Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4202
2017-10-13 
Заряженный металлический шар радиуса $R$ разрезан на две части плоскостью, проходящей на расстоянии $h$ от центра шара (рис. 1). С какой силой отталкиваются друг от друга эти части? Полный заряд шара равен $Q$.
Решение:
Будем для определенности считать, что шар заряжен положительно. Заряд металлического шара $Q$ при отсутствии поблизости других заряженных или незаряженных тел будет равномерно распределен по его поверхности. При этом поверхностная плотность заряда $\sigma$ одинакова во всех точках и равна
$\sigma = Q /( 4 \pi R^{2})$. (1)
рис.2
Из симметрии очевидно, что электростатическая сила $\Delta \vec{F}$, действующая на каждый малый элемент $\Delta S$ заряженной поверхности, направлена, по нормали к поверхности (рис. 2). Как найти эту силу? Для этого можно найти напряженность электрического поля, создаваемого в том месте, где находится выделенный элемент поверхности $\Delta S$, всей остальной частью заряженного шара.
Напряженность электрического поля вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещенного в центр шара. Поэтому непосредственно у поверхности шара модуль напряженности
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{R^{2}} = \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0}}$. (2)
Согласно принципу суперпозиции это поле можно рассматривать как векторную сумму полей, создаваемых выделенным элементом поверхности шара $\Delta S$ и всей остальной частью шара. Так как нас интересует напряженность поля непосредственно у поверхности шара, то выделенный элемент $\Delta S$ можно считать плоским и при вычислении создаваемого им поля воспользоваться выражением для напряженности поля равномерно заряженной плоскости. Как известно, это поле существует по обе стороны от плоскости (рис. 3), и модуль его напряженности
рис.3
$E_{1} = \sigma / 2 \epsilon_{0}$. (3)
Внутри шара вплоть до самой его поверхности результирующая напряженность поля равна нулю. Значит, внутри шара вблизи элемента $\Delta S$ поле этого элемента, направленное внутрь шара, компенсируется полем, создаваемым всей остальной частью шара. Таким образом, в месте расположения выделенного элемента $\Delta S$ вся остальная часть заряженного шара создает электрическое поле $\vec{E}_{2}$, направленное наружу, причем модуль напряженности $E_{2}$ также определяется соотношением (3). Снаружи это поле $\vec{E}_{2}$ имеет одинаковое направление с полем, создаваемым элементом $\Delta S$, и, складываясь с ним, дает полное поле, напряженность которого вдвое больше и определяется выражением (2).
Сила, действующая на элемент $\Delta S$, равна произведению заряда этого элемента $\sigma \Delta S$ на напряженность поля $E_{2} = \sigma / 2 \epsilon$:
$\Delta F = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} \Delta S$. (4)
Сила, действующая на единицу площади поверхности по нормали к ней, представляет собой давление $p$, для которого в соответствии с формулой (4) имеем
$p = \Delta F / \Delta S = \sigma^{2} /2 \epsilon_{0}$. (5)
рис.4
Для нахождения равнодействующей $F$ сил электростатического давления, действующих, например, на верхнюю часть шара, можно представить себе жесткую полую оболочку, имеющую точно такую же форму (рис. 4). Если внутри такой оболочки находится газ под давлением $p$, то сила давления этого газа на «крышку» оболочки совпадает с интересующей нас силой $F$. Но совершенно очевидно, что точно такая же по модулю сила действует на «дно» этой жесткой оболочки. Поэтому $F = pS$, где $S = \pi ( R^{2} - h^{2} )$ — площадь «дна». Таким образом,
$F = pS = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} \pi R^{2} \left ( 1 - \frac{h^{2}}{R^{2}} \right )$. (6)
Подставляя сюда значение поверхностной плотности заряда $\sigma$ из (1), получаем
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{8 R^{2}} \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right ) $. (7)
Сила отталкивания частей шара будет наибольшей, когда шар разрезан по диаметру ($h=0$). Обратим внимание на то, что в ответ входит квадрат полного заряда шара $Q$. Это означает, что взаимодействие частей разрезанного шара всегда носит характер отталкивания, независимо от того, заряжен шар положительно или отрицательно, как это очевидно и из качественных физических соображений.
Давление $p$ можно найти и иначе, используя закон сохранения энергии. Предположим, что радиус шара увеличился на малую величину $\Delta r$. При этом электростатические силы совершат работу, равную $p \Delta V$, где $\Delta V$ — увеличение объема шара. Эта работа совершается за счет электростатической энергии. Электростатическую энергию заряженного шара можно рассматривать как энергию создаваемого им поля. При увеличении радиуса шара электростатическая энергия убывает, так как уменьшается объем, занимаемый полем. Это уменьшение энергии равно произведению объемной плотности электростатической энергии $W = \epsilon_{0} E^{2} /2$ на увеличение объема шара $\Delta V$. Приравнивая работу электростатических сил уменьшению энергии
$p \Delta V = \frac{ \epsilon_{0} E^{2} \Delta V}{2}$ (8)
и подставляя сюда $E = \sigma / \epsilon_{0}$ из формулы (2), находим $p = \sigma^{2}/2 \epsilon_{0}$, что совпадает с полученным ранее выражением
Заряженный металлический шар радиуса $R$ разрезан на две части плоскостью, проходящей на расстоянии $h$ от центра шара (рис. 1). С какой силой отталкиваются друг от друга эти части? Полный заряд шара равен $Q$.
