Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4206
2017-10-13 
Любую совокупность конденсаторов, соединенных в батарею, можно заменить одним эквивалентным конденсатором. Если все конденсаторы соединены параллельно, то емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Если конденсаторы соединены последовательно, то емкость батареи $C_{0}$ находится по формуле
$\frac{1}{ C_{0}} = \sum_{i} \frac{1}{ C_{i}}$, (1)
где $C_{i}$ — емкости отдельных конденсаторов.
Рассмотрим схему соединения одинаковых конденсаторов емкости $C$ в батарею, показанную на рис. 1. Концы батареи конденсаторов присоединены к источнику постоянного напряжения $U$. Пусть вначале ключ К замкнут. В этом случае фактически имеется два последовательно соединенных конденсатора, так как средний конденсатор замкнут накоротко. Емкость такой батареи в соответствии с формулой (1) равна $C/2$. Разомкнем ключ К. Теперь получилась батарея из трех последовательно соединенных конденсаторов, емкость которой, если воспользоваться формулой (1), должна быть равна $C/3$.
С другой стороны, размыкание ключа в электростатическом случае (т. е. разрыв цепи при равновесии зарядов) не может привести ни к изменениям потенциалов точек цепи, ни к перераспределениям электрических зарядов. Поэтому заряд $q$ крайних конденсаторов (т. е. заряд батареи) останется неизменным. Не изменится и напряжение на батарее конденсаторов $U$. Но это означает, что не изменится и емкость батареи $C_{0} = C/2$, так как она связана с зарядом батареи $q$ и напряжением на ней $U$ соотношением $q = C_{0} U$. Объясните возникшее противоречие.
Решение:
Противоречие объясняется тем, что размыкание ключа K в приведенной схеме нельзя рассматривать как соединение конденсаторов в новую батарею. О емкости батареи конденсаторов как о величине, которая зависит только от того, какие взяты конденсаторы и как они соединены между собой, можно говорить в том случае, когда эти конденсаторы соединяются в батарею в незаряженном состоянии и только затем батарея присоединяется к источнику напряжения. При этом условии можно рассчитать емкость батареи, глядя только на электрическую схему. Если же при соединении в батарею какие-то из конденсаторов уже заряжены, то емкость батареи, вообще говоря, будет зависеть не только от вида окончательной электрической схемы, но и от истории ее создания, т. е. от той последовательности, в которой соединялись в батарею предварительно заряженные конденсаторы. В таких условиях использование понятия емкости применительно ко всей батарее конденсаторов вообще нецелесообразно.
рис.2
Поясним сказанное на примере схемы, приведенной в условии задачи (рис. 1). Если три конденсатора соединяются последовательно, а затем такая батарея подключается к источнику питания, то на обкладках всех конденсаторов возникают одинаковые по.модулю и противоположные по знаку заряды, так что каждая изолированная от источника часть схемы (например, обведенная штриховой линией на рис. 2) остается в целом электронейтральной. В этом случае, учитывая, что напряжение источника равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах, немедленно приходим к формуле (1) для емкости батареи.
рис.3
Если в этой схеме теперь соединить обкладки среднего конденсатора, т. е. замкнуть ключ K (рис. 3), то средний конденсатор разрядится, а потенциалы точек А и В станут одинаковыми. При этом сохранится электронейтральность обведенной штриховой линией части схемы, которая изолирована от источника напряжения. Это значит, что после замыкания ключа К распределение зарядов в получившейся батарее из двух последовательно соединенных конденсаторов будет таким же, как и при соединении двух незаряженных конденсаторов с последующим подсоединением к источнику. Поэтому формула (1) для емкости батареи двух конденсаторов и в этом случае применима.
Легко видеть, что не только рассмотренное здесь, но и вообще любое замыкание внутри заряженной батареи конденсаторов оставляет электронейтральными все внутренние части батареи, представляющие собой изолированный проводник. Поэтому в таких случаях формулы для емкости батареи остаются справедливыми. Разумеется, после замыкания батарея содержит уже меньшее число конденсаторов.
