Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4209
2017-10-13 
На рис. показана часть схемы, состоящей из неизвестных сопротивлений. Как, имея омметр и соединительные провода, можно измерить сопротивление $R_{x}$, не разрывая ни одного контакта схемы?
Решение:
рис.2
По условию задачи нельзя разрывать никаких соединений в этой цепи, но можно соединять проводами любые точки, т. е. закорачивать некоторые участки. Используя провода, исходную схему всегда можно привести к виду, показанному на рис. 2.
Схема, изображенная на рис. 1, приводится к такому виду, если соединить накоротко точки А, В и С. Тогда роль $R_{1}$ на рис. 2 будут играть параллельно соединенные сопротивления 1, 2 и 3 (рис. 1), а роль $R_{2}$ играет сопротивление всей остальной разветвленной цепи между точками С и D. Нетрудно сообразить, что в общем случае схему, изображенную на рис. 2, из произвольной, содержащей $R_{x}$, можно получить, соединяя накоротко между собой концы всех резисторов, подключенных к искомому с одной стороны. (Если в схеме есть сопротивления, параллельные $R_{x}$, то определить $R_{x}$, не производя разъединений, невозможно: можно лишь определить общее сопротивление всех резисторов, включенных параллельно $R_{x}$.)
Теперь нахождение $R_{x}$ не представляет никакого труда. Произведем следующие три измерения.
рис.3
1. Закорачиваем точки Е и D и включаем омметр между точками А и D. Эквивалентная схема приведена на рис. 3а. Показание омметра $r_{1}$ связано с $R_{1}$ и $R_{2}$ соотношением
$\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{r_{1}}$ . (1)
2. Закорачиваем точки A и E на рис. 2. Омметр, как и раньше, включен между точками A и D. Эквивалентная схема изображена на рис. 3б. Показание омметра $r_{2}$ связано с $R_{x}$ и $R_{2}$ соотношением
$\frac{1}{R_{x} } + \frac{1}{R_{2} } = \frac{1}{r_{2}}$. (2)
3. Закорачиваем точки А и D. Омметр включаем между точками Е и D (рис. 3в). Показание омметра $r_{3}$ в этом случае подчиняется соотношению
$\frac{1}{R_{x} } + \frac{1}{R_{1} } = \frac{1}{r_{3}}$. (3)
Складывая почленно уравнения (2) и (3) и вычитая уравнение (1), получаем
$\frac{2}{R_{x}} = \frac{1}{r_{3} } + \frac{1}{r_{2} } - \frac{1}{r_{1} }$.
На рис. показана часть схемы, состоящей из неизвестных сопротивлений. Как, имея омметр и соединительные провода, можно измерить сопротивление $R_{x}$, не разрывая ни одного контакта схемы?
Решение:
рис.2
По условию задачи нельзя разрывать никаких соединений в этой цепи, но можно соединять проводами любые точки, т. е. закорачивать некоторые участки. Используя провода, исходную схему всегда можно привести к виду, показанному на рис. 2.
Схема, изображенная на рис. 1, приводится к такому виду, если соединить накоротко точки А, В и С. Тогда роль $R_{1}$ на рис. 2 будут играть параллельно соединенные сопротивления 1, 2 и 3 (рис. 1), а роль $R_{2}$ играет сопротивление всей остальной разветвленной цепи между точками С и D. Нетрудно сообразить, что в общем случае схему, изображенную на рис. 2, из произвольной, содержащей $R_{x}$, можно получить, соединяя накоротко между собой концы всех резисторов, подключенных к искомому с одной стороны. (Если в схеме есть сопротивления, параллельные $R_{x}$, то определить $R_{x}$, не производя разъединений, невозможно: можно лишь определить общее сопротивление всех резисторов, включенных параллельно $R_{x}$.)
Теперь нахождение $R_{x}$ не представляет никакого труда. Произведем следующие три измерения.
рис.3
1. Закорачиваем точки Е и D и включаем омметр между точками А и D. Эквивалентная схема приведена на рис. 3а. Показание омметра $r_{1}$ связано с $R_{1}$ и $R_{2}$ соотношением
$\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{r_{1}}$ . (1)
2. Закорачиваем точки A и E на рис. 2. Омметр, как и раньше, включен между точками A и D. Эквивалентная схема изображена на рис. 3б. Показание омметра $r_{2}$ связано с $R_{x}$ и $R_{2}$ соотношением
$\frac{1}{R_{x} } + \frac{1}{R_{2} } = \frac{1}{r_{2}}$. (2)
3. Закорачиваем точки А и D. Омметр включаем между точками Е и D (рис. 3в). Показание омметра $r_{3}$ в этом случае подчиняется соотношению
$\frac{1}{R_{x} } + \frac{1}{R_{1} } = \frac{1}{r_{3}}$. (3)
Складывая почленно уравнения (2) и (3) и вычитая уравнение (1), получаем
$\frac{2}{R_{x}} = \frac{1}{r_{3} } + \frac{1}{r_{2} } - \frac{1}{r_{1} }$.
