Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4187
2017-10-13 
Прохождение газа через пористую перегородку при достаточно низком давлении, когда средний диаметр пор мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул, может быть использовано для разделения изотопов. Для этого газообразное химическое соединение элемента, содержащего естественную смесь изотопов (например, шестифтористый уран, содержащий молекулы $^{235}UF_{6}$ и $^{238}UF_{6}$), пропускается через ячейку, устройство которой показано на рис. В газе, прошедшем через пористую перегородку, увеличивается процентное содержание легкого изотопа. Прошедший газ непрерывно откачивается и подается в следующую ячейку. Этот процесс повторяется многократно. Сколько циклов необходимо провести, чтобы отношение концентраций легкого и тяжелого изотопов увеличить в 10 раз, если молярные массы соединений легкого и тяжелого изотопов равны соответственно $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$?
Решение:
Поскольку в каждой ячейке прошедший через пористую перегородку газ непрерывно откачивается насосом, можно считать, что его концентрация (т. е. число молекул в единице объема) за перегородкой пренебрежимо мала по сравнению с концентрацией на входе в ячейку. Поэтому при расчетах можно пренебречь обратным потоком молекул и считать, что газ проходит через поры в перегородке только в одном направлении.
Число молекул, проходящих за единицу времени через каждое отверстие в пористой перегородке, пропорционально концентрации молекул перед перегородкой и средней скорости их хаотического теплового движения. Так как газ представляет собой смесь молекул, содержащих разные изотопы, можно, как в задаче 4186, написать выражение для чисел $N_{1}$ и $N_{2}$ прошедших через перегородку за единицу времени молекул:
$N_{1} \sim n_{1} \langle v_{1} \rangle, N_{2} \sim n_{2} \langle v_{2} \rangle$, (1)
где $n_{1}$ и $n_{2}$ - концентрации легкого и тяжелого изотопов перед перегородкой, а $\langle v_{1} \rangle$ и $\langle v_{2} \rangle$ — средние скорости их теплового движения. Отношение концентраций молекул газа каждого изотопа после прохождения через одну ячейку равно
$\gamma_{1} = \frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{n_{1} \langle v_{1} \rangle }{ n_{2} \langle v_{2} \rangle }$. (2)
Если бы средние скорости теплового движения молекул, содержащих разные изотопы, были одинаковы, то, как видно из формулы (2), отношение концентраций легкого и тяжелого изотопов было бы таким же, как и до перегородки. Однако из-за различия масс разных изотопов тепловые скорости молекул с легкими и тяжелыми изотопами оказываются разными, хотя средние кинетические энергии тех и других молекул одинаковы и соответствуют температуре смеси. Так как средняя скорость теплового движения пропорциональна корню из отношения термодинамической температуры к массе молекулы:
$\langle v \rangle \sim \sqrt{T/m}$, (3)
то у молекул легкого изотопа эта скорость больше, и после прохождения через перегородку содержание легкого изотопа в смеси увеличивается. Из соотношения (2) при учете (3) следует, что
$ \gamma_{1} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sqrt{ \frac{m_{2}}{m_{1}}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} $. (4)
На входе во вторую ячейку отношение концентраций легкого и тяжелого изотопов в смеси равно уже не $n_{1} / n_{2}$ а
$\gamma_{1} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}}$.
Поэтому после прохождения второй ячейки отношение концентраций будет равно
$\gamma_{1} = \gamma_{1} \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \left ( \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} \right )^{2}$. (5)
Легко видеть, что после прохождения $k$ ячеек отношение концентраций $\gamma_{k}$ выражается формулой
$\gamma_{k} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \left ( \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} \right )^{k}$. (6)
Если мы хотим, чтобы $\gamma_{k}$ было больше, чем $n_{1}/n_{2}$, в 10 раз, то, как видно из (6), необходимое число ячеек
$k = \frac{1}{ lg \sqrt{ \mu_{2} / \mu_{1}}} = \frac{2}{lg ( \mu_{2} / \mu_{1})}$. (7)
Из-за малого различия в массах молекул с разными изотопами приходится проводить большое число циклов обогащения. Так, например, для шестифтористого урана со смесью изотопов $^{235}U$ и $^{238} U$ для увеличения отношения концентраций в 10 раз требуется соединить последовательно около 540 ячеек.
В заключение отметим, что в каждой ячейке по мере прохождения газа через пористую перегородку содержание тяжелого изотопа в смеси, находящейся перед перегородкой, должно было бы увеличиваться. А это, в свою очередь, приводило бы к тому, что увеличивалось бы число проходящих через перегородку молекул с тяжелым изотопом. В результате эффективность работы ячейки снижалась бы. Чтобы этого не происходило, нужно обновлять смесь перед перегородкой, не допуская накапливания газа, обогащенного тяжелым изотопом. Поэтому обогащенный тяжелым изотопом газ откачивается и направляется на вход предыдущей ступени каскада (рис. 1).
Описанный способ применяется для разделения изотопов урана в крупных промышленных масштабах. Идея этого метода была предложена Рэлеем еще в 1896 г.
