Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4189
2017-10-13 
Один моль идеального газа нагревают при таких условиях, что давление газа пропорционально его объему:
$p = \alpha V$,
где $\alpha$ — постоянная. (Здесь молярный объем газа обозначен через $V$, а не $V_{ \mu}$, чтобы не загромождать формулы.) Найдите теплоемкость газа в этом процессе. Попробуйте придумать устройство, в котором давление газа и занимаемый им объем были бы связаны таким соотношением.
Решение:
Теплоемкость идеального газа (как и любой другой физической системы) является физической величиной, характеризующей не столько саму систему, сколько происходящий в ней процесс.
Вспомним первый закон термодинамики — закон сохранения энергии для процессов, связанных с теплопередачей:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A$ (1)
— сообщенное системе количество теплоты $\Delta Q$ определяет изменение внутренней энергии системы $\Delta U$ и совершенную при этом системой работу $\Delta A$. Рассматриваемая нами система — идеальный газ, его внутренняя энергия не зависит от занимаемого им объема и определяется только температурой. Поэтому при любом способе нагревания газа на $\Delta T$ его внутренняя энергия изменяется на одну и ту же величину. А вот совершаемая газом работа при этом может быть различной. Например, при нагревании при постоянном объеме газ вообще не совершает работы, а при нагревании при постоянном давлении совершаемая газом работа $\Delta A = \p \Delta V$. В результате, как видно из уравнения (1), теплоемкость газа $C = \Delta Q/ \Delta T$ оказывается различной в зависимости от того, при каких условиях происходит его нагревание. В первом случае теплоемкость одного моля обозначается $C_{V}$ и дается формулой
$C_{V} = \Delta U/ \Delta T$. (2)
Во втором случае теплоемкость обозначается $C_{p}$, и с помощью уравнения (1)для нее получается выражение
$C_{p} = C_{V} + p \Delta V/ \Delta T$.
Из уравнения состояния одного моля идеального газа $pV \ RT$ при постоянном давлении находим $p \Delta V = RT$. Теперь для теплоемкости $C_{p}$ одного моля идеального газа получаем
$C_{p} = C_{V} + R$. (3)
В общем случае для нахождения теплоемкости газа нужно уметь вычислять работу, совершаемую газом при произвольном процессе.
Как же вычислить работу, совершаемую газом, когда его давление не остается постоянным, а связано с объемом соотношением $p = \alpha V$? Очевидно, что работа также выражается соотношением $\Delta A = p \Delta V$, но только при постоянном давлении $\Delta V$ могло быть любым, а в рассматриваемом случае $\Delta V$ нужно выбирать настолько малым, чтобы можно было пренебречь изменением давления $\Delta p$ при расширении газа на $\Delta V$. Теперь нужно связать $p \Delta V$ при малом изменении объема с изменением температуры. Для этого воспользуемся уравнением состояния
$pV = RT$. (4)
Пусть при изменении температуры газа на $\Delta T$ его объем изменился на $\Delta V$, а давление — на $\Delta p$. Эти изменения связаны между собой благодаря уравнению состояния:
$(p + \Delta p)(V + \Delta V) = R (T + \Delta T)$. (5)
Вычитая выражение (4) из (5) и пренебрегая малым членом $\Delta p \Delta V$, получаем
$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T$. (6)
В рассматриваемом процессе, когда давление газа пропорционально его объему, имеем $\Delta p = \alpha \Delta V$. Поэтому
$V \Delta p = \alpha V \Delta V = p \Delta V$. (7)
Подставляя $V \Delta p$ из выражения (7) в (6), находим
$\Delta A = p \Delta V = R \Delta T /2$.
С помощью уравнения (1) находим теплоемкость газа в этом процессе:
$C = C_{V} + R/2$.
Вспоминая связь $C_{V}$ и $C_{p}$, даваемую формулой (3), замечаем, что $C$ можно представить в виде
$C = (C_{V} + C_{p})/2$.
Отметим, что в трех рассмотренных нами процессах (нагревание газа при постоянном объеме, при постоянном давлении и при $p = \alpha V$) теплоемкость газа остается постоянной на всем протяжении процесса.
Теперь подумаем, как практически можно осуществить устройство, в котором давление газа пропорционально занимаемому объему. Это, например, может быть сосуд с поршнем. Поставим его вертикально. Для того чтобы нагревание газа происходило при постоянном объеме, поршень нужно закрепить. Для нагревания при постоянном давлении можно положить на поршень постоянный груз. В интересующем пас случае можно попытаться подпереть поршень упругой пружиной (рис. 1), поскольку вследствие закона Гука действующая на поршень со стороны пружины сила будет линейно зависеть от его смещения.
Как подобрать параметры этого устройства, чтобы выполнялось соотношение $p = \alpha V$? При $V=0$, когда поршень лежит на дне (рис. 2), давление газа под поршнем должно быть равно нулю, поэтому сила тяжести $mg$, действующая на поршень, и сила атмосферного давления $p_{0}S$ ($S$ — площадь поршня) должны уравновешиваться силой растяжения пружины:
$mg + p_{0}S = k(l - l_{0})$. (8)
Здесь $k$ — жесткость пружины, $l_{0}$ — ее длина в свободном состоянии. Итак, нужно подобрать такую пружину, чтобы соотношение (8) выполнялось. Проверим, будет ли при этом давление газа $p$ пропорционально его объему $V$ при произвольном положении поршня (рис. 1). Напишем условие равновесия поршня:
$mg + p_{0}S = k(l - l_{0} - x) + pS$.
Отсюда с учетом равенства (8) получаем
$p = \frac{kx}{S} = \frac{k}{S^{2}} V$.
