Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4192
2017-10-13 
Какую скорость имеет струя газа, вырывающегося из небольшого отверстия в стенке баллона со сжатым газом (рис. 1)? Температура и давление газа в баллоне имеют значения $T$ и $p$.
Решение:
Если размер отверстия значительно превышает длину свободного пробега молекул газа в баллоне, то истечение газа можно рассматривать как макроскопический поток. Ограничимся достаточно малым промежутком времени, таким, чтобы давление и температуру газа в баллоне можно было считать неизменными. Тогда процесс истечения газа из баллона можно рассматривать как стационарный, причем траектории любых мысленно выделенных элементов газа совпадают с линиями тока. Если пренебречь тангенциальными силами вязкости между соседними элементами потока газа, что вполне оправдано для рассматриваемого процесса, то для изучения движения газа можно воспользоваться законом сохранения энергии.
Выделим в стационарном потоке газа определенную трубку тока (рис. 2). В этой трубке рассмотрим газ, находящийся в некоторый момент времени между сечениями 1 и 2. За промежуток времени $\Delta t$ этот газ перейдет в новое положение между сечениями $1^{ \prime}$ и $2^{ \prime}$. Применим к этому выделенному газу первый закон термодинамики — закон сохранения энергии. Особенностью рассматриваемого процесса является то, что у выделенной части газа меняется не только внутренняя энергия $U$, но и кинетическая энергия макроскопического, направленного движения $E_{к}$. Полное изменение энергии газа определяется внешним воздействием на него:
$\Delta U + \Delta E_{к} = \Delta Q + \Delta A^{ \prime}$, (1)
где $\Delta Q$ — сообщенное выделенному газу количество теплоты, а $\Delta A^{ \prime}$ — работа, совершенная действующими на газ внешними силами за время $\Delta t$. В рассматриваемом явлении быстрого истечения из отверстия процесс, происходящий с выделенной частью газа, можно считать адиабатическим, т. е. положить в (1) $\Delta Q=0$. Разумеется, нельзя утверждать, что теплообмен с соседними участками вообще отсутствует, ведь адиабатической оболочки нет! Однако в струе газа работа, совершаемая соседними участками при «проталкивании» выделенной части газа вдоль трубки тока, гораздо больше, чем $\Delta Q$, и поэтому теплообменом можно пренебречь.
При вычислении работы $\Delta A^{ \prime}$ следует учесть, что действующие на выделенную часть газа силы давления со стороны соседних участков в сечении 1 направлены вдоль перемещения и противоположно перемещению в сечении 2 (рис. 2). Поэтому выражение для работы $\Delta A^{ \prime}$ при перемещении газа за время $\Delta t$ имеет вид
$\Delta A^{ \prime} = p_{1} \Delta V_{1} - p_{2} \Delta V_{2}$, (2)
где $p_{1}$ и $p_{2}$ — давления газа в сечениях 1 и 2, $\Delta V_{1}$ — объем части трубки тока между сечениями 1 и $1^{ \prime}$, а $\Delta V_{2}$ — между сечениями 2 и $2^{ prime}$.
В равновесной термодинамической системе макроскопические параметры, такие как температура $T$ и давление $p$, имеют одно и то же значение во всех точках. В потоке газа, в отличие от равновесной системы, значения этих параметров меняются от точки к точке, так что можно говорить только о локальном термодинамическом равновесии в отдельных частях потока. Но и такое описание применимо только в тех случаях, когда скорость макроскопического движения газа достаточно медленно меняется в пространстве и во времени. Будем считать, что это условие выполнено. Тогда давление и температура газа меняются вдоль трубки тока на рис. 2, но значения этих параметров в пределах малых элементов, например между сечениями 1 и $1^{ \prime}$ или 2 и $2^{ \prime}$, можно считать неизменными и связанными между собой уравнением состояния.
С помощью уравнения состояния работу $\Delta A^{ \prime}$ в (2) можно выразить через температуры газа в сечениях 1 и 2. Считая, что за время $\Delta t$ через каждое сечение трубки тока проходит количество газа $\nu$, имеем
$p_{1} \Delta V_{1} = \nu RT_{1}, p_{2} \Delta V_{2} = \nu RT_{2}$,
и выражение (2) принимает вид
$\Delta A^{ \prime} = \nu R( T_{1} - T_{2})$. (3)
Перейдем теперь к вычислению изменения энергии газа $\Delta U$ и $\Delta E_{к}$. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то при прохождении количества газа $\nu$ внутренняя энергия выделенной части изменится на величину
$\Delta U = \nu C_{V} (T_{2} - T_{1})$, (4)
где $C_{V}$ — молярная теплоемкость при постоянном объеме. Изменение кинетической энергии
$\Delta E_{к} = \nu \mu (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})/2$, (5)
где $\mu$ — молярная масса газа, $v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости струи в сечениях 1 и 2.
