле в его обмотке идет ток. Скорость опускания груза теперь будет увеличиваться только до тех пор, пока действующий на якорь двигателя со стороны груза механический момент не будет уравновешен моментом сил, действующих на якорь с током со стороны магнитного поля индуктора.
Так как момент механических сил, действующих на якорь, одинаков как при равномерном подъеме, так и при равномерном спуске (груз один и тот же), а магнитное поле индуктора считается постоянным (по условию задачи оно создается постоянным магнитом), то и ток в цепи якоря будет одинаковым при установившихся подъеме и спуске, поскольку сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, пропорциональна току. Обозначим ток в якоре при установившемся движении через $I$. Найти его можно, воспользовавшись законом сохранения энергии при подъеме груза: потребляемая от сети мощность $IU$ идет па нагревание обмотки якоря и на подъем груза. Обозначая механическую мощность, развиваемую двигателем, через $P_{м}$, можем написать
$IU = I^{2}R + P_{м}$. (1)
Решая это уравнение, находим
$I = \frac{U}{2R} \pm \sqrt{ \frac{U^{2}}{4R^{2}} - \frac{P_{м}}{R}}$. (2)
Почему же получилось два значения тока? В условии задачи заданы масса груза и скорость его подъема, т. е. фактически задана механическая мощность, развиваемая двигателем:
$P_{м} = mgv_{ \uparrow}$. (3)
Но одну и ту же механическую мощность, меньшую максимальной, которую может развить двигатель при заданном напряжении $U$, можно получить при двух значениях тока в якоре. В самом деле, построим с помощью формулы (1) график зависимости механической мощности $P_{м}$ от силы тока в якоре двигателя (рис. 1). Этот график представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз и пересекают ось абсцисс в точках $I=0$ и $I=U/R$. Первая точка соответствует режиму холостого хода, т. е. вращению якоря мотора без внешней механической нагрузки. При этом ЭДС индукции в обмотке якоря компенсирует приложенное напряжение $U$, и ток отсутствует. Вторая точка ($I = U/R$) соответствует заторможенному внешним усилием невращающемуся якорю, когда ЭДС индукции в его обмотке отсутствует. При этом механическая мощность двигателя, очевидно, равна нулю, и вся потребляемая от сети мощность идет на нагревание обмотки якоря. Вершина параболы соответствует максимальной механической мощности двигателя, которая, как нетрудно убедиться, равна $U^{2}/4R$.
рис.1
рис.2
Из рис. 1 видно, что любое значение механической мощности $P_{м} = mgv_{ \uparrow}$, меньшее $U^{2}/4R$, можно получить при двух значениях тока $I_{1}$ и $I_{2}$. Каждому из этих значений тока соответствует определенное значение момента внешней силы, действующей на якорь двигателя. Поскольку эта сила равна силе тяжести $mg$, действующей на поднимаемый груз, то каждому значению механического момента соответствует определенный радиус оси, на которую наматывается пить (рис. 2а соответствует меньшему значению механического момента и, следовательно, току $I_{1}$, рис. 2б — току $I_{2}$). В первом случае та же самая механическая мощность двигателя $mgv_{ \uparrow}$ получается при меньшем радиусе и большей угловой скорости вращения якоря, чем во втором случае. Первый случай, очевидно, соответствует более высокому КПД мотора. Хотя данных задачи, строго говоря, недостаточно для того, чтобы отдать предпочтение тому или другому значению тока, но если предположить, что при подъеме груза двигатель работал в «правильном» режиме, то из корней $I_{1}$ и $I_{2}$ следует выбрать меньший.
Как мы выяснили, такой же ток будет протекать в обмотке якоря и при установившемся спуске груза. Воспользуемся законом сохранения энергии. Поскольку теперь мотор представляет собой замкнутый накоротко генератор постоянного тока, убыль потенциальной энергии груза равна количеству теплоты, выделяющегося в обмотке якоря:
$mgv_{downarrow} = I^{2}R$. (4)
Значение установившейся скорости спуска $v_{ \downarrow}$ получается отсюда после подстановки значения силы тока $I$ из формулы (2), в которой механическая мощность $P_{м}$, развиваемая мотором при подъеме груза, подставлена из соотношения (3):
$v_{ \downarrow} = \frac{I^{2}R}{mg} = \frac{U^{2}}{4mgR} \left [ 1 - \sqrt{1 - \frac{4mgRv_{ \uparrow }}{U^{2}}} \right ]^{2}$. (5)
Любопытно отметить, что сумма скоростей подъема и спуска равна скорости холостого хода $v_{0}$, т. е. скорости подъема нити без груза.
Чтобы убедиться в этом, вспомним, что возникающая в обмотке якоря ЭДС индукции $\mathcal{E}_{1}$ пропорциональна скорости вращения якоря, т. е. скорости движения нити $v$, намотанной на ось:
$\mathcal{E}_{1} = kv$. (6)
Используя выражение (6), запишем уравнения закона Ома для трех режимов работы двигателя — при подъеме груза, при спуске груза с короткозамкнутым якорем и на холостом ходу:
$U - kv_{ \uparrow } = IR, kv_{ \downarrow} = IR, U - kv_{0} = 0$. (7)
Вычитая второе и третье уравнения из первого, получаем
$v_{ \uparrow} + v_{ \downarrow} = v_{0}$. (8)
