Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4185
2017-10-05 
Решая задачу об изменении параметров орбиты спутника при его торможении в верхних слоях атмосферы, мы не рассматривали самого механизма торможения, поскольку связанная с этим процессом потеря механической энергии была задана в условии задачи. В этом примере мы рассмотрим физическую причину торможения спутника и свяжем потери энергии с параметрами атмосферы. Будем для определенности считать, что спутник движется по круговой орбите на высоте $h = 200 км$, где плотность атмосферы $\rho$ составляет примерно $3 \cdot 10^{-9} кг/м^{3}$. Оценим силу трения, действующую на спутник, площадь поперечного сечения которого $S = l м^{2}$, а масса $M = 10^{3} кг$.
Решение:
Как нужно рассматривать торможение спутника в атмосфере? Следует ли считать, что движение спутника происходит в сплошной среде, или же взаимодействие спутника с атмосферой нужно описывать как результат большого числа отдельных ударов молекул воздуха?
При движении твердого тела в сплошной среде вблизи поверхности тела образуется так называемый пограничный слой, в котором некоторые свойства среды, такие, как, например, скорости движения частиц среды, отличаются от свойств вдали от тела, где среда остается невозмущенной. Тело при своем движении увлекает частицы среды, находящиеся в пределах пограничного слоя. Размеры такого пограничного слоя сравнимы с размерами самого тела. Когда справедливо такое представление?
Молекулы среды в своем хаотическом тепловом движении все время сталкиваются друг с другом. Если среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, значительно меньше размеров тела, то можно использовать представление о сплошной среде и говорить об образовании пограничного слоя вблизи движущегося тела.
Если же средняя длина свободного пробега молекул среды превосходит размеры тела, то никакого пограничного <глоя не образуется: каждая столкнувшаяся с телом молекула успевает до следующего столкновения с другими молекулами настолько далеко удалиться от тела, что уже больше не испытывает с его стороны никакого влияния. Другими словами, движущееся тело сталкивается с молекулами, которые до этого столкновения еще ничего «не знали» об этом теле, т. е. совершали такое движение, которое характерно для равновесного состояния среды в отсутствие движущегося тела. В этом случае торможение тела в среде есть результат ударов отдельных молекул.
рис.1
Итак, выбор того или иного представления о физическом механизме торможения спутника в атмосфере определяется соотношением между его размерами и средней длиной свободного пробега молекул воздуха. Оценим среднюю длину свободного пробега. Для простоты будем считать молекулы Еоздуха шариками с диаметром $d$. Возьмем произвольную молекулу А и будем считать, что она движется в направлении, указанном стрелкой на рис. 1, а все остальные молекулы воздуха неподвижны. Из этого рисунка видно, что рассматриваемая молекула А столкнется с другой молекулой В только в том случае, когда центр другой молекулы В окажется внутри цилиндра, радиус которого равен диаметру молекулы $d$.
Возьмем длину этого цилиндра равной средней длине свободного пробега $\lambda$. Тогда, очевидно, в объеме такого цилиндра в среднем находится только одна молекула воздуха. Поэтому
$n \pi d^{2} \lambda \approx 1$, (1)
где $n$ — концентрация, т. е. среднее число молекул в единице объема. Обратим внимание, что средняя длина свободного пробега $\lambda$ не зависит от скорости молекул, т. е. от температуры, а определяется только размерами молекул и их концентрацией.
Найдем длину свободного пробега молекул воздуха на высоте 200 км, где плотность атмосферы $\rho = 3 \cdot 10^{-9} кг/м^{3}$. Считаем среднюю молярную массу воздуха $\mu = 0,029 кг/моль$, а диаметр молекулы $d \approx 3 \cdot 10^{-10} м$. Плотность $\rho$ равна произведению концентрации $n$ на массу одной молекулы $m$, которая связана с молярной массой $\mu$ и постоянной Авогадро $N_{A}$ соотношением $m = \mu / N_{A}$. Поэтому с помощью (1) получаем
$\lambda \approx \frac{1}{ \pi d^{2}n} = \frac{ \mu}{ \pi d^{2} \rho N_{A}} \approx 60 м$. (2)
Длина свободного пробега молекулы воздуха оказалась в таких условиях порядка 100 м. Это во много раз превосходит размеры спутника, поэтому рассчитывать торможение в такой разреженной атмосфере следует, рассматривая отдельные удары молекул.
