Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4201
2017-10-13 
Поверхность полусферической чаши радиуса $R$ с тонкими стенками заряжена с постоянной плотностью. Определить потенциал в каждой точке поверхности, которая стянула бы чашу, как «кожа на барабане».
Решение:
На первый взгляд задача кажется довольно сложной. Если выбрать на интересующей нас поверхности произвольную точку, то расстояние от нее до разных точек заряженной полусферы будет неодинаковым: впечатление такое, что не обойтись без помощи высшей математики. Но не будем торопиться! Оказывается, задачу можно решить очень просто, используя принцип суперпозиции электрических полей и соображения симметрии.
рис.1
Рассмотрим сначала равномерно заряженную по поверхности сферу. Как мы знаем, электрическое поле внутри нее отсутствует. С другой стороны, поле внутри сферы можно рассматривать как суперпозицию полей двух полусфер. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое зарядами верхней и нижней полусфер в плоскости их соприкосновения. Выберем произвольную точку А на этой плоскости (рис. 1) и проведем через нее вертикальную плоскость, перпендикулярную диаметру сферы ВС, на котором лежит точка А. Равная нулю напряженность электрического поля сферы в этой точке является векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными элементами верхней и нижней полусфер. Как легко убедиться, равна нулю векторная сумма напряженностей $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ создаваемых участками $S_{1}$ и $S_{2}$. Участок $S_{2}^{ \prime} $ нижней полусферы, симметричный участку $S_{2}$ относительно плоскости соприкосновения полусфер, создает в точке А напряженность поля $\vec{E}_{2}^{ \prime}$ такую, что векторная сумма $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}^{ \prime}$ перпендикулярна плоскости соприкосновения полусфер. Поскольку для каждого элемента $S_{1}$ слева от вертикальной плоскости всегда найдется соответствующий элемент $S_{2}^{ \prime}$ справа от этой плоскости, ясно, что полная напряженность поля, создаваемая в точке А всей нижней полусферой (т. е. полукруглой чашей), перпендикулярна плоскости соприкосновения (т. е. воображаемой поверхности, которая стягивает чашу, как «кожа па барабане»).
Точка А была выбрана совершенно произвольно, поэтому сказанное справедливо для всех точек интересующей нас поверхности. Если напряженность поля перпендикулярна поверхности в любой ее точке, то поверхность эквипотенциальная. Проще всего вычислить потенциал этой поверхности в точке, лежащей на оси симметрии чаши. Эта точка равно отстоит от поверхности чаши и по принципу суперпозиции ее потенциал
$\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{R} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2 \pi R^{2} \sigma}{ R} = \frac{ \sigma R}{2 \epsilon_{0}}$.
Еще проще можно решить эту задачу, рассматривая не напряженность поля, а потенциал в произвольной точке на интересующей нас поверхности. Опять рассмотрим вспомогательную задачу: найдем потенциал $\phi_{0}$ поля, создаваемого равномерно заряженной сферой. Он одинаков во всех точках внутри сферы и равен $\sigma R / \epsilon_{0}$.
С другой стороны, по принципу суперпозиции он равен сумме потенциалов, создаваемых двумя полусферами. Из симметрии ясно, что в любой точке интересующей нас поверхности потенциалы электрического поля, создаваемого верхней и нижней полусферами, равны. Поэтому потенциал поля, создаваемого одной заряженной полусферой во всех точках этой поверхности, одинаков и равен $\phi = \phi_{0} /2 = \sigma R /2 \epsilon_{0}$.
Поверхность полусферической чаши радиуса $R$ с тонкими стенками заряжена с постоянной плотностью. Определить потенциал в каждой точке поверхности, которая стянула бы чашу, как «кожа на барабане».
Решение:
На первый взгляд задача кажется довольно сложной. Если выбрать на интересующей нас поверхности произвольную точку, то расстояние от нее до разных точек заряженной полусферы будет неодинаковым: впечатление такое, что не обойтись без помощи высшей математики. Но не будем торопиться! Оказывается, задачу можно решить очень просто, используя принцип суперпозиции электрических полей и соображения симметрии.
рис.1
Рассмотрим сначала равномерно заряженную по поверхности сферу. Как мы знаем, электрическое поле внутри нее отсутствует. С другой стороны, поле внутри сферы можно рассматривать как суперпозицию полей двух полусфер. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое зарядами верхней и нижней полусфер в плоскости их соприкосновения. Выберем произвольную точку А на этой плоскости (рис. 1) и проведем через нее вертикальную плоскость, перпендикулярную диаметру сферы ВС, на котором лежит точка А. Равная нулю напряженность электрического поля сферы в этой точке является векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными элементами верхней и нижней полусфер. Как легко убедиться, равна нулю векторная сумма напряженностей $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}$ создаваемых участками $S_{1}$ и $S_{2}$. Участок $S_{2}^{ \prime} $ нижней полусферы, симметричный участку $S_{2}$ относительно плоскости соприкосновения полусфер, создает в точке А напряженность поля $\vec{E}_{2}^{ \prime}$ такую, что векторная сумма $\vec{E}_{1}$ и $\vec{E}_{2}^{ \prime}$ перпендикулярна плоскости соприкосновения полусфер. Поскольку для каждого элемента $S_{1}$ слева от вертикальной плоскости всегда найдется соответствующий элемент $S_{2}^{ \prime}$ справа от этой плоскости, ясно, что полная напряженность поля, создаваемая в точке А всей нижней полусферой (т. е. полукруглой чашей), перпендикулярна плоскости соприкосновения (т. е. воображаемой поверхности, которая стягивает чашу, как «кожа па барабане»).
Точка А была выбрана совершенно произвольно, поэтому сказанное справедливо для всех точек интересующей нас поверхности. Если напряженность поля перпендикулярна поверхности в любой ее точке, то поверхность эквипотенциальная. Проще всего вычислить потенциал этой поверхности в точке, лежащей на оси симметрии чаши. Эта точка равно отстоит от поверхности чаши и по принципу суперпозиции ее потенциал
$\phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{R} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{2 \pi R^{2} \sigma}{ R} = \frac{ \sigma R}{2 \epsilon_{0}}$.
Еще проще можно решить эту задачу, рассматривая не напряженность поля, а потенциал в произвольной точке на интересующей нас поверхности. Опять рассмотрим вспомогательную задачу: найдем потенциал $\phi_{0}$ поля, создаваемого равномерно заряженной сферой. Он одинаков во всех точках внутри сферы и равен $\sigma R / \epsilon_{0}$.
С другой стороны, по принципу суперпозиции он равен сумме потенциалов, создаваемых двумя полусферами. Из симметрии ясно, что в любой точке интересующей нас поверхности потенциалы электрического поля, создаваемого верхней и нижней полусферами, равны. Поэтому потенциал поля, создаваемого одной заряженной полусферой во всех точках этой поверхности, одинаков и равен $\phi = \phi_{0} /2 = \sigma R /2 \epsilon_{0}$.