Подставляя соотношения (3) — (5) в уравнение закона сохранения энергии (1) и сокращая на $\nu$, получаем
$(C_{V} + R)(T_{2} - T_{1} ) + \mu (v_{2}^{1} - v_{1}^{2})/2 = 0$. (6)
Поскольку сечения 1 и 2 были выбраны произвольно, то из соотношения (6) следует, что величина $(C_{V} + R)T + \mu v^{2}/2$ имеет одно и то же значение вдоль всей линии тока. Учитывая, что $C_{V} + R = C_{p}$, где $C_{p}$ — молярная теплоемкость при постоянном давлении, можно написать
$C_{p}T + \mu v^{2}/2 = const$. (7)
Этому уравнению можно придать вид, аналогичный уравнению Бернулли в гидродинамике идеальной жидкости. Для этого разделим уравнение (7) почленно на молярный объем $V_{ \mu}$. Учитывая, что $RT/V_{ \mu} = p$, а $\mu / V_{ \mu}$ есть плотность газа $\rho$, имеем
$p + \rho c_{V} T + \rho v^{2} /2 = const$, (8)
где $c_{V} = C_{V} /mu$ — удельная теплоемкость газа. Первый и третий члены в левой части этого уравнения совпадают с соответствующими членами в уравнении Бернулли. В уравнении (8) отсутствует член $\rho gh$, выражающий плотность потенциальной энергии газа (или жидкости) в поле тяжести. Это связано только с тем, что в уравнении (1) не учитывалось изменение потенциальной энергии, так как струя предполагалась горизонтальной. Новым по сравнению с уравнением Бернулли является второй член в уравнении (8), который выражает плотность внутренней энергии газа. В несжимаемой жидкости плотность внутренней энергии неизменна, и ее не нужно учитывать в уравнении баланса энергии.
Соотношение (7) позволяет выразить скорость струи газа, вытекающей из отверстия в баллоне, через изменение температуры газа. Так как внутри баллона скорость направленного движения практически равна нулю, то
$C_{p} T = C_{p}T_{1} + \mu v_{1}^{1}/2$, (9)
откуда для скорости струи $v_{1}$ получаем
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2}{ \mu} C_{p} (T - T_{1})}$. (10)
Для вычисления скорости струи по формуле (10) нужно знать температуру $T_{1}$ газа в струе. Ее можно найти с помощью уравнения адиабатического процесса. При истечении газа в вакуум скорость струи $v_{вак}$ можно оценить, полагая в формуле (10) $T_{1} = О$. Такая оценка разумна, ибо при расширении в. вакуум давление газа в струе падает до нуля и, следовательно, должна приближаться к нулю и его температура:
$v_{вак} \approx \sqrt{ \frac{2}{ \mu} C_{p}T}$. (11)
Отметим, что кинетическая энергия направленного движения газа в струе возникает за счет внутренней энергии, т. е. энергии хаотического теплового движения молекул газа в баллоне. Скорость истечения определяется температурой и не зависит от давления. Независимость скорости истечения от давления связана с тем, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.
Формуле (11) можно придать более удобный вид, если выразить $C_{p}$ через $\gamma = C_{p}/C_{v}$ и газовую постоянную $R$:
$C_{p} = \frac{C_{p}}{C_{V}} C_{V} = \gamma (C_{p} - R)$,
откуда $C_{p} = R \gamma /( \gamma - 1)$. В результате вместо (11) можно написать
$v_{вэк} = \sqrt{ \frac{2}{ \mu} \frac{ \gamma}{ \gamma - 1} RT}$. (12)
Полученные формулы для скорости истечения позволяют сделать сравнительную оценку различных видов топлива для ракетных двигателей. Для получения больших скоростей истечения газов из сопла двигателя предпочтительнее горючее, которое обладает высокой теплотой сгорания (для получения больших температур $T$ в камере сгорания) и образует продукты сгорания с малой молярной массой.
