Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4213
2017-10-13 
Два параллельно соединенных источника тока с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ и внутренними сопротивлениями $r_{1}$ и $r_{2}$ включены на нагрузку, сопротивление $R$ которой можно изменять (рис. 1). ЭДС первого источника $\mathcal{E}_{1}$ больше ЭДС второго: $ \mathcal{E}_{1} > \mathcal{E}_{2}$. Оказывается, что при некотором значении сопротивления $R$ ток через амперметр отсутствует. В каком направлении пойдет ток через второй источник, если сопротивление нагрузки $R$: увеличить; уменьшить?
Решение:
рис.2
Наиболее прямой, хотя и не самый простой способ решения этой задачи состоит в применении правил Кирхгофа к рассматриваемой разветвленной цепи. Обозначим токи в неразветвленных участках цепи через $I_{1}, I_{2}$ и зададим им направления, как указано на рис. 2.
Согласно первому правилу Кирхгофа, выражающему закон сохранения заряда, алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
$I_{1} + I_{2} - I = 0$. (1)
Согласно второму правилу Кирхгофа, вытекающему из закона Ома для неоднородного участка цепи, в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся при обходе этого контура. Выбирая контуры, содержащие один из источников тока и сопротивление нагрузки, получаем
$I_{1} r_{1} + IR = \mathcal{E}_{1}, I_{2}r_{2} + IR = \mathcal{E}_{2}$. (2)
Решая систему уравнений (1) и (2), можно найти токи во всех участках. Для ответа на поставленные вопросы достаточно иметь выражение для тока $I_{2}$ через второй источник:
$I_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{2} (r_{1} + R) - \mathcal{E}_{1}R}{R(r_{1} + r_{2}) + r_{1}r_{2}}$. (3)
Ток через амперметр будет отсутствовать, когда числитель выражения (3) обращается в нуль. Из этого условия находим то значение сопротивления нагрузки $R$, при котором показание амперметра равно нулю:
$R = r_{1} \frac{ \mathcal{E}_{2}}{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2}}$. (4)
Тек $I_{2}$ через второй источник действительно будет идти в указанном на рис. 2 направлении, если числитель в выражении (3) положителен, т. е. при выполнении условия
$R < r_{1} \frac{ \mathcal{E}_{2}}{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2}}$. (5)
Если сопротивление нагрузки $R$ удовлетворяет противоположному неравенству, то числитель в выражении (3) отрицателен, и ток $I_{2}$ через второй источник в действительности идет в обратную сторону. Итак, при уменьшении сопротивления $R$ от значения (4) ток через второй источник будет идти так, как указано на рис. 2, а при увеличении — в противоположную сторону.
рис.3
Обратим внимание на то, что примененный нами формальный путь решения задачи с помощью правил Кирхгофа: позволяет получить верный ответ, не вникая в физический смысл полученного результата. В самом деле, мы пока не можем ответить на вопрос, почему увеличение сопротивления нагрузки приводит к появлению тока $I_{2}$ именно в указанном направлении. Попытка ответить на подобный вопрос приведет нас к другому, менее формальному способу решения задачи. Прежде всего заметим, что при отсутствии тока через второй источник ток существует только в одной неразветвленной цепи, содержащей ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и сопротивление нагрузки $R$ (рис. 3). Второй источник при этом можно отключить, и в оставшейся цепи ничего не изменится. Силу тока $I$ можно найти на основании закона Ома для неразветвленной цепи:
$I = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{R + r_{1}}$. (6)
С другой стороны, при отсутствии второй источник отсутствии тока через второй источник напряженне $U$ на его зажимах равно ЭДС этого источника $\mathcal{E}_{2}$. Поэтому, используя закон Ома для однородного участка цепи, содержащего нагрузку $R$, имеем
$I = U/R = \mathcal{E}_{2}/R$. (7)
Приравнивая правые части формул (6) и (7), получаем для сопротивления нагрузки $R$, при котором ток через источник с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$ не идет, прежнее выражение (4). Это выражение имеет смысл только при $\mathcal{E}_{1} > \mathcal{E}_{2}$, что естественно, так как напряжение $U$ на зажимах работающего первого источника всегда меньше его ЭДС $\mathcal{E}_{1}$.
Рассмотрим теперь, как будет меняться напряжение между точками А и В при изменении сопротивления $R$, если второй источник отсутствует. При уменьшении $R$ ток в цепи возрастает и, следовательно, напряжение на зажимах источника с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ (т. е. между точками А и В) уменьшается. Это напряжение становится меньше ЭДС $\mathcal{E}_{2}$, поэтому при подключении второго источника ток через него пойдет так, как показано на рис. 2. В этом случае второй источник будет работать нормально, т. е. отдавать энергию во внешнюю цепь, и эта энергия будет выделяться на нагрузке.
Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что при увеличении сопротивления нагрузки напряжение между точками А и В увеличивается, т. е. становится больше $\mathcal{E}_{2}$. Поэтому при подключении второго источника ток через него пойдет в направлении, противоположном указанному на рис. 2. В этом случае второй источник не отдает энергию во внешнюю цепь, а сам потребляет энергию от первого источника.
Таким образом, при параллельном соединении источников тока с разными ЭДС существует предельное значение сопротивления нагрузки, определяемое формулой (4). Если сопротивление нагрузки окажется больше предельного, то использование второго источника вообще нецелесообразно: его подключение приводит к уменьшению тока через нагрузку.