Результат огромного числа ударов хаотически движущихся молекул воздуха о поверхность движущегося тела, которые приводят к его торможению, может быть описан путем введения непрерывно действующей на это тело силы трения. Зависимость этой силы от скорости тела будет различной при разных соотношениях между скоростью тела $V$ и средней скоростью хаотического движения молекул воздуха $\langle v \rangle$.
При медленном движении тела через неподвижный воздух, когда $ \ll \langle v \rangle$, при нахождении этой силы можно рассуждать так же, как и при подсчете давления молекул газа на стенку сосуда. При этом следует учитывать, что молекулы, движущиеся навстречу телу, сталкиваются с ним чаще и при каждом ударе в среднем передают ему больший импульс, чем молекулы, которые догоняют тело. В результате давление воздуха на переднюю стенку тела оказывается больше, чем на заднюю. Аккуратный анализ с учетом распределения молекул по скоростям показывает, что сила трения в этом случае пропорциональна первой степени скорости тела. Если же скорость тела $V$ значительно больше средней скорости теплового движения молекул воздуха, то зависимость силы трения от скорости тела будет совсем иной.
рис.2
На рис. 2 показано распределение молекул воздуха по проекции скорости их теплового движения на выделенное направление — направление движения тела. Ширина этого «колокола» по порядку величины равна средней тепловой скорости молекул $\langle v \rangle$. При $V \gg \langle v \rangle$ точка, изображающая скорость тела, лежит на этом графике далеко за пределами «колокола», т. е. на расстоянии от начала координат, много большем ширины «колокола». Поэтому при расчете действия воздуха на движущееся с такой большой скоростью тело можно совсем пренебречь тепловым движением молекул воздуха и считать, что тело налетает на неподвижные молекулы. Все взаимодействие с воздухом происходит только на передней поверхности тела.
рис.3
Для нахождения действующей на тело силы удобнее считать, что, наоборот, тело покоится, а на него налетает поток молекул, в котором все молекулы имеют одинаковую скорость, равную скорости тела $V$. Если поверхность тела перпендикулярна направлению налетающего потока, то при абсолютно упругом ударе каждая молекула передает телу импульс $2mV$ (рис. 3). Число таких ударов о переднюю поверхность тела площади $S$ за единицу времени равно числу молекул воздуха, находящихся в цилиндре с площадью основания $S$ и высотой $V$ (рис. 3), т. е. $nVS$. Поэтому полная сила, действующая на тело, равна
$F = 2mn V^{2} S = 2 \rho V^{2} S$. (3)
Таким образом, при $V \\g \langle v \rangle$ сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела. При движении спутника по околоземной круговой орбите его скорость составляет приблизительно 8 км/с. Это значительно больше средней тепловой скорости молекул воздуха, которая при температуре $T$ порядка нескольких сот Кельвинов, характерной для атмосферы на высоте около 200 км, составляет примерно $\langle v \rangle \approx \sqrt{kT/m} \leq 10^{3} м/с$. Поэтому для нахождения силы сопротивления нужно пользоваться формулой (3). Подставляя в нее данные из условия задачи, получаем $F \approx 0,4 Н$. Такая сила S сообщает спутнику массой 1 т ускорение $a \approx 4 \cdot 10^{-4} м/с^{2}$.
При получении формулы (3) мы считали, что удар молекул о поверхность спутника абсолютно упругий. Если считать этот удар Рис- 6-3- К вычислению „еупругим, то сила торможения ГГуТамП^Гн^ будет вдвое меньше. При неупру- столкновении с телом гом ударе форма поверхности спутника не влияет на силу, а определяется площадью поперечного сечения $S$.
Интересно отметить, что для спутника, имеющего форму шара, сила сопротивления не зависит от того, упруго или неупруго сталкиваются с его поверхностью молекулы воздуха.