Решение:
Будем для определенности считать, что шар заряжен положительно. Заряд металлического шара $Q$ при отсутствии поблизости других заряженных или незаряженных тел будет равномерно распределен по его поверхности. При этом поверхностная плотность заряда $\sigma$ одинакова во всех точках и равна
$\sigma = Q /( 4 \pi R^{2})$. (1)
рис.2
Из симметрии очевидно, что электростатическая сила $\Delta \vec{F}$, действующая на каждый малый элемент $\Delta S$ заряженной поверхности, направлена, по нормали к поверхности (рис. 2). Как найти эту силу? Для этого можно найти напряженность электрического поля, создаваемого в том месте, где находится выделенный элемент поверхности $\Delta S$, всей остальной частью заряженного шара.
Напряженность электрического поля вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещенного в центр шара. Поэтому непосредственно у поверхности шара модуль напряженности
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{R^{2}} = \frac{ \sigma}{ \epsilon_{0}}$. (2)
Согласно принципу суперпозиции это поле можно рассматривать как векторную сумму полей, создаваемых выделенным элементом поверхности шара $\Delta S$ и всей остальной частью шара. Так как нас интересует напряженность поля непосредственно у поверхности шара, то выделенный элемент $\Delta S$ можно считать плоским и при вычислении создаваемого им поля воспользоваться выражением для напряженности поля равномерно заряженной плоскости. Как известно, это поле существует по обе стороны от плоскости (рис. 3), и модуль его напряженности
рис.3
$E_{1} = \sigma / 2 \epsilon_{0}$. (3)
Внутри шара вплоть до самой его поверхности результирующая напряженность поля равна нулю. Значит, внутри шара вблизи элемента $\Delta S$ поле этого элемента, направленное внутрь шара, компенсируется полем, создаваемым всей остальной частью шара. Таким образом, в месте расположения выделенного элемента $\Delta S$ вся остальная часть заряженного шара создает электрическое поле $\vec{E}_{2}$, направленное наружу, причем модуль напряженности $E_{2}$ также определяется соотношением (3). Снаружи это поле $\vec{E}_{2}$ имеет одинаковое направление с полем, создаваемым элементом $\Delta S$, и, складываясь с ним, дает полное поле, напряженность которого вдвое больше и определяется выражением (2).
Сила, действующая на элемент $\Delta S$, равна произведению заряда этого элемента $\sigma \Delta S$ на напряженность поля $E_{2} = \sigma / 2 \epsilon$:
$\Delta F = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} \Delta S$. (4)
Сила, действующая на единицу площади поверхности по нормали к ней, представляет собой давление $p$, для которого в соответствии с формулой (4) имеем
$p = \Delta F / \Delta S = \sigma^{2} /2 \epsilon_{0}$. (5)
рис.4
Для нахождения равнодействующей $F$ сил электростатического давления, действующих, например, на верхнюю часть шара, можно представить себе жесткую полую оболочку, имеющую точно такую же форму (рис. 4). Если внутри такой оболочки находится газ под давлением $p$, то сила давления этого газа на «крышку» оболочки совпадает с интересующей нас силой $F$. Но совершенно очевидно, что точно такая же по модулю сила действует на «дно» этой жесткой оболочки. Поэтому $F = pS$, где $S = \pi ( R^{2} - h^{2} )$ — площадь «дна». Таким образом,
$F = pS = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} \pi R^{2} \left ( 1 - \frac{h^{2}}{R^{2}} \right )$. (6)
Подставляя сюда значение поверхностной плотности заряда $\sigma$ из (1), получаем
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q^{2}}{8 R^{2}} \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right ) $. (7)
Сила отталкивания частей шара будет наибольшей, когда шар разрезан по диаметру ($h=0$). Обратим внимание на то, что в ответ входит квадрат полного заряда шара $Q$. Это означает, что взаимодействие частей разрезанного шара всегда носит характер отталкивания, независимо от того, заряжен шар положительно или отрицательно, как это очевидно и из качественных физических соображений.
Давление $p$ можно найти и иначе, используя закон сохранения энергии. Предположим, что радиус шара увеличился на малую величину $\Delta r$. При этом электростатические силы совершат работу, равную $p \Delta V$, где $\Delta V$ — увеличение объема шара. Эта работа совершается за счет электростатической энергии. Электростатическую энергию заряженного шара можно рассматривать как энергию создаваемого им поля. При увеличении радиуса шара электростатическая энергия убывает, так как уменьшается объем, занимаемый полем. Это уменьшение энергии равно произведению объемной плотности электростатической энергии $W = \epsilon_{0} E^{2} /2$ на увеличение объема шара $\Delta V$. Приравнивая работу электростатических сил уменьшению энергии
$p \Delta V = \frac{ \epsilon_{0} E^{2} \Delta V}{2}$ (8)
и подставляя сюда $E = \sigma / \epsilon_{0}$ из формулы (2), находим $p = \sigma^{2}/2 \epsilon_{0}$, что совпадает с полученным ранее выражением