Прохождение газа через пористую перегородку при достаточно низком давлении, когда средний диаметр пор мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул, может быть использовано для разделения изотопов. Для этого газообразное химическое соединение элемента, содержащего естественную смесь изотопов (например, шестифтористый уран, содержащий молекулы $^{235}UF_{6}$ и $^{238}UF_{6}$), пропускается через ячейку, устройство которой показано на рис. В газе, прошедшем через пористую перегородку, увеличивается процентное содержание легкого изотопа. Прошедший газ непрерывно откачивается и подается в следующую ячейку. Этот процесс повторяется многократно. Сколько циклов необходимо провести, чтобы отношение концентраций легкого и тяжелого изотопов увеличить в 10 раз, если молярные массы соединений легкого и тяжелого изотопов равны соответственно $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$?
Решение:
Поскольку в каждой ячейке прошедший через пористую перегородку газ непрерывно откачивается насосом, можно считать, что его концентрация (т. е. число молекул в единице объема) за перегородкой пренебрежимо мала по сравнению с концентрацией на входе в ячейку. Поэтому при расчетах можно пренебречь обратным потоком молекул и считать, что газ проходит через поры в перегородке только в одном направлении.
Число молекул, проходящих за единицу времени через каждое отверстие в пористой перегородке, пропорционально концентрации молекул перед перегородкой и средней скорости их хаотического теплового движения. Так как газ представляет собой смесь молекул, содержащих разные изотопы, можно, как в задаче 4186, написать выражение для чисел $N_{1}$ и $N_{2}$ прошедших через перегородку за единицу времени молекул:
$N_{1} \sim n_{1} \langle v_{1} \rangle, N_{2} \sim n_{2} \langle v_{2} \rangle$, (1)
где $n_{1}$ и $n_{2}$ - концентрации легкого и тяжелого изотопов перед перегородкой, а $\langle v_{1} \rangle$ и $\langle v_{2} \rangle$ — средние скорости их теплового движения. Отношение концентраций молекул газа каждого изотопа после прохождения через одну ячейку равно
$\gamma_{1} = \frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{n_{1} \langle v_{1} \rangle }{ n_{2} \langle v_{2} \rangle }$. (2)
Если бы средние скорости теплового движения молекул, содержащих разные изотопы, были одинаковы, то, как видно из формулы (2), отношение концентраций легкого и тяжелого изотопов было бы таким же, как и до перегородки. Однако из-за различия масс разных изотопов тепловые скорости молекул с легкими и тяжелыми изотопами оказываются разными, хотя средние кинетические энергии тех и других молекул одинаковы и соответствуют температуре смеси. Так как средняя скорость теплового движения пропорциональна корню из отношения термодинамической температуры к массе молекулы:
$\langle v \rangle \sim \sqrt{T/m}$, (3)
то у молекул легкого изотопа эта скорость больше, и после прохождения через перегородку содержание легкого изотопа в смеси увеличивается. Из соотношения (2) при учете (3) следует, что
$ \gamma_{1} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sqrt{ \frac{m_{2}}{m_{1}}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} $. (4)
На входе во вторую ячейку отношение концентраций легкого и тяжелого изотопов в смеси равно уже не $n_{1} / n_{2}$ а
$\gamma_{1} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}}$.
Поэтому после прохождения второй ячейки отношение концентраций будет равно
$\gamma_{1} = \gamma_{1} \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \left ( \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} \right )^{2}$. (5)
Легко видеть, что после прохождения $k$ ячеек отношение концентраций $\gamma_{k}$ выражается формулой
$\gamma_{k} = \frac{n_{1}}{n_{2}} \left ( \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} \right )^{k}$. (6)
Если мы хотим, чтобы $\gamma_{k}$ было больше, чем $n_{1}/n_{2}$, в 10 раз, то, как видно из (6), необходимое число ячеек
$k = \frac{1}{ lg \sqrt{ \mu_{2} / \mu_{1}}} = \frac{2}{lg ( \mu_{2} / \mu_{1})}$. (7)
Из-за малого различия в массах молекул с разными изотопами приходится проводить большое число циклов обогащения. Так, например, для шестифтористого урана со смесью изотопов $^{235}U$ и $^{238} U$ для увеличения отношения концентраций в 10 раз требуется соединить последовательно около 540 ячеек.
В заключение отметим, что в каждой ячейке по мере прохождения газа через пористую перегородку содержание тяжелого изотопа в смеси, находящейся перед перегородкой, должно было бы увеличиваться. А это, в свою очередь, приводило бы к тому, что увеличивалось бы число проходящих через перегородку молекул с тяжелым изотопом. В результате эффективность работы ячейки снижалась бы. Чтобы этого не происходило, нужно обновлять смесь перед перегородкой, не допуская накапливания газа, обогащенного тяжелым изотопом. Поэтому обогащенный тяжелым изотопом газ откачивается и направляется на вход предыдущей ступени каскада (рис. 1).
Описанный способ применяется для разделения изотопов урана в крупных промышленных масштабах. Идея этого метода была предложена Рэлеем еще в 1896 г.