А вот разрыв такого внутреннего проводника на две части может привести к появлению внутри батареи конденсаторов изолированных частей с отличным от нуля полным зарядом. Это хорошо видно на приведенном в условии задачи примере. При размыкании ключа K (рис. 1) никаких зарядов на пластинах среднего конденсатора появиться не может, а заряды на пластинах крайних конденсаторов остаются прежними. Поэтому размыкание ключа К приводит к тому, что единый электронейтральный в целом проводник, содержавший внутренние пластины крайних конденсаторов, превращается в два заряженных проводника с равными по модулю и противоположными по знаку зарядами. К такой системе формула (1) для емкости батареи неприменима.
Рассмотрим теперь процессы, происходящие при замыкании ключа, с энергетической точки зрения. При замыкании ключа К в схеме, изображенной на рис. 3, кроме нейтрализации зарядов на обкладках среднего конденсатора происходит также увеличение заряда на обкладках крайних конденсаторов, т. е. увеличение заряда батареи. При этом, несмотря на то что электростатическая энергия среднего конденсатора превращается в другие виды, энергия всей батареи конденсаторов увеличивается за счет работы источника напряжения. И совершаемая источником работа будет вдвое больше, чем увеличение электростатической энергии батареи конденсаторов.
Энергетические соображения позволяют сделать вывод о том, что любое замыкание внутри батареи конденсаторов, подобное рассмотренному закорачиванию среднего конденсатора, приводит к увеличению емкости батареи. При доказательстве этого утверждения для простоты рассмотрим случай, когда заряженная батарея конденсаторов отсоединена от источников. При соединении проводником двух точек, имеющих разные потенциалы, произойдет перераспределение зарядов, которое всегда сопровождается превращением электростатической энергии в другие виды. Так как заряд батареи остается неизменным, то уменьшение энергии батареи, как видно из формулы $W = q^{2}/2C$, означает увеличение ее емкости. Например, при замыкании ключа К в схеме, показанной на рис. 4, емкость батареи, как легко проверить прямым расчетом, увеличивается, если потенциалы точек А н В в заряженной батарее конденсаторов были различны. Емкость батареи не изменяется лишь в том случае, если емкость конденсаторов удовлетворяет условию $C_{1} /C_{2} = C_{3} / C_{4}$.
рис.4
Любую совокупность конденсаторов, соединенных в батарею, можно заменить одним эквивалентным конденсатором. Если все конденсаторы соединены параллельно, то емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Если конденсаторы соединены последовательно, то емкость батареи $C_{0}$ находится по формуле
$\frac{1}{ C_{0}} = \sum_{i} \frac{1}{ C_{i}}$, (1)
где $C_{i}$ — емкости отдельных конденсаторов.
Рассмотрим схему соединения одинаковых конденсаторов емкости $C$ в батарею, показанную на рис. 1. Концы батареи конденсаторов присоединены к источнику постоянного напряжения $U$. Пусть вначале ключ К замкнут. В этом случае фактически имеется два последовательно соединенных конденсатора, так как средний конденсатор замкнут накоротко. Емкость такой батареи в соответствии с формулой (1) равна $C/2$. Разомкнем ключ К. Теперь получилась батарея из трех последовательно соединенных конденсаторов, емкость которой, если воспользоваться формулой (1), должна быть равна $C/3$.
С другой стороны, размыкание ключа в электростатическом случае (т. е. разрыв цепи при равновесии зарядов) не может привести ни к изменениям потенциалов точек цепи, ни к перераспределениям электрических зарядов. Поэтому заряд $q$ крайних конденсаторов (т. е. заряд батареи) останется неизменным. Не изменится и напряжение на батарее конденсаторов $U$. Но это означает, что не изменится и емкость батареи $C_{0} = C/2$, так как она связана с зарядом батареи $q$ и напряжением на ней $U$ соотношением $q = C_{0} U$. Объясните возникшее противоречие.
Решение:
Противоречие объясняется тем, что размыкание ключа K в приведенной схеме нельзя рассматривать как соединение конденсаторов в новую батарею. О емкости батареи конденсаторов как о величине, которая зависит только от того, какие взяты конденсаторы и как они соединены между собой, можно говорить в том случае, когда эти конденсаторы соединяются в батарею в незаряженном состоянии и только затем батарея присоединяется к источнику напряжения. При этом условии можно рассчитать емкость батареи, глядя только на электрическую схему. Если же при соединении в батарею какие-то из конденсаторов уже заряжены, то емкость батареи, вообще говоря, будет зависеть не только от вида окончательной электрической схемы, но и от истории ее создания, т. е. от той последовательности, в которой соединялись в батарею предварительно заряженные конденсаторы. В таких условиях использование понятия емкости применительно ко всей батарее конденсаторов вообще нецелесообразно.
