Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4207
2017-10-13 
Пластина из диэлектрика с проницаемостью е занимает все пространство между обкладками плоского конденсатора, расстояние между которыми равно $d$ (рис. 1). Конденсатор соединен с источником постоянного напряжения $U$. Диэлектрическую пластину вытягивают из конденсатора. Как нужно изменить расстояние между обкладками, чтобы энергия конденсатора приняла первоначальное значение? Рассмотреть два случая: 1) перед вытягиванием пластины конденсатор отсоединяют от источника напряжения; 2) ключ К остается все время замкнутым.
Решение:
Рассмотрим вначале первый случай, когда перед тем, как вынуть пластину, конденсатор отсоединяют от источника. Это значит, что в дальнейшем заряды на пластинах конденсатора остаются неизменными. Поэтому для энергии конденсатора $W$ в этом случае удобно воспользоваться выражением
$W = \frac{q^{2} }{2C}$. (1)
После вытягивания диэлектрической пластины емкость конденсатора, очевидно, уменьшается в е раз. Из формулы (1) видно, что энергия конденсатора при этом возрастает в $\epsilon$ раз: $W^{ \prime} = \epsilon W$. Чем объясняется увеличение электростатической энергии конденсатора? Так как источник напряжения отключен, то единственной причиной увеличения энергии может быть работа, совершаемая внешними силами при вытягивании диэлектрической пластины. Отсюда немедленно вытекает, что на диэлектрическую пластину, вытягиваемую из конденсатора, со стороны электрического поля действует сила, которая стремится втянуть пластину обратно. Именно с преодолением этой втягивающей силы и связано совершение работы, приводящее к увеличению энергии конденсатора.
Чтобы энергия конденсатора приобрела прежнее значение при неизменном заряде на его пластинах, нужно, как видно из формулы (1), чтобы емкость конденсатора приняла первоначальное значение в отсутствие диэлектрической пластины. Этого можно добиться, уменьшая расстояние между обкладками. Поскольку емкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его обкладками, то новое расстояние $d_{1}$ должно быть в $\epsilon$ раз меньше старого: $d_{1} = d / \epsilon$.
То, что для уменьшения энергии конденсатора пластины должны сблизиться, можно увидеть и из закона сохранения энергии. Для уменьшения своей энергии система должна совершить положительную работу над внешними телами, т. е. притягивающиеся друг к другу разноименно заряженные обкладки конденсатора должны сблизиться. При этом над внешними телами совершается работа, так как для равномерного перемещения обкладок силы их взаимного притяжения должны быть уравновешены внешними силами.
Перейдем ко второму случаю. При замкнутом ключе К все время остается неизменным напряжение на конденсаторе. Теперь для энергии конденсатора более удобным является выражение
$W = \frac{CU^{2}}{2}$. (2)
Так как при вытягивании диэлектрической пластины емкость конденсатора уменьшается в е раз, то во столько же раз уменьшается энергия конденсатора. Как можно объяснить уменьшение энергии конденсатора? Ведь при вытягивании диэлектрической пластины внешние силы совершают положительную работу, и энергия системы при этом должна возрастать. Она и действительно возрастает, но только система в этом случае кроме конденсатора содержит еще и источник напряжения. Что происходит в источнике при вытягивании пластины? Заряд конденсатора при уменьшении его емкости также уменьшается. Поэтому в процессе вытягивания пластины источник совершает отрицательную работу, ибо уменьшение заряда конденсатора сопровождается прохождением заряда через источник в обратном направлении. Если источник питания представляет собой аккумулятор, то он при этом заряжается.
Используя закон сохранения энергии, можно найти, какую работу совершают внешние силы при вытягивании пластины. Прежде всего покажем, что в цепи, где конденсатор присоединен к источнику питания, работа источника равна удвоенному изменению энергии конденсатора при любых происходящих процессах. Если заряд конденсатора изменился на $\Delta q$, то, как следует из формулы для энергии конденсатора $W$, записанной в виде
$W = \frac{qU}{2}$, (3)
изменение энергии конденсатора
$\Delta W = \frac{ \Delta q U}{2}$. (4)
Источник питания при прохождении через него заряда $\Delta q$ совершает работу $A_{ист} = \Delta U$. Поэтому
$A_{ист} = 2 \Delta W$. (5)
Теперь можно составить уравнение баланса энергии для рассматриваемого в задаче процесса и найти работу внешних сил А:
$A + A_{ист} = \Delta W$. (6)
Используя соотношение (5), отсюда находим
$A = - \Delta W$, (7)
Поскольку энергия конденсатора уменьшается ($\Delta W < 0$), внешние силы совершают положительную работу ($A > 0$).
