Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4200
2017-10-13 
Точечный заряд $q$ находится между двумя заземленными проводящими концентрическими сферами с радиусами $a$ и $b$ на расстоянии $r$ от центра ($a < r < b$) (рис.). Найти индуцированные на сферах заряды.
Решение:
Cовершенно ясно, что электрическое поле есть только в пространстве между сферами, и поэтому полный заряд системы равен нулю:
$q + q_{a} + q_{b} = 0$. (1)
Второе уравнение для нахождения неизвестных зарядов $q_{a}$ и $q_{b}$ можно получить, записывая выражения для потенциала в центре сфер. Конечно, потенциал во всех точках внутри малой сферы одинаков и равен потенциалу Земли, но мы выбираем для составления уравнения именно центр сферы, поскольку все индуцированные на каждой сфере заряды находятся от этой точки на одинаковых расстояниях $a$ и $b$. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал в центре сфер равен сумме потенциалов полей, создаваемых зарядом $q$ и индуцированными на сферах зарядами. Рассмотрим, например, поле, создаваемое зарядами малой сферы. Разбивая индуцированный на ней заряд $q_{a}$ на малые части $\Delta q_{i}$ которые можно считать точечными зарядами, получаем для потенциала в центре сферы выражение
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i} \frac{ \Delta q_{i}}{a} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} a} \sum{i} \Delta q_{i} = \frac{q_{a}}{4 \pi \epsilon_{0}a}$. (2)
Замечательно, что такое простое выражение для потенциала получается несмотря на то, что создающие электрическое поле заряды распределены на сфере неравномерно. Более того, для нахождения потенциала в центре сферы и не нужно знать, как именно распределены индуцированные заряды.
Аналогичное выражение можно получить для потенциала, создаваемого в центре сфер зарядом $q_{b}$, индуцированным на внешней сфере. Теперь легко написать выражение для полного потенциала в центре сфер, создаваемого всеми зарядами. Приравнивая его пулю, получаем
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{q}{r} + \frac{q_{a}}{a} + \frac{q_{b}}{b} \right ) = 0$. (3)
Решая систему уравнении (1) н (3), находим
$q_{a} = - q \frac{a}{r} \frac{b - r}{b - a}, q_{b} = - q \frac{b}{r} \frac{r-a}{b-a}$. (4)
Как и следовало ожидать, знаки индуцированных зарядов противоположны знаку заряда $q$. Если в этих формулах положить радиус внутренней сферы а равным нулю, то мы приходим к предыдущей задаче о точечном заряде внутри проводящей сферы. При этом, как видно из (4), $q_{a} = 0, q_{b} = - q$.
Если устремить к бесконечности радиус внешней сферы $b$, то мы приходим к задаче о точечном заряде вблизи проводящей сферы радиуса $a$. Первая из формул (4) в этом случае дает индуцированный на сфере заряд:
$q_{a} = - q \frac{a}{r}$. (5)
При неограниченном приближении заряда $q$ к внешней поверхности сферы, т. е. при $r \rightarrow a$, индуцированный заряд все меньше и меньше отличается по модулю от подносимого к сфере заряда $q$.
Как вы думаете, какой смысл имеет в рассматриваемом предельном случае $b \rightarrow \infty$ заряд $q_{b}$ в формуле (4)?
рис.2
Используя решение этой задачи, можно найти индуцированные заряды в том случае, когда точечный заряд $q$ находится между двумя параллельными бесконечными проводящими плоскостями (рис. 2). Для этого нужно устремить к бесконечности радиусы обеих сфер, сохраняя неизменными расстояние между ними и положение заряда $q$ относительно поверхностей сфер: $a \rightarrow \infty, b \rightarrow \infty, b - a = const = d_{1} + d_{2}$. Выполняя аккуратно предельный переход, находим
$q_{1} = - q \frac{d_{2}}{d_{1} + d_{2}}, q_{2} = - q \frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}$. (6)
При симметричном расположении заряда $q$ между плоскостями $q_{1} = q_{2} = q/2$.
