Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4212
2017-10-13 
Собрана цепь, схема которой дана на рис. 1. ЭДС первого источника $\mathcal{E}_{1}$ больше ЭДС второго $\mathcal{E}_{2}$. Вольтметр идеальный, причем нуль его расположен посредине шкалы. При разомкнутом ключе стрелка вольтметра отклоняется влево. При одних значениях параметров схемы стрелка после замыкания ключа отклоняется влево, а при других — вправо. Абсолютное значение напряжения, показываемого вольтметром, известно и в обоих случаях одинаково. Что покажет вольтметр и куда отклонится его стрелка в каждом из этих случаев, если второй источник переключить, как показано на рис. 2?
рис.1
рис.2
Решение:
Идеальный вольтметр, включенный в электрическую цепь, показывает напряжение, равное разности потенциалов между точками подключения прибора. Обозначим потенциалы этих точек на первой схеме через $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$, на второй — через $\phi_{1}^{ \prime}$ и $\phi_{2}^{ \prime}$. Для сокращения записи введем $U = \phi_{2} - \phi_{1}$ и $U^{ \prime} = \phi_{2}^{ \prime} - \phi_{1}^{ \prime}$. Ток в схеме на рис. 1 дается формулой
$I = \frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{r_{1} + r_{2} + R }$. (1)
С другой стороны, используя закон Ома для неоднородного участка цепи, содержащего ЭДС $\mathcal{E}_{1}$, для того же тока $I$ можно написать выражение
$I = \frac{ \phi_{2} - \phi_{1} + \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } = \frac{U + \mathcal{E}_{1} }{r_{1}}$. (2)
Приравняем правые части выражений (1) и (2):
$\frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1} }{r_{1} + r_{2} + R } = \frac{U + \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } $. (3)
Совершенно аналогично для схемы, изображенной на рис. 2, получаем
$\frac{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} }{r_{1} + r_{2} + R } = \frac{ U^{ \prime} + \mathcal{E}_{1} }{r_{1} }$. (4)
Поделив почленно (3) и (4), находим
$\frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} } = \frac{ U + \mathcal{E}_{1} }{ U^{ \prime} + \mathcal{E}_{1} }$. (5)
откуда
$U^{ \prime} = \frac{ ( \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} ) U - 2 \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} }{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} } $. (6)
Формально ответ получен. При его получении мы никак не использовали указания, в какую сторону отклоняется стрелка вольтметра, и пока не ясно, как воспользоваться этим ответом в каждом конкретном случае: мы не знаем, какой знак в каждом из рассматриваемых случаев нужно приписать напряжению $U$.
При разомкнутом ключе, когда ток в цепи на рис. 1 отсутствует, потенциал $\phi_{1}$ больше, чем $\phi_{2}$, т. е. $U = \phi_{2} - \phi_{1} < 0$. По условию задачи при этом стрелка вольтметра отклоняется влево. Этим устанавливается связь между направлением отклонения стрелки вольтметра и знаком напряжения $U$: при отклонении стрелки прибора влево $U < 0$, при отклонении вправо $U > 0$. Поэтому в первом случае, когда стрелка вольтметра отклоняется влево, в формулу (6) подставляется отрицательное значение напряжения $U$, показанного вольтметром, а во втором случае (стрелка отклоняется вправо) — положительное. Таким же образом устанавливается направление отклонения стрелки вольтметра в схеме на рис. 2: если значение $U^{ \prime}$, вычисляемое по формуле (6), окажется отрицательным, стрелка вольтметра будет отклоняться влево, если положительным — вправо.
Легко видеть, что в схеме на рис. 2 стрелка вольтметра всегда будет отклоняться в ту же сторону, что и при разомкнутом ключе, независимо от того, в какую сторону она отклонялась в схеме на рис. 1. Действительно, так как $\mathcal{E}_{1} > \mathcal{E}_{2}$, то направление тока в схеме на рис. 1 определяется источником $\mathcal{E}_{1}$ и $\phi_{1}^{ \prime} > \phi_{2}^{ \prime}$, т. е. $U^{ \prime} < 0$. Это можно увидеть и непосредственно из формулы (6). В случае $U < 0$ этот факт очевиден, в случае $U > 0$ требуется более детальное исследование.