рис.2
Поясним сказанное на примере схемы, приведенной в условии задачи (рис. 1). Если три конденсатора соединяются последовательно, а затем такая батарея подключается к источнику питания, то на обкладках всех конденсаторов возникают одинаковые по.модулю и противоположные по знаку заряды, так что каждая изолированная от источника часть схемы (например, обведенная штриховой линией на рис. 2) остается в целом электронейтральной. В этом случае, учитывая, что напряжение источника равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах, немедленно приходим к формуле (1) для емкости батареи.
рис.3
Если в этой схеме теперь соединить обкладки среднего конденсатора, т. е. замкнуть ключ K (рис. 3), то средний конденсатор разрядится, а потенциалы точек А и В станут одинаковыми. При этом сохранится электронейтральность обведенной штриховой линией части схемы, которая изолирована от источника напряжения. Это значит, что после замыкания ключа К распределение зарядов в получившейся батарее из двух последовательно соединенных конденсаторов будет таким же, как и при соединении двух незаряженных конденсаторов с последующим подсоединением к источнику. Поэтому формула (1) для емкости батареи двух конденсаторов и в этом случае применима.
Легко видеть, что не только рассмотренное здесь, но и вообще любое замыкание внутри заряженной батареи конденсаторов оставляет электронейтральными все внутренние части батареи, представляющие собой изолированный проводник. Поэтому в таких случаях формулы для емкости батареи остаются справедливыми. Разумеется, после замыкания батарея содержит уже меньшее число конденсаторов.
А вот разрыв такого внутреннего проводника на две части может привести к появлению внутри батареи конденсаторов изолированных частей с отличным от нуля полным зарядом. Это хорошо видно на приведенном в условии задачи примере. При размыкании ключа K (рис. 1) никаких зарядов на пластинах среднего конденсатора появиться не может, а заряды на пластинах крайних конденсаторов остаются прежними. Поэтому размыкание ключа К приводит к тому, что единый электронейтральный в целом проводник, содержавший внутренние пластины крайних конденсаторов, превращается в два заряженных проводника с равными по модулю и противоположными по знаку зарядами. К такой системе формула (1) для емкости батареи неприменима.
Рассмотрим теперь процессы, происходящие при замыкании ключа, с энергетической точки зрения. При замыкании ключа К в схеме, изображенной на рис. 3, кроме нейтрализации зарядов на обкладках среднего конденсатора происходит также увеличение заряда на обкладках крайних конденсаторов, т. е. увеличение заряда батареи. При этом, несмотря на то что электростатическая энергия среднего конденсатора превращается в другие виды, энергия всей батареи конденсаторов увеличивается за счет работы источника напряжения. И совершаемая источником работа будет вдвое больше, чем увеличение электростатической энергии батареи конденсаторов.
Энергетические соображения позволяют сделать вывод о том, что любое замыкание внутри батареи конденсаторов, подобное рассмотренному закорачиванию среднего конденсатора, приводит к увеличению емкости батареи. При доказательстве этого утверждения для простоты рассмотрим случай, когда заряженная батарея конденсаторов отсоединена от источников. При соединении проводником двух точек, имеющих разные потенциалы, произойдет перераспределение зарядов, которое всегда сопровождается превращением электростатической энергии в другие виды. Так как заряд батареи остается неизменным, то уменьшение энергии батареи, как видно из формулы $W = q^{2}/2C$, означает увеличение ее емкости. Например, при замыкании ключа К в схеме, показанной на рис. 4, емкость батареи, как легко проверить прямым расчетом, увеличивается, если потенциалы точек А н В в заряженной батарее конденсаторов были различны. Емкость батареи не изменяется лишь в том случае, если емкость конденсаторов удовлетворяет условию $C_{1} /C_{2} = C_{3} / C_{4}$.
рис.4