Какую скорость имеет струя газа, вырывающегося из небольшого отверстия в стенке баллона со сжатым газом (рис. 1)? Температура и давление газа в баллоне имеют значения $T$ и $p$.
Решение:
Если размер отверстия значительно превышает длину свободного пробега молекул газа в баллоне, то истечение газа можно рассматривать как макроскопический поток. Ограничимся достаточно малым промежутком времени, таким, чтобы давление и температуру газа в баллоне можно было считать неизменными. Тогда процесс истечения газа из баллона можно рассматривать как стационарный, причем траектории любых мысленно выделенных элементов газа совпадают с линиями тока. Если пренебречь тангенциальными силами вязкости между соседними элементами потока газа, что вполне оправдано для рассматриваемого процесса, то для изучения движения газа можно воспользоваться законом сохранения энергии.
Выделим в стационарном потоке газа определенную трубку тока (рис. 2). В этой трубке рассмотрим газ, находящийся в некоторый момент времени между сечениями 1 и 2. За промежуток времени $\Delta t$ этот газ перейдет в новое положение между сечениями $1^{ \prime}$ и $2^{ \prime}$. Применим к этому выделенному газу первый закон термодинамики — закон сохранения энергии. Особенностью рассматриваемого процесса является то, что у выделенной части газа меняется не только внутренняя энергия $U$, но и кинетическая энергия макроскопического, направленного движения $E_{к}$. Полное изменение энергии газа определяется внешним воздействием на него:
$\Delta U + \Delta E_{к} = \Delta Q + \Delta A^{ \prime}$, (1)
где $\Delta Q$ — сообщенное выделенному газу количество теплоты, а $\Delta A^{ \prime}$ — работа, совершенная действующими на газ внешними силами за время $\Delta t$. В рассматриваемом явлении быстрого истечения из отверстия процесс, происходящий с выделенной частью газа, можно считать адиабатическим, т. е. положить в (1) $\Delta Q=0$. Разумеется, нельзя утверждать, что теплообмен с соседними участками вообще отсутствует, ведь адиабатической оболочки нет! Однако в струе газа работа, совершаемая соседними участками при «проталкивании» выделенной части газа вдоль трубки тока, гораздо больше, чем $\Delta Q$, и поэтому теплообменом можно пренебречь.
При вычислении работы $\Delta A^{ \prime}$ следует учесть, что действующие на выделенную часть газа силы давления со стороны соседних участков в сечении 1 направлены вдоль перемещения и противоположно перемещению в сечении 2 (рис. 2). Поэтому выражение для работы $\Delta A^{ \prime}$ при перемещении газа за время $\Delta t$ имеет вид
$\Delta A^{ \prime} = p_{1} \Delta V_{1} - p_{2} \Delta V_{2}$, (2)
где $p_{1}$ и $p_{2}$ — давления газа в сечениях 1 и 2, $\Delta V_{1}$ — объем части трубки тока между сечениями 1 и $1^{ \prime}$, а $\Delta V_{2}$ — между сечениями 2 и $2^{ prime}$.
В равновесной термодинамической системе макроскопические параметры, такие как температура $T$ и давление $p$, имеют одно и то же значение во всех точках. В потоке газа, в отличие от равновесной системы, значения этих параметров меняются от точки к точке, так что можно говорить только о локальном термодинамическом равновесии в отдельных частях потока. Но и такое описание применимо только в тех случаях, когда скорость макроскопического движения газа достаточно медленно меняется в пространстве и во времени. Будем считать, что это условие выполнено. Тогда давление и температура газа меняются вдоль трубки тока на рис. 2, но значения этих параметров в пределах малых элементов, например между сечениями 1 и $1^{ \prime}$ или 2 и $2^{ \prime}$, можно считать неизменными и связанными между собой уравнением состояния.
С помощью уравнения состояния работу $\Delta A^{ \prime}$ в (2) можно выразить через температуры газа в сечениях 1 и 2. Считая, что за время $\Delta t$ через каждое сечение трубки тока проходит количество газа $\nu$, имеем
$p_{1} \Delta V_{1} = \nu RT_{1}, p_{2} \Delta V_{2} = \nu RT_{2}$,
и выражение (2) принимает вид
$\Delta A^{ \prime} = \nu R( T_{1} - T_{2})$. (3)
Перейдем теперь к вычислению изменения энергии газа $\Delta U$ и $\Delta E_{к}$. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то при прохождении количества газа $\nu$ внутренняя энергия выделенной части изменится на величину
$\Delta U = \nu C_{V} (T_{2} - T_{1})$, (4)
где $C_{V}$ — молярная теплоемкость при постоянном объеме. Изменение кинетической энергии
$\Delta E_{к} = \nu \mu (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})/2$, (5)
где $\mu$ — молярная масса газа, $v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости струи в сечениях 1 и 2.