Полученное выражение для силы сопротивления (3) дает возможность найти относительное уменьшение механической энергии $\Delta E/E$ за один оборот спутника вокруг Земли. Потеря энергии за один оборот $\Delta E$ определяется работой силы торможения:
$\Delta E = F \cdot 2 \pi (R + h)$, (4)
где $R$ — радиус Земли. Скорость спутника на круговой орбите высоты $h$ определяется соотношением
$V^{2} = \frac{gR^{2}}{R + h}$. (5)
Поскольку механическая энергия спутника
$E = - \frac{MgR^{2}}{2(R + h)}$, (6)
то для $\Delta E / E$ получаем
$\frac{ \Delta E}{E} = 8 \pi \frac{ \rho S}{M} (R + h)$. (7)
Используя данные задачи, с помощью формулы (7) можно убедиться, что уменьшение энергии, например, на 2 % произойдет приблизительно за 40 оборотов вокруг Земли.
Решая задачу об изменении параметров орбиты спутника при его торможении в верхних слоях атмосферы, мы не рассматривали самого механизма торможения, поскольку связанная с этим процессом потеря механической энергии была задана в условии задачи. В этом примере мы рассмотрим физическую причину торможения спутника и свяжем потери энергии с параметрами атмосферы. Будем для определенности считать, что спутник движется по круговой орбите на высоте $h = 200 км$, где плотность атмосферы $\rho$ составляет примерно $3 \cdot 10^{-9} кг/м^{3}$. Оценим силу трения, действующую на спутник, площадь поперечного сечения которого $S = l м^{2}$, а масса $M = 10^{3} кг$.
Решение:
Как нужно рассматривать торможение спутника в атмосфере? Следует ли считать, что движение спутника происходит в сплошной среде, или же взаимодействие спутника с атмосферой нужно описывать как результат большого числа отдельных ударов молекул воздуха?
При движении твердого тела в сплошной среде вблизи поверхности тела образуется так называемый пограничный слой, в котором некоторые свойства среды, такие, как, например, скорости движения частиц среды, отличаются от свойств вдали от тела, где среда остается невозмущенной. Тело при своем движении увлекает частицы среды, находящиеся в пределах пограничного слоя. Размеры такого пограничного слоя сравнимы с размерами самого тела. Когда справедливо такое представление?
Молекулы среды в своем хаотическом тепловом движении все время сталкиваются друг с другом. Если среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, значительно меньше размеров тела, то можно использовать представление о сплошной среде и говорить об образовании пограничного слоя вблизи движущегося тела.
Если же средняя длина свободного пробега молекул среды превосходит размеры тела, то никакого пограничного <глоя не образуется: каждая столкнувшаяся с телом молекула успевает до следующего столкновения с другими молекулами настолько далеко удалиться от тела, что уже больше не испытывает с его стороны никакого влияния. Другими словами, движущееся тело сталкивается с молекулами, которые до этого столкновения еще ничего «не знали» об этом теле, т. е. совершали такое движение, которое характерно для равновесного состояния среды в отсутствие движущегося тела. В этом случае торможение тела в среде есть результат ударов отдельных молекул.
рис.1
Итак, выбор того или иного представления о физическом механизме торможения спутника в атмосфере определяется соотношением между его размерами и средней длиной свободного пробега молекул воздуха. Оценим среднюю длину свободного пробега. Для простоты будем считать молекулы Еоздуха шариками с диаметром $d$. Возьмем произвольную молекулу А и будем считать, что она движется в направлении, указанном стрелкой на рис. 1, а все остальные молекулы воздуха неподвижны. Из этого рисунка видно, что рассматриваемая молекула А столкнется с другой молекулой В только в том случае, когда центр другой молекулы В окажется внутри цилиндра, радиус которого равен диаметру молекулы $d$.
Возьмем длину этого цилиндра равной средней длине свободного пробега $\lambda$. Тогда, очевидно, в объеме такого цилиндра в среднем находится только одна молекула воздуха. Поэтому
$n \pi d^{2} \lambda \approx 1$, (1)
где $n$ — концентрация, т. е. среднее число молекул в единице объема. Обратим внимание, что средняя длина свободного пробега $\lambda$ не зависит от скорости молекул, т. е. от температуры, а определяется только размерами молекул и их концентрацией.
