Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4191
2017-10-13 
Для экспериментального определения отношения теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме $\gamma = C_{p} / C_{V}$ можно применить следующий метод. Некоторое количество газа $\nu$, начальные объем и давление которого равны $V$ и $p$, нагревается дважды при помощи электрической спирали, через которую пропускают ток в течение одного и того же времени: скачала при постоянном объеме $V$, причем конечное давление равно $p_{1}$, затем при постоянном давлении $p$ из того же начального состояния, причем конечный объем оказывается равным $V_{2}$. Как по этим данным рассчитать отношение $\gamma$?
Решение:
Поскольку электрический нагреватель в обоих случаях работает одинаковое время, то и подводимое к газу количество теплоты будет одинаковым: $\Delta Q_{1} = \Delta Q_{2}$. Будем считать, что условия эксперимента обеспечивают отсутствие теплообмена газа с окружающей средой, т. е. сосуд с газом адиабатически изолирован. Поэтому можно написать
$\Delta Q_{1} = \nu C_{V} \Delta T_{1}, \Delta Q_{2} = \nu C_{p} \Delta T_{2}$, (1)
где $C_{V}$ и $C_{p}$ — молярные теплоемкости исследуемого газа при постоянном объеме и при постоянном давлении, a $\Delta T_{1}$ и $\Delta T_{2}$ — изменения температуры, газа в первом и втором случаях. Так как $\Delta Q_{1} = \Delta Q_{2}$, то из формул (1) для $\gamma = C_{p}/ C_{V}$ получаем
$\gamma = \Delta T_{1}/ \Delta T_{2}$. (2)
Поскольку в описываемом эксперименте измеряются не температура, а объем и давление газа, то изменение температуры следует выразить через изменение объема и давления. Для того чтобы сделать это, нужно воспользоваться уравнением состояния.
Формула (2) справедлива для любого газа, не обязательно идеального. Поэтому если бы мы могли измерять с достаточной точностью изменение температуры, то по формуле (2) мы бы непосредственно находили отношение теплоемкостей реального газа. Однако измерять изменение температуры газа трудно, так как такое измерение требует значительного времени, пока термометр придет в тепловое равновесие с газом. А это, в свою очередь, накладывает жесткие требования на степень теплоизоляции газа от окружающей среды. При измерении изменения объема и давления газа такие требования не возникают. Но за удобство измерений приходиться платить тем, что теперь необходимо знать уравнение состояния газа.
Если условия опыта таковы, что газ с достаточной точностью можно считать идеальным, то можно воспользоваться уравнением Менделеева — Клапейрона
$pV = \nu RT$. (3)
Тогда в первом случае, при нагревании газа при постоянном объеме $V$, имеем
$p(V_{2} - V) = \nu R \Delta T_{1}$. (4)
Во втором случае, при нагревании при постоянном давлении $p$, из (3) имеем
$p(V_{2} - V ) = \nu R \Delta T_{2}$. (5)
Выражая $\Delta T_{1}$ и $\Delta T_{2}$ из равенств (4) и (5) и подставляя их значения в соотношение (2), находим
$\gamma= \frac{C_{p}}{C_{V}} = \frac{(p_{1} - p)V}{p(V_{2} - V)} = \frac{p_{1}/p - 1}{V_{2}/V - 1}$ (6)
Для экспериментального определения отношения теплоемкостей газа при постоянном давлении и при постоянном объеме $\gamma = C_{p} / C_{V}$ можно применить следующий метод. Некоторое количество газа $\nu$, начальные объем и давление которого равны $V$ и $p$, нагревается дважды при помощи электрической спирали, через которую пропускают ток в течение одного и того же времени: скачала при постоянном объеме $V$, причем конечное давление равно $p_{1}$, затем при постоянном давлении $p$ из того же начального состояния, причем конечный объем оказывается равным $V_{2}$. Как по этим данным рассчитать отношение $\gamma$?
Решение:
Поскольку электрический нагреватель в обоих случаях работает одинаковое время, то и подводимое к газу количество теплоты будет одинаковым: $\Delta Q_{1} = \Delta Q_{2}$. Будем считать, что условия эксперимента обеспечивают отсутствие теплообмена газа с окружающей средой, т. е. сосуд с газом адиабатически изолирован. Поэтому можно написать
$\Delta Q_{1} = \nu C_{V} \Delta T_{1}, \Delta Q_{2} = \nu C_{p} \Delta T_{2}$, (1)
где $C_{V}$ и $C_{p}$ — молярные теплоемкости исследуемого газа при постоянном объеме и при постоянном давлении, a $\Delta T_{1}$ и $\Delta T_{2}$ — изменения температуры, газа в первом и втором случаях. Так как $\Delta Q_{1} = \Delta Q_{2}$, то из формул (1) для $\gamma = C_{p}/ C_{V}$ получаем
$\gamma = \Delta T_{1}/ \Delta T_{2}$. (2)
Поскольку в описываемом эксперименте измеряются не температура, а объем и давление газа, то изменение температуры следует выразить через изменение объема и давления. Для того чтобы сделать это, нужно воспользоваться уравнением состояния.
Формула (2) справедлива для любого газа, не обязательно идеального. Поэтому если бы мы могли измерять с достаточной точностью изменение температуры, то по формуле (2) мы бы непосредственно находили отношение теплоемкостей реального газа. Однако измерять изменение температуры газа трудно, так как такое измерение требует значительного времени, пока термометр придет в тепловое равновесие с газом. А это, в свою очередь, накладывает жесткие требования на степень теплоизоляции газа от окружающей среды. При измерении изменения объема и давления газа такие требования не возникают. Но за удобство измерений приходиться платить тем, что теперь необходимо знать уравнение состояния газа.
Если условия опыта таковы, что газ с достаточной точностью можно считать идеальным, то можно воспользоваться уравнением Менделеева — Клапейрона
$pV = \nu RT$. (3)
Тогда в первом случае, при нагревании газа при постоянном объеме $V$, имеем
$p(V_{2} - V) = \nu R \Delta T_{1}$. (4)
Во втором случае, при нагревании при постоянном давлении $p$, из (3) имеем
$p(V_{2} - V ) = \nu R \Delta T_{2}$. (5)
Выражая $\Delta T_{1}$ и $\Delta T_{2}$ из равенств (4) и (5) и подставляя их значения в соотношение (2), находим
$\gamma= \frac{C_{p}}{C_{V}} = \frac{(p_{1} - p)V}{p(V_{2} - V)} = \frac{p_{1}/p - 1}{V_{2}/V - 1}$ (6)