Подумаем теперь, что физически означают разные направления отклонения стрелки вольтметра в схеме на рис. 1. Обратимся к формуле (2). Как мы только что выяснили, входящее в нее напряжение $U$ отрицательно, если отклонение стрелки вольтметра происходит в ту же сторону, что и при разомкнутом ключе, когда тока в цепи нет. В этом случае, как видно из (2), ток в цепи меньше тока короткого замыкания для источника $\mathcal{E}_{1}: I < I_{0} = \mathcal{E}_{1}/r_{1}$. Это означает, что источник тока работает нормально, выделяя мощность не только на своем внутреннем сопротивлении $r_{1}$, но и во внешней цепи на нагрузке $R$.
Если отклонение стрелки вольтметра при замыкании ключа происходит в противоположную сторону, то $U > 0$, и из (2) видно, что ток в цепи больше тока короткого замыкания источника $I_{0}$. Это значит, что источник $\mathcal{E}_{1}$ работает «ненормально»: выделяющаяся на его внутреннем сопротивлении мощность превосходит его возможности, т. е. максимальную мощность, которую он вообще может развить. Поэтому, если этот источник убрать, ток в цепи возрастет.
Не следует бездумно соединять последовательно источники тока! Иногда это может привести к результату, прямо противоположному желаемому. Несмотря на то, что при последовательном соединении источников тока ЭДС батареи всегда увеличивается, сила тока в цепи может и уменьшиться, если при этом слишком сильно возрастает внутреннее сопротивление батареи. Прежде чем добавлять в последовательную батарею еще один источник тока, следует убедиться, что ток его короткого замыкания превосходит силу тока в цепи до подсоединения этого источника.
А как практически обнаружить такой источник-«паразит» в цепи, питаемой батареей последовательно соединенных элементов?
И последнее. Если будете проводить анализ формулы (6), то достаточно понять, что при положительном значении напряжения $U$ оно не может превышать $\mathcal{E}_{2}$. Отсюда немедленно следует, что $U^{ \prime} < 0$, т. е. и в этом случае стрелка вольтметра отклоняется влево.
Собрана цепь, схема которой дана на рис. 1. ЭДС первого источника $\mathcal{E}_{1}$ больше ЭДС второго $\mathcal{E}_{2}$. Вольтметр идеальный, причем нуль его расположен посредине шкалы. При разомкнутом ключе стрелка вольтметра отклоняется влево. При одних значениях параметров схемы стрелка после замыкания ключа отклоняется влево, а при других — вправо. Абсолютное значение напряжения, показываемого вольтметром, известно и в обоих случаях одинаково. Что покажет вольтметр и куда отклонится его стрелка в каждом из этих случаев, если второй источник переключить, как показано на рис. 2?
рис.1
рис.2
Решение:
Идеальный вольтметр, включенный в электрическую цепь, показывает напряжение, равное разности потенциалов между точками подключения прибора. Обозначим потенциалы этих точек на первой схеме через $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$, на второй — через $\phi_{1}^{ \prime}$ и $\phi_{2}^{ \prime}$. Для сокращения записи введем $U = \phi_{2} - \phi_{1}$ и $U^{ \prime} = \phi_{2}^{ \prime} - \phi_{1}^{ \prime}$. Ток в схеме на рис. 1 дается формулой
$I = \frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{r_{1} + r_{2} + R }$. (1)
С другой стороны, используя закон Ома для неоднородного участка цепи, содержащего ЭДС $\mathcal{E}_{1}$, для того же тока $I$ можно написать выражение
$I = \frac{ \phi_{2} - \phi_{1} + \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } = \frac{U + \mathcal{E}_{1} }{r_{1}}$. (2)
Приравняем правые части выражений (1) и (2):
$\frac{ \mathcal{E}_{2} + \mathcal{E}_{1} }{r_{1} + r_{2} + R } = \frac{U + \mathcal{E}_{1} }{r_{1} } $. (3)
Совершенно аналогично для схемы, изображенной на рис. 2, получаем
$\frac{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} }{r_{1} + r_{2} + R } = \frac{ U^{ \prime} + \mathcal{E}_{1} }{r_{1} }$. (4)
Поделив почленно (3) и (4), находим
$\frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} } = \frac{ U + \mathcal{E}_{1} }{ U^{ \prime} + \mathcal{E}_{1} }$. (5)
откуда
$U^{ \prime} = \frac{ ( \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} ) U - 2 \mathcal{E}_{1} \mathcal{E}_{2} }{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} } $. (6)
Формально ответ получен. При его получении мы никак не использовали указания, в какую сторону отклоняется стрелка вольтметра, и пока не ясно, как воспользоваться этим ответом в каждом конкретном случае: мы не знаем, какой знак в каждом из рассматриваемых случаев нужно приписать напряжению $U$.
