Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4190
2017-10-13 
В расположенном горизонтально цилиндре (рис. 1) слева от закрепленного поршня находится идеальный газ, в правой части цилиндра — вакуум. Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды, а пружина, расположенная между поршнем и стенкой, находится первоначально в недеформированном состоянии. Поршень освобождают, и после установления равновесия объем, занимаемый газом, увеличивается вдвое. Как изменились при этом температура и давление газа? Теплоемкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь.
Решение:
По условию задачи вначале пружина находится в Heдеформированном состоянии и сила давления газа на поршень уравновешивается упором, удерживающим поршень. Когда упор убирают, поршень под действием давления газа перемещается вправо и сжимает пружину. По инерции поршень проскакивает положение равновесия, и сжатая пружина после остановки толкает его обратно. В системе возникают колебания, которые вследствие трения постепенно затухают, и поршень останавливается в положении равновесия. В начальном состоянии вся энергия рассматриваемой системы состояла только из внутренней энергии газа, ибо поршень был неподвижен, а пружина не деформирована. В конечном состоянии энергия системы складывается из внутренней энергии газа и потенциальной энергии сжатой пружины. В процессе установления равновесия происходили многократные превращения энергии из одного вида в другие: внутренняя энергия газа частично превращалась в кинетическую энергию макроскопического движения газа в цилиндре вслед за поршнем, в кинетическую энергию поршня, потенциальную энергию деформированной пружины и обратно.
В процессе колебаний вследствие трения механическая энергия превращалась в теплоту, т. е. во внутреннюю энергию газа. Изменением внутренней энергии поршня, стенок сосуда и пружины можно пренебречь, так как по условию задачи их теплоемкость мала по сравнению с теплоемкостью газа. На основании первого закона термодинамики можно утверждать, что полная энергия системы в результате всех этих процессов не изменилась, так как теплообмен с окружающей средой отсутствовал и система не совершала механической работы над внешними телами.
Сохранение полной энергии системы выражается соотношением
$\Delta U + \frac{kx^{2}}{2} = 0$, (1)
где второе слагаемое есть потенциальная энергия пружины жесткости $k$, сжатой на величину $x$, а изменение внутренней энергии идеального газа при изменении его температуры от $T_{1}$ до $T_{2}$ равно
$\Delta U = \nu C_{V} (T_{2} - T_{1})$, (2)
где $\nu = m / \nu$ — количество газа в цилиндре, а $C_{V}$ — молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме.
В положении равновесия сила давления газа на поршень площади $S$ уравновешивается силой реакции сжатой пружины:
$p_{2} S = kx$. (3)
Смещение поршня $x$ очевидным образом связано с изменением объема газа от $V_{1}$ до $V_{2}$:
$x = (V_{2} - V_{1})/S$. (4)
Подставив в уравнение баланса энергии (1) выражения (2) и (4), получим
$\nu C_{V} (T_{1} - T_{2}) = k (V_{2} - V_{1})^{2}/ 2S^{2}$. (5)
Используя уравнение состояния идеального газа
$pV = \nu RT$, (6)
Выразим давление газа $p_{2}$ в условии механического равновесия поршня (3) через конечные значения температуры и объема, а смещение поршня $x$ — с помощью формулы (4):
$ \frac{ \nu RT}{V_{2}} = \frac{k (V_{2} - V_{1})}{S^{2}}$. (7)
Разделив почленно выражения (5) и (7), получим
$\frac{2C_{V}}{R} \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} - 1 \right ) = 1 - \frac{V_{1}}{V_{2}}$. (8)
При заданном отношении начального и конечного объемов газа формула (8) дает возможность определить отношение температур:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = 1 + \frac{R}{2C_{V}} \left ( 1 - \frac{V_{1}}{V_{2}} \right )$. (9)
Зная, отношение объемов и температур, можно с помощью уравнения состояния (6) найти отношение давлений:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{R}{2C_{V}} \left ( \frac{V_{2}}{V_{1}} - 1 \right ) + \frac{V_{2}}{V_{1}}$. (10)
Поскольку для идеального одноатомного газа $C_{V} = 3R/2$, а по условию задачи конечный объем вдвое больше начального, то с помощью формул (9) и (10) находим
$T_{2} / T_{1} = 6/7, p_{2}/p_{1} = 3/7$.
Полученные формулы (9) и (10) полезно проверить для предельного случая, когда ответ очевиден. Если жесткость пружины $k \rightarrow \infty$, то газ не сможет сдвинуть поршень с места, и, следовательно, объем, температура и давление газа останутся без изменения. В этом случае $V_{2} = V_{1}$ и формулы (9) и (10), как и полагается, дают $T_{2} = T_{1}$ и $p_{2} = p_{1}$.