Ответ на поставленный в условии задачи вопрос виден уже из формулы (2): чтобы энергия конденсатора приняла прежнее значение, т. е. увеличилась в $\epsilon$ раз, необходимо увеличить емкость конденсатора тоже в $\epsilon$ раз. Для этого расстояние между пластинами, так же как в первом случае, нужно уменьшить в $\epsilon$ раз. Но, в отличие от первого случая, где при сближении обкладок энергия конденсатора убывала, здесь она возрастает. И это происходит несмотря на то, что при сближении обкладок конденсатора, как и в первом случае, совершается положительная работа над внешними телами. Выполнение закона сохранения энергии оказывается возможным благодаря тому, что источник напряжения совершает при сближении обкладок конденсатора положительную работу, которая обеспечивает и увеличение энергии конденсатора, и совершение работы над внешними телами.
То, что на вытягиваемую из конденсатора диэлектрическую пластину действует сила, стремящаяся втянуть ее обратно, мы увидели из энергетических соображений. Но как объяснить механизм возникновения этой силы? Диэлектрическая пластина в целом электронейтральна. В электрическом поле каждый элемент объема пластины становится подобным диполю, ориентированному вдоль поля. В тех местах, где электрическое поле однородно, действующие на такие диполи силы равны нулю. Сила отлична от нуля только там, где электрическое поле неоднородно. Поэтому, пока диэлектрическая пластина целиком находится внутри конденсатора, где электрическое поле однородно, действующая на нее сила равна нулю. Но как только часть пластины оказывается выдвинутой из конденсатора в область, где поле неоднородно, на диполи этой части пластины действуют силы, направленные туда, где напряженность поля больше, т. е. внутрь конденсатора. Таким образом, физическая причина появления втягивающей силы обусловлена неоднородностью электрического поля вблизи краев пластины конденсатора.
Пластина из диэлектрика с проницаемостью е занимает все пространство между обкладками плоского конденсатора, расстояние между которыми равно $d$ (рис. 1). Конденсатор соединен с источником постоянного напряжения $U$. Диэлектрическую пластину вытягивают из конденсатора. Как нужно изменить расстояние между обкладками, чтобы энергия конденсатора приняла первоначальное значение? Рассмотреть два случая: 1) перед вытягиванием пластины конденсатор отсоединяют от источника напряжения; 2) ключ К остается все время замкнутым.
Решение:
Рассмотрим вначале первый случай, когда перед тем, как вынуть пластину, конденсатор отсоединяют от источника. Это значит, что в дальнейшем заряды на пластинах конденсатора остаются неизменными. Поэтому для энергии конденсатора $W$ в этом случае удобно воспользоваться выражением
$W = \frac{q^{2} }{2C}$. (1)
После вытягивания диэлектрической пластины емкость конденсатора, очевидно, уменьшается в е раз. Из формулы (1) видно, что энергия конденсатора при этом возрастает в $\epsilon$ раз: $W^{ \prime} = \epsilon W$. Чем объясняется увеличение электростатической энергии конденсатора? Так как источник напряжения отключен, то единственной причиной увеличения энергии может быть работа, совершаемая внешними силами при вытягивании диэлектрической пластины. Отсюда немедленно вытекает, что на диэлектрическую пластину, вытягиваемую из конденсатора, со стороны электрического поля действует сила, которая стремится втянуть пластину обратно. Именно с преодолением этой втягивающей силы и связано совершение работы, приводящее к увеличению энергии конденсатора.
Чтобы энергия конденсатора приобрела прежнее значение при неизменном заряде на его пластинах, нужно, как видно из формулы (1), чтобы емкость конденсатора приняла первоначальное значение в отсутствие диэлектрической пластины. Этого можно добиться, уменьшая расстояние между обкладками. Поскольку емкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его обкладками, то новое расстояние $d_{1}$ должно быть в $\epsilon$ раз меньше старого: $d_{1} = d / \epsilon$.
