Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4208
2017-10-13 
Имеются $n$ клемм, каждая из которых соединена со всеми остальными клеммами одинаковыми проводниками сопротивлением $R$. Найти сопротивление между любыми двумя клеммами.
Решение:
Прежде всего из симметрии схемы ясно, что сопротивление одинаково между любой парой клемм.
рис.1
Рассмотрим вспомогательную схему (рис. 1). Две клеммы А и В соединены друг с другом проводником сопротивлением $R$, а остальные $n - 2$ клеммы соединены с клеммами A и В такими же проводниками сопротивлением $R$, но не соединены друг с другом.
В этой схеме между клеммами А и В параллельно включены сопротивление $R$ и $n - 2$ сопротивлений по $2R$. Поэтому полное сопротивление $R_{AB}$ между клеммами А и В вычисляется по формуле
$\frac{1}{R_{AB} } = \frac{1}{R} + \frac{n-2}{2R}$, откуда $R_{AB} = \frac{2R}{n}$.
Из симметрии схемы, изображенной на рисунке, видно, что если между клеммами A и В создать некоторую разность потенциалов, то потенциалы остальных $n - 2$ клемм будут равны между собой.
Соединим теперь проводниками сопротивлением $R$ каждую из $n - 2$ клемм со всеми остальными. В этих проводниках тока не будет, и, следовательно, сопротивление $R_{AB}$ между клеммами А и В при этом не изменится. Но получившаяся в результате такого соединения схема совпадает с той, о которой говорится в условии задачи, так как в этой схеме каждая клемма соединена со всеми остальными проводниками сопротивлением $R$.
Итак, искомое сопротивление между любыми двумя клеммами равно $2R/n$. Обратим внимание, насколько простым оказывается решение этой задачи при использовании соображений симметрии. Конечно, угадать вид ответа нетрудно, если рассмотреть последовательно простые легко рассчитываемые частные случаи для $n$, равных 2, 3 и 4. Но доказать, что угаданная формула, $R_{AB} = 2R/n$, справедлива при любом числе клемм $n$, не так-то легко. В то же самое время, уловив совсем не очевидную на первый взгляд симметрию этой схемы, мы видим, что расчет общего случая оказывается не сложнее, чем при трех соединенных клеммах.
Имеются $n$ клемм, каждая из которых соединена со всеми остальными клеммами одинаковыми проводниками сопротивлением $R$. Найти сопротивление между любыми двумя клеммами.
Решение:
Прежде всего из симметрии схемы ясно, что сопротивление одинаково между любой парой клемм.
рис.1
Рассмотрим вспомогательную схему (рис. 1). Две клеммы А и В соединены друг с другом проводником сопротивлением $R$, а остальные $n - 2$ клеммы соединены с клеммами A и В такими же проводниками сопротивлением $R$, но не соединены друг с другом.
В этой схеме между клеммами А и В параллельно включены сопротивление $R$ и $n - 2$ сопротивлений по $2R$. Поэтому полное сопротивление $R_{AB}$ между клеммами А и В вычисляется по формуле
$\frac{1}{R_{AB} } = \frac{1}{R} + \frac{n-2}{2R}$, откуда $R_{AB} = \frac{2R}{n}$.
Из симметрии схемы, изображенной на рисунке, видно, что если между клеммами A и В создать некоторую разность потенциалов, то потенциалы остальных $n - 2$ клемм будут равны между собой.
Соединим теперь проводниками сопротивлением $R$ каждую из $n - 2$ клемм со всеми остальными. В этих проводниках тока не будет, и, следовательно, сопротивление $R_{AB}$ между клеммами А и В при этом не изменится. Но получившаяся в результате такого соединения схема совпадает с той, о которой говорится в условии задачи, так как в этой схеме каждая клемма соединена со всеми остальными проводниками сопротивлением $R$.
Итак, искомое сопротивление между любыми двумя клеммами равно $2R/n$. Обратим внимание, насколько простым оказывается решение этой задачи при использовании соображений симметрии. Конечно, угадать вид ответа нетрудно, если рассмотреть последовательно простые легко рассчитываемые частные случаи для $n$, равных 2, 3 и 4. Но доказать, что угаданная формула, $R_{AB} = 2R/n$, справедлива при любом числе клемм $n$, не так-то легко. В то же самое время, уловив совсем не очевидную на первый взгляд симметрию этой схемы, мы видим, что расчет общего случая оказывается не сложнее, чем при трех соединенных клеммах.