Один моль идеального газа нагревают при таких условиях, что давление газа пропорционально его объему:
$p = \alpha V$,
где $\alpha$ — постоянная. (Здесь молярный объем газа обозначен через $V$, а не $V_{ \mu}$, чтобы не загромождать формулы.) Найдите теплоемкость газа в этом процессе. Попробуйте придумать устройство, в котором давление газа и занимаемый им объем были бы связаны таким соотношением.
Решение:
Теплоемкость идеального газа (как и любой другой физической системы) является физической величиной, характеризующей не столько саму систему, сколько происходящий в ней процесс.
Вспомним первый закон термодинамики — закон сохранения энергии для процессов, связанных с теплопередачей:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A$ (1)
— сообщенное системе количество теплоты $\Delta Q$ определяет изменение внутренней энергии системы $\Delta U$ и совершенную при этом системой работу $\Delta A$. Рассматриваемая нами система — идеальный газ, его внутренняя энергия не зависит от занимаемого им объема и определяется только температурой. Поэтому при любом способе нагревания газа на $\Delta T$ его внутренняя энергия изменяется на одну и ту же величину. А вот совершаемая газом работа при этом может быть различной. Например, при нагревании при постоянном объеме газ вообще не совершает работы, а при нагревании при постоянном давлении совершаемая газом работа $\Delta A = \p \Delta V$. В результате, как видно из уравнения (1), теплоемкость газа $C = \Delta Q/ \Delta T$ оказывается различной в зависимости от того, при каких условиях происходит его нагревание. В первом случае теплоемкость одного моля обозначается $C_{V}$ и дается формулой
$C_{V} = \Delta U/ \Delta T$. (2)
Во втором случае теплоемкость обозначается $C_{p}$, и с помощью уравнения (1)для нее получается выражение
$C_{p} = C_{V} + p \Delta V/ \Delta T$.
Из уравнения состояния одного моля идеального газа $pV \ RT$ при постоянном давлении находим $p \Delta V = RT$. Теперь для теплоемкости $C_{p}$ одного моля идеального газа получаем
$C_{p} = C_{V} + R$. (3)
В общем случае для нахождения теплоемкости газа нужно уметь вычислять работу, совершаемую газом при произвольном процессе.
Как же вычислить работу, совершаемую газом, когда его давление не остается постоянным, а связано с объемом соотношением $p = \alpha V$? Очевидно, что работа также выражается соотношением $\Delta A = p \Delta V$, но только при постоянном давлении $\Delta V$ могло быть любым, а в рассматриваемом случае $\Delta V$ нужно выбирать настолько малым, чтобы можно было пренебречь изменением давления $\Delta p$ при расширении газа на $\Delta V$. Теперь нужно связать $p \Delta V$ при малом изменении объема с изменением температуры. Для этого воспользуемся уравнением состояния
$pV = RT$. (4)
Пусть при изменении температуры газа на $\Delta T$ его объем изменился на $\Delta V$, а давление — на $\Delta p$. Эти изменения связаны между собой благодаря уравнению состояния:
$(p + \Delta p)(V + \Delta V) = R (T + \Delta T)$. (5)
Вычитая выражение (4) из (5) и пренебрегая малым членом $\Delta p \Delta V$, получаем
$p \Delta V + V \Delta p = R \Delta T$. (6)
В рассматриваемом процессе, когда давление газа пропорционально его объему, имеем $\Delta p = \alpha \Delta V$. Поэтому
$V \Delta p = \alpha V \Delta V = p \Delta V$. (7)
Подставляя $V \Delta p$ из выражения (7) в (6), находим
$\Delta A = p \Delta V = R \Delta T /2$.
С помощью уравнения (1) находим теплоемкость газа в этом процессе:
$C = C_{V} + R/2$.
Вспоминая связь $C_{V}$ и $C_{p}$, даваемую формулой (3), замечаем, что $C$ можно представить в виде
$C = (C_{V} + C_{p})/2$.
Отметим, что в трех рассмотренных нами процессах (нагревание газа при постоянном объеме, при постоянном давлении и при $p = \alpha V$) теплоемкость газа остается постоянной на всем протяжении процесса.
Теперь подумаем, как практически можно осуществить устройство, в котором давление газа пропорционально занимаемому объему. Это, например, может быть сосуд с поршнем. Поставим его вертикально. Для того чтобы нагревание газа происходило при постоянном объеме, поршень нужно закрепить. Для нагревания при постоянном давлении можно положить на поршень постоянный груз. В интересующем пас случае можно попытаться подпереть поршень упругой пружиной (рис. 1), поскольку вследствие закона Гука действующая на поршень со стороны пружины сила будет линейно зависеть от его смещения.
Как подобрать параметры этого устройства, чтобы выполнялось соотношение $p = \alpha V$? При $V=0$, когда поршень лежит на дне (рис. 2), давление газа под поршнем должно быть равно нулю, поэтому сила тяжести $mg$, действующая на поршень, и сила атмосферного давления $p_{0}S$ ($S$ — площадь поршня) должны уравновешиваться силой растяжения пружины:
$mg + p_{0}S = k(l - l_{0})$. (8)
Здесь $k$ — жесткость пружины, $l_{0}$ — ее длина в свободном состоянии. Итак, нужно подобрать такую пружину, чтобы соотношение (8) выполнялось. Проверим, будет ли при этом давление газа $p$ пропорционально его объему $V$ при произвольном положении поршня (рис. 1). Напишем условие равновесия поршня:
$mg + p_{0}S = k(l - l_{0} - x) + pS$.
Отсюда с учетом равенства (8) получаем
$p = \frac{kx}{S} = \frac{k}{S^{2}} V$.