При разомкнутом ключе, когда ток в цепи на рис. 1 отсутствует, потенциал $\phi_{1}$ больше, чем $\phi_{2}$, т. е. $U = \phi_{2} - \phi_{1} < 0$. По условию задачи при этом стрелка вольтметра отклоняется влево. Этим устанавливается связь между направлением отклонения стрелки вольтметра и знаком напряжения $U$: при отклонении стрелки прибора влево $U < 0$, при отклонении вправо $U > 0$. Поэтому в первом случае, когда стрелка вольтметра отклоняется влево, в формулу (6) подставляется отрицательное значение напряжения $U$, показанного вольтметром, а во втором случае (стрелка отклоняется вправо) — положительное. Таким же образом устанавливается направление отклонения стрелки вольтметра в схеме на рис. 2: если значение $U^{ \prime}$, вычисляемое по формуле (6), окажется отрицательным, стрелка вольтметра будет отклоняться влево, если положительным — вправо.
Легко видеть, что в схеме на рис. 2 стрелка вольтметра всегда будет отклоняться в ту же сторону, что и при разомкнутом ключе, независимо от того, в какую сторону она отклонялась в схеме на рис. 1. Действительно, так как $\mathcal{E}_{1} > \mathcal{E}_{2}$, то направление тока в схеме на рис. 1 определяется источником $\mathcal{E}_{1}$ и $\phi_{1}^{ \prime} > \phi_{2}^{ \prime}$, т. е. $U^{ \prime} < 0$. Это можно увидеть и непосредственно из формулы (6). В случае $U < 0$ этот факт очевиден, в случае $U > 0$ требуется более детальное исследование.
Подумаем теперь, что физически означают разные направления отклонения стрелки вольтметра в схеме на рис. 1. Обратимся к формуле (2). Как мы только что выяснили, входящее в нее напряжение $U$ отрицательно, если отклонение стрелки вольтметра происходит в ту же сторону, что и при разомкнутом ключе, когда тока в цепи нет. В этом случае, как видно из (2), ток в цепи меньше тока короткого замыкания для источника $\mathcal{E}_{1}: I < I_{0} = \mathcal{E}_{1}/r_{1}$. Это означает, что источник тока работает нормально, выделяя мощность не только на своем внутреннем сопротивлении $r_{1}$, но и во внешней цепи на нагрузке $R$.
Если отклонение стрелки вольтметра при замыкании ключа происходит в противоположную сторону, то $U > 0$, и из (2) видно, что ток в цепи больше тока короткого замыкания источника $I_{0}$. Это значит, что источник $\mathcal{E}_{1}$ работает «ненормально»: выделяющаяся на его внутреннем сопротивлении мощность превосходит его возможности, т. е. максимальную мощность, которую он вообще может развить. Поэтому, если этот источник убрать, ток в цепи возрастет.
Не следует бездумно соединять последовательно источники тока! Иногда это может привести к результату, прямо противоположному желаемому. Несмотря на то, что при последовательном соединении источников тока ЭДС батареи всегда увеличивается, сила тока в цепи может и уменьшиться, если при этом слишком сильно возрастает внутреннее сопротивление батареи. Прежде чем добавлять в последовательную батарею еще один источник тока, следует убедиться, что ток его короткого замыкания превосходит силу тока в цепи до подсоединения этого источника.
А как практически обнаружить такой источник-«паразит» в цепи, питаемой батареей последовательно соединенных элементов?
И последнее. Если будете проводить анализ формулы (6), то достаточно понять, что при положительном значении напряжения $U$ оно не может превышать $\mathcal{E}_{2}$. Отсюда немедленно следует, что $U^{ \prime} < 0$, т. е. и в этом случае стрелка вольтметра отклоняется влево.