Два параллельно соединенных источника тока с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ и внутренними сопротивлениями $r_{1}$ и $r_{2}$ включены на нагрузку, сопротивление $R$ которой можно изменять (рис. 1). ЭДС первого источника $\mathcal{E}_{1}$ больше ЭДС второго: $ \mathcal{E}_{1} > \mathcal{E}_{2}$. Оказывается, что при некотором значении сопротивления $R$ ток через амперметр отсутствует. В каком направлении пойдет ток через второй источник, если сопротивление нагрузки $R$: увеличить; уменьшить?
Решение:
рис.2
Наиболее прямой, хотя и не самый простой способ решения этой задачи состоит в применении правил Кирхгофа к рассматриваемой разветвленной цепи. Обозначим токи в неразветвленных участках цепи через $I_{1}, I_{2}$ и зададим им направления, как указано на рис. 2.
Согласно первому правилу Кирхгофа, выражающему закон сохранения заряда, алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
$I_{1} + I_{2} - I = 0$. (1)
Согласно второму правилу Кирхгофа, вытекающему из закона Ома для неоднородного участка цепи, в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений токов на сопротивления соответствующих участков равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся при обходе этого контура. Выбирая контуры, содержащие один из источников тока и сопротивление нагрузки, получаем
$I_{1} r_{1} + IR = \mathcal{E}_{1}, I_{2}r_{2} + IR = \mathcal{E}_{2}$. (2)
Решая систему уравнений (1) и (2), можно найти токи во всех участках. Для ответа на поставленные вопросы достаточно иметь выражение для тока $I_{2}$ через второй источник:
$I_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{2} (r_{1} + R) - \mathcal{E}_{1}R}{R(r_{1} + r_{2}) + r_{1}r_{2}}$. (3)
Ток через амперметр будет отсутствовать, когда числитель выражения (3) обращается в нуль. Из этого условия находим то значение сопротивления нагрузки $R$, при котором показание амперметра равно нулю:
$R = r_{1} \frac{ \mathcal{E}_{2}}{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2}}$. (4)
Тек $I_{2}$ через второй источник действительно будет идти в указанном на рис. 2 направлении, если числитель в выражении (3) положителен, т. е. при выполнении условия
$R < r_{1} \frac{ \mathcal{E}_{2}}{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2}}$. (5)
Если сопротивление нагрузки $R$ удовлетворяет противоположному неравенству, то числитель в выражении (3) отрицателен, и ток $I_{2}$ через второй источник в действительности идет в обратную сторону. Итак, при уменьшении сопротивления $R$ от значения (4) ток через второй источник будет идти так, как указано на рис. 2, а при увеличении — в противоположную сторону.
рис.3
Обратим внимание на то, что примененный нами формальный путь решения задачи с помощью правил Кирхгофа: позволяет получить верный ответ, не вникая в физический смысл полученного результата. В самом деле, мы пока не можем ответить на вопрос, почему увеличение сопротивления нагрузки приводит к появлению тока $I_{2}$ именно в указанном направлении. Попытка ответить на подобный вопрос приведет нас к другому, менее формальному способу решения задачи. Прежде всего заметим, что при отсутствии тока через второй источник ток существует только в одной неразветвленной цепи, содержащей ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и сопротивление нагрузки $R$ (рис. 3). Второй источник при этом можно отключить, и в оставшейся цепи ничего не изменится. Силу тока $I$ можно найти на основании закона Ома для неразветвленной цепи:
$I = \frac{ \mathcal{E}_{1}}{R + r_{1}}$. (6)
С другой стороны, при отсутствии второй источник отсутствии тока через второй источник напряженне $U$ на его зажимах равно ЭДС этого источника $\mathcal{E}_{2}$. Поэтому, используя закон Ома для однородного участка цепи, содержащего нагрузку $R$, имеем
$I = U/R = \mathcal{E}_{2}/R$. (7)
Приравнивая правые части формул (6) и (7), получаем для сопротивления нагрузки $R$, при котором ток через источник с ЭДС $\mathcal{E}_{2}$ не идет, прежнее выражение (4). Это выражение имеет смысл только при $\mathcal{E}_{1} > \mathcal{E}_{2}$, что естественно, так как напряжение $U$ на зажимах работающего первого источника всегда меньше его ЭДС $\mathcal{E}_{1}$.
Рассмотрим теперь, как будет меняться напряжение между точками А и В при изменении сопротивления $R$, если второй источник отсутствует. При уменьшении $R$ ток в цепи возрастает и, следовательно, напряжение на зажимах источника с ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ (т. е. между точками А и В) уменьшается. Это напряжение становится меньше ЭДС $\mathcal{E}_{2}$, поэтому при подключении второго источника ток через него пойдет так, как показано на рис. 2. В этом случае второй источник будет работать нормально, т. е. отдавать энергию во внешнюю цепь, и эта энергия будет выделяться на нагрузке.
Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что при увеличении сопротивления нагрузки напряжение между точками А и В увеличивается, т. е. становится больше $\mathcal{E}_{2}$. Поэтому при подключении второго источника ток через него пойдет в направлении, противоположном указанному на рис. 2. В этом случае второй источник не отдает энергию во внешнюю цепь, а сам потребляет энергию от первого источника.
Таким образом, при параллельном соединении источников тока с разными ЭДС существует предельное значение сопротивления нагрузки, определяемое формулой (4). Если сопротивление нагрузки окажется больше предельного, то использование второго источника вообще нецелесообразно: его подключение приводит к уменьшению тока через нагрузку.