То, что для уменьшения энергии конденсатора пластины должны сблизиться, можно увидеть и из закона сохранения энергии. Для уменьшения своей энергии система должна совершить положительную работу над внешними телами, т. е. притягивающиеся друг к другу разноименно заряженные обкладки конденсатора должны сблизиться. При этом над внешними телами совершается работа, так как для равномерного перемещения обкладок силы их взаимного притяжения должны быть уравновешены внешними силами.
Перейдем ко второму случаю. При замкнутом ключе К все время остается неизменным напряжение на конденсаторе. Теперь для энергии конденсатора более удобным является выражение
$W = \frac{CU^{2}}{2}$. (2)
Так как при вытягивании диэлектрической пластины емкость конденсатора уменьшается в е раз, то во столько же раз уменьшается энергия конденсатора. Как можно объяснить уменьшение энергии конденсатора? Ведь при вытягивании диэлектрической пластины внешние силы совершают положительную работу, и энергия системы при этом должна возрастать. Она и действительно возрастает, но только система в этом случае кроме конденсатора содержит еще и источник напряжения. Что происходит в источнике при вытягивании пластины? Заряд конденсатора при уменьшении его емкости также уменьшается. Поэтому в процессе вытягивания пластины источник совершает отрицательную работу, ибо уменьшение заряда конденсатора сопровождается прохождением заряда через источник в обратном направлении. Если источник питания представляет собой аккумулятор, то он при этом заряжается.
Используя закон сохранения энергии, можно найти, какую работу совершают внешние силы при вытягивании пластины. Прежде всего покажем, что в цепи, где конденсатор присоединен к источнику питания, работа источника равна удвоенному изменению энергии конденсатора при любых происходящих процессах. Если заряд конденсатора изменился на $\Delta q$, то, как следует из формулы для энергии конденсатора $W$, записанной в виде
$W = \frac{qU}{2}$, (3)
изменение энергии конденсатора
$\Delta W = \frac{ \Delta q U}{2}$. (4)
Источник питания при прохождении через него заряда $\Delta q$ совершает работу $A_{ист} = \Delta U$. Поэтому
$A_{ист} = 2 \Delta W$. (5)
Теперь можно составить уравнение баланса энергии для рассматриваемого в задаче процесса и найти работу внешних сил А:
$A + A_{ист} = \Delta W$. (6)
Используя соотношение (5), отсюда находим
$A = - \Delta W$, (7)
Поскольку энергия конденсатора уменьшается ($\Delta W < 0$), внешние силы совершают положительную работу ($A > 0$).
Ответ на поставленный в условии задачи вопрос виден уже из формулы (2): чтобы энергия конденсатора приняла прежнее значение, т. е. увеличилась в $\epsilon$ раз, необходимо увеличить емкость конденсатора тоже в $\epsilon$ раз. Для этого расстояние между пластинами, так же как в первом случае, нужно уменьшить в $\epsilon$ раз. Но, в отличие от первого случая, где при сближении обкладок энергия конденсатора убывала, здесь она возрастает. И это происходит несмотря на то, что при сближении обкладок конденсатора, как и в первом случае, совершается положительная работа над внешними телами. Выполнение закона сохранения энергии оказывается возможным благодаря тому, что источник напряжения совершает при сближении обкладок конденсатора положительную работу, которая обеспечивает и увеличение энергии конденсатора, и совершение работы над внешними телами.
То, что на вытягиваемую из конденсатора диэлектрическую пластину действует сила, стремящаяся втянуть ее обратно, мы увидели из энергетических соображений. Но как объяснить механизм возникновения этой силы? Диэлектрическая пластина в целом электронейтральна. В электрическом поле каждый элемент объема пластины становится подобным диполю, ориентированному вдоль поля. В тех местах, где электрическое поле однородно, действующие на такие диполи силы равны нулю. Сила отлична от нуля только там, где электрическое поле неоднородно. Поэтому, пока диэлектрическая пластина целиком находится внутри конденсатора, где электрическое поле однородно, действующая на нее сила равна нулю. Но как только часть пластины оказывается выдвинутой из конденсатора в область, где поле неоднородно, на диполи этой части пластины действуют силы, направленные туда, где напряженность поля больше, т. е. внутрь конденсатора. Таким образом, физическая причина появления втягивающей силы обусловлена неоднородностью электрического поля вблизи краев пластины конденсатора.