В расположенном горизонтально цилиндре (рис. 1) слева от закрепленного поршня находится идеальный газ, в правой части цилиндра — вакуум. Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды, а пружина, расположенная между поршнем и стенкой, находится первоначально в недеформированном состоянии. Поршень освобождают, и после установления равновесия объем, занимаемый газом, увеличивается вдвое. Как изменились при этом температура и давление газа? Теплоемкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь.
Решение:
По условию задачи вначале пружина находится в Heдеформированном состоянии и сила давления газа на поршень уравновешивается упором, удерживающим поршень. Когда упор убирают, поршень под действием давления газа перемещается вправо и сжимает пружину. По инерции поршень проскакивает положение равновесия, и сжатая пружина после остановки толкает его обратно. В системе возникают колебания, которые вследствие трения постепенно затухают, и поршень останавливается в положении равновесия. В начальном состоянии вся энергия рассматриваемой системы состояла только из внутренней энергии газа, ибо поршень был неподвижен, а пружина не деформирована. В конечном состоянии энергия системы складывается из внутренней энергии газа и потенциальной энергии сжатой пружины. В процессе установления равновесия происходили многократные превращения энергии из одного вида в другие: внутренняя энергия газа частично превращалась в кинетическую энергию макроскопического движения газа в цилиндре вслед за поршнем, в кинетическую энергию поршня, потенциальную энергию деформированной пружины и обратно.
В процессе колебаний вследствие трения механическая энергия превращалась в теплоту, т. е. во внутреннюю энергию газа. Изменением внутренней энергии поршня, стенок сосуда и пружины можно пренебречь, так как по условию задачи их теплоемкость мала по сравнению с теплоемкостью газа. На основании первого закона термодинамики можно утверждать, что полная энергия системы в результате всех этих процессов не изменилась, так как теплообмен с окружающей средой отсутствовал и система не совершала механической работы над внешними телами.
Сохранение полной энергии системы выражается соотношением
$\Delta U + \frac{kx^{2}}{2} = 0$, (1)
где второе слагаемое есть потенциальная энергия пружины жесткости $k$, сжатой на величину $x$, а изменение внутренней энергии идеального газа при изменении его температуры от $T_{1}$ до $T_{2}$ равно
$\Delta U = \nu C_{V} (T_{2} - T_{1})$, (2)
где $\nu = m / \nu$ — количество газа в цилиндре, а $C_{V}$ — молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме.
В положении равновесия сила давления газа на поршень площади $S$ уравновешивается силой реакции сжатой пружины:
$p_{2} S = kx$. (3)
Смещение поршня $x$ очевидным образом связано с изменением объема газа от $V_{1}$ до $V_{2}$:
$x = (V_{2} - V_{1})/S$. (4)
Подставив в уравнение баланса энергии (1) выражения (2) и (4), получим
$\nu C_{V} (T_{1} - T_{2}) = k (V_{2} - V_{1})^{2}/ 2S^{2}$. (5)
Используя уравнение состояния идеального газа
$pV = \nu RT$, (6)
Выразим давление газа $p_{2}$ в условии механического равновесия поршня (3) через конечные значения температуры и объема, а смещение поршня $x$ — с помощью формулы (4):
$ \frac{ \nu RT}{V_{2}} = \frac{k (V_{2} - V_{1})}{S^{2}}$. (7)
Разделив почленно выражения (5) и (7), получим
$\frac{2C_{V}}{R} \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} - 1 \right ) = 1 - \frac{V_{1}}{V_{2}}$. (8)
При заданном отношении начального и конечного объемов газа формула (8) дает возможность определить отношение температур:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = 1 + \frac{R}{2C_{V}} \left ( 1 - \frac{V_{1}}{V_{2}} \right )$. (9)
Зная, отношение объемов и температур, можно с помощью уравнения состояния (6) найти отношение давлений:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{R}{2C_{V}} \left ( \frac{V_{2}}{V_{1}} - 1 \right ) + \frac{V_{2}}{V_{1}}$. (10)
Поскольку для идеального одноатомного газа $C_{V} = 3R/2$, а по условию задачи конечный объем вдвое больше начального, то с помощью формул (9) и (10) находим
$T_{2} / T_{1} = 6/7, p_{2}/p_{1} = 3/7$.
Полученные формулы (9) и (10) полезно проверить для предельного случая, когда ответ очевиден. Если жесткость пружины $k \rightarrow \infty$, то газ не сможет сдвинуть поршень с места, и, следовательно, объем, температура и давление газа останутся без изменения. В этом случае $V_{2} = V_{1}$ и формулы (9) и (10), как и полагается, дают $T_{2} = T_{1}$ и $p_{2} = p_{1}$.