Разумеется, можно поискать другой, независимый путь решения. В самом деле, плоскость «проще», чем сфера. Задача с плоскостями является предельным, более простым случаем задачи- со сферами. Поэтому естественно придумать для нее более простое независимое решение, которое можно было бы использовать для проверки решения задачи со сферами.
Будем рассуждать следующим образом. Что произойдет, если заряд q переместить в другую точку плоскости А (рис. 2)? Очевидно, что изменится только распределение индуцированных на плоскостях зарядов, сами же заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ останутся прежними: индуцированные заряды просто перемещаются вместе с зарядом $q$. Если поместить на этой плоскости несколько точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции каждый заряд индуцирует на плоскостях такие заряды, как если бы он был один. Поэтому если нас интересует не распределение индуцированных зарядов, а только их величина, то заряд $q$ можно равномерно «размазать» по всей плоскости А. От этого индуцированные заряды не изменятся, а задача становится совсем простой, ибо поле теперь однородно. Напряженность поля слева от этой плоскости $E_{1} = q_{1} / \epsilon_{0} S $ ($S$ — площадь пластин), справа от нее $E_{2} = q_{2} / \epsilon_{0} S$, так как индуцированные на внутренних поверхностях пластин заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ в этом случае распределены равномерно. Поскольку разность потенциалов между плоскостью А и каждой из пластин одна и та же, то $E_{1}d_{1} = E_{2}d_{2} $, откуда немедленно следует, что
$q_{1}d_{1} = q_{2}d_{2} $. (7)
Снаружи пластин поля нет, индуцированные заряды находятся только на внутренних поверхностях пластин, .и на основании теоремы Гаусса можно утверждать, что
$q_{1} + q_{2} + q = 0$. (8)
Решая совместно уравнения (7) и (8), получаем ответ — формулы (6).
Точечный заряд $q$ находится между двумя заземленными проводящими концентрическими сферами с радиусами $a$ и $b$ на расстоянии $r$ от центра ($a < r < b$) (рис.). Найти индуцированные на сферах заряды.
Решение:
Cовершенно ясно, что электрическое поле есть только в пространстве между сферами, и поэтому полный заряд системы равен нулю:
$q + q_{a} + q_{b} = 0$. (1)
Второе уравнение для нахождения неизвестных зарядов $q_{a}$ и $q_{b}$ можно получить, записывая выражения для потенциала в центре сфер. Конечно, потенциал во всех точках внутри малой сферы одинаков и равен потенциалу Земли, но мы выбираем для составления уравнения именно центр сферы, поскольку все индуцированные на каждой сфере заряды находятся от этой точки на одинаковых расстояниях $a$ и $b$. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал в центре сфер равен сумме потенциалов полей, создаваемых зарядом $q$ и индуцированными на сферах зарядами. Рассмотрим, например, поле, создаваемое зарядами малой сферы. Разбивая индуцированный на ней заряд $q_{a}$ на малые части $\Delta q_{i}$ которые можно считать точечными зарядами, получаем для потенциала в центре сферы выражение
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i} \frac{ \Delta q_{i}}{a} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} a} \sum{i} \Delta q_{i} = \frac{q_{a}}{4 \pi \epsilon_{0}a}$. (2)
Замечательно, что такое простое выражение для потенциала получается несмотря на то, что создающие электрическое поле заряды распределены на сфере неравномерно. Более того, для нахождения потенциала в центре сферы и не нужно знать, как именно распределены индуцированные заряды.