Подставляя соотношения (3) — (5) в уравнение закона сохранения энергии (1) и сокращая на $\nu$, получаем
$(C_{V} + R)(T_{2} - T_{1} ) + \mu (v_{2}^{1} - v_{1}^{2})/2 = 0$. (6)
Поскольку сечения 1 и 2 были выбраны произвольно, то из соотношения (6) следует, что величина $(C_{V} + R)T + \mu v^{2}/2$ имеет одно и то же значение вдоль всей линии тока. Учитывая, что $C_{V} + R = C_{p}$, где $C_{p}$ — молярная теплоемкость при постоянном давлении, можно написать
$C_{p}T + \mu v^{2}/2 = const$. (7)
Этому уравнению можно придать вид, аналогичный уравнению Бернулли в гидродинамике идеальной жидкости. Для этого разделим уравнение (7) почленно на молярный объем $V_{ \mu}$. Учитывая, что $RT/V_{ \mu} = p$, а $\mu / V_{ \mu}$ есть плотность газа $\rho$, имеем
$p + \rho c_{V} T + \rho v^{2} /2 = const$, (8)
где $c_{V} = C_{V} /mu$ — удельная теплоемкость газа. Первый и третий члены в левой части этого уравнения совпадают с соответствующими членами в уравнении Бернулли. В уравнении (8) отсутствует член $\rho gh$, выражающий плотность потенциальной энергии газа (или жидкости) в поле тяжести. Это связано только с тем, что в уравнении (1) не учитывалось изменение потенциальной энергии, так как струя предполагалась горизонтальной. Новым по сравнению с уравнением Бернулли является второй член в уравнении (8), который выражает плотность внутренней энергии газа. В несжимаемой жидкости плотность внутренней энергии неизменна, и ее не нужно учитывать в уравнении баланса энергии.
Соотношение (7) позволяет выразить скорость струи газа, вытекающей из отверстия в баллоне, через изменение температуры газа. Так как внутри баллона скорость направленного движения практически равна нулю, то
$C_{p} T = C_{p}T_{1} + \mu v_{1}^{1}/2$, (9)
откуда для скорости струи $v_{1}$ получаем
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2}{ \mu} C_{p} (T - T_{1})}$. (10)
Для вычисления скорости струи по формуле (10) нужно знать температуру $T_{1}$ газа в струе. Ее можно найти с помощью уравнения адиабатического процесса. При истечении газа в вакуум скорость струи $v_{вак}$ можно оценить, полагая в формуле (10) $T_{1} = О$. Такая оценка разумна, ибо при расширении в. вакуум давление газа в струе падает до нуля и, следовательно, должна приближаться к нулю и его температура:
$v_{вак} \approx \sqrt{ \frac{2}{ \mu} C_{p}T}$. (11)
Отметим, что кинетическая энергия направленного движения газа в струе возникает за счет внутренней энергии, т. е. энергии хаотического теплового движения молекул газа в баллоне. Скорость истечения определяется температурой и не зависит от давления. Независимость скорости истечения от давления связана с тем, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.
Формуле (11) можно придать более удобный вид, если выразить $C_{p}$ через $\gamma = C_{p}/C_{v}$ и газовую постоянную $R$:
$C_{p} = \frac{C_{p}}{C_{V}} C_{V} = \gamma (C_{p} - R)$,
откуда $C_{p} = R \gamma /( \gamma - 1)$. В результате вместо (11) можно написать
$v_{вэк} = \sqrt{ \frac{2}{ \mu} \frac{ \gamma}{ \gamma - 1} RT}$. (12)
Полученные формулы для скорости истечения позволяют сделать сравнительную оценку различных видов топлива для ракетных двигателей. Для получения больших скоростей истечения газов из сопла двигателя предпочтительнее горючее, которое обладает высокой теплотой сгорания (для получения больших температур $T$ в камере сгорания) и образует продукты сгорания с малой молярной массой.