Аналогичное выражение можно получить для потенциала, создаваемого в центре сфер зарядом $q_{b}$, индуцированным на внешней сфере. Теперь легко написать выражение для полного потенциала в центре сфер, создаваемого всеми зарядами. Приравнивая его пулю, получаем
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{q}{r} + \frac{q_{a}}{a} + \frac{q_{b}}{b} \right ) = 0$. (3)
Решая систему уравнении (1) н (3), находим
$q_{a} = - q \frac{a}{r} \frac{b - r}{b - a}, q_{b} = - q \frac{b}{r} \frac{r-a}{b-a}$. (4)
Как и следовало ожидать, знаки индуцированных зарядов противоположны знаку заряда $q$. Если в этих формулах положить радиус внутренней сферы а равным нулю, то мы приходим к предыдущей задаче о точечном заряде внутри проводящей сферы. При этом, как видно из (4), $q_{a} = 0, q_{b} = - q$.
Если устремить к бесконечности радиус внешней сферы $b$, то мы приходим к задаче о точечном заряде вблизи проводящей сферы радиуса $a$. Первая из формул (4) в этом случае дает индуцированный на сфере заряд:
$q_{a} = - q \frac{a}{r}$. (5)
При неограниченном приближении заряда $q$ к внешней поверхности сферы, т. е. при $r \rightarrow a$, индуцированный заряд все меньше и меньше отличается по модулю от подносимого к сфере заряда $q$.
Как вы думаете, какой смысл имеет в рассматриваемом предельном случае $b \rightarrow \infty$ заряд $q_{b}$ в формуле (4)?
рис.2
Используя решение этой задачи, можно найти индуцированные заряды в том случае, когда точечный заряд $q$ находится между двумя параллельными бесконечными проводящими плоскостями (рис. 2). Для этого нужно устремить к бесконечности радиусы обеих сфер, сохраняя неизменными расстояние между ними и положение заряда $q$ относительно поверхностей сфер: $a \rightarrow \infty, b \rightarrow \infty, b - a = const = d_{1} + d_{2}$. Выполняя аккуратно предельный переход, находим
$q_{1} = - q \frac{d_{2}}{d_{1} + d_{2}}, q_{2} = - q \frac{d_{1}}{d_{1} + d_{2}}$. (6)
При симметричном расположении заряда $q$ между плоскостями $q_{1} = q_{2} = q/2$.
Разумеется, можно поискать другой, независимый путь решения. В самом деле, плоскость «проще», чем сфера. Задача с плоскостями является предельным, более простым случаем задачи- со сферами. Поэтому естественно придумать для нее более простое независимое решение, которое можно было бы использовать для проверки решения задачи со сферами.
Будем рассуждать следующим образом. Что произойдет, если заряд q переместить в другую точку плоскости А (рис. 2)? Очевидно, что изменится только распределение индуцированных на плоскостях зарядов, сами же заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ останутся прежними: индуцированные заряды просто перемещаются вместе с зарядом $q$. Если поместить на этой плоскости несколько точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции каждый заряд индуцирует на плоскостях такие заряды, как если бы он был один. Поэтому если нас интересует не распределение индуцированных зарядов, а только их величина, то заряд $q$ можно равномерно «размазать» по всей плоскости А. От этого индуцированные заряды не изменятся, а задача становится совсем простой, ибо поле теперь однородно. Напряженность поля слева от этой плоскости $E_{1} = q_{1} / \epsilon_{0} S $ ($S$ — площадь пластин), справа от нее $E_{2} = q_{2} / \epsilon_{0} S$, так как индуцированные на внутренних поверхностях пластин заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ в этом случае распределены равномерно. Поскольку разность потенциалов между плоскостью А и каждой из пластин одна и та же, то $E_{1}d_{1} = E_{2}d_{2} $, откуда немедленно следует, что
$q_{1}d_{1} = q_{2}d_{2} $. (7)
Снаружи пластин поля нет, индуцированные заряды находятся только на внутренних поверхностях пластин, .и на основании теоремы Гаусса можно утверждать, что
$q_{1} + q_{2} + q = 0$. (8)
Решая совместно уравнения (7) и (8), получаем ответ — формулы (6).