Найдем длину свободного пробега молекул воздуха на высоте 200 км, где плотность атмосферы $\rho = 3 \cdot 10^{-9} кг/м^{3}$. Считаем среднюю молярную массу воздуха $\mu = 0,029 кг/моль$, а диаметр молекулы $d \approx 3 \cdot 10^{-10} м$. Плотность $\rho$ равна произведению концентрации $n$ на массу одной молекулы $m$, которая связана с молярной массой $\mu$ и постоянной Авогадро $N_{A}$ соотношением $m = \mu / N_{A}$. Поэтому с помощью (1) получаем
$\lambda \approx \frac{1}{ \pi d^{2}n} = \frac{ \mu}{ \pi d^{2} \rho N_{A}} \approx 60 м$. (2)
Длина свободного пробега молекулы воздуха оказалась в таких условиях порядка 100 м. Это во много раз превосходит размеры спутника, поэтому рассчитывать торможение в такой разреженной атмосфере следует, рассматривая отдельные удары молекул.
Результат огромного числа ударов хаотически движущихся молекул воздуха о поверхность движущегося тела, которые приводят к его торможению, может быть описан путем введения непрерывно действующей на это тело силы трения. Зависимость этой силы от скорости тела будет различной при разных соотношениях между скоростью тела $V$ и средней скоростью хаотического движения молекул воздуха $\langle v \rangle$.
При медленном движении тела через неподвижный воздух, когда $ \ll \langle v \rangle$, при нахождении этой силы можно рассуждать так же, как и при подсчете давления молекул газа на стенку сосуда. При этом следует учитывать, что молекулы, движущиеся навстречу телу, сталкиваются с ним чаще и при каждом ударе в среднем передают ему больший импульс, чем молекулы, которые догоняют тело. В результате давление воздуха на переднюю стенку тела оказывается больше, чем на заднюю. Аккуратный анализ с учетом распределения молекул по скоростям показывает, что сила трения в этом случае пропорциональна первой степени скорости тела. Если же скорость тела $V$ значительно больше средней скорости теплового движения молекул воздуха, то зависимость силы трения от скорости тела будет совсем иной.
рис.2
На рис. 2 показано распределение молекул воздуха по проекции скорости их теплового движения на выделенное направление — направление движения тела. Ширина этого «колокола» по порядку величины равна средней тепловой скорости молекул $\langle v \rangle$. При $V \gg \langle v \rangle$ точка, изображающая скорость тела, лежит на этом графике далеко за пределами «колокола», т. е. на расстоянии от начала координат, много большем ширины «колокола». Поэтому при расчете действия воздуха на движущееся с такой большой скоростью тело можно совсем пренебречь тепловым движением молекул воздуха и считать, что тело налетает на неподвижные молекулы. Все взаимодействие с воздухом происходит только на передней поверхности тела.
рис.3
Для нахождения действующей на тело силы удобнее считать, что, наоборот, тело покоится, а на него налетает поток молекул, в котором все молекулы имеют одинаковую скорость, равную скорости тела $V$. Если поверхность тела перпендикулярна направлению налетающего потока, то при абсолютно упругом ударе каждая молекула передает телу импульс $2mV$ (рис. 3). Число таких ударов о переднюю поверхность тела площади $S$ за единицу времени равно числу молекул воздуха, находящихся в цилиндре с площадью основания $S$ и высотой $V$ (рис. 3), т. е. $nVS$. Поэтому полная сила, действующая на тело, равна
$F = 2mn V^{2} S = 2 \rho V^{2} S$. (3)
Таким образом, при $V \\g \langle v \rangle$ сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела. При движении спутника по околоземной круговой орбите его скорость составляет приблизительно 8 км/с. Это значительно больше средней тепловой скорости молекул воздуха, которая при температуре $T$ порядка нескольких сот Кельвинов, характерной для атмосферы на высоте около 200 км, составляет примерно $\langle v \rangle \approx \sqrt{kT/m} \leq 10^{3} м/с$. Поэтому для нахождения силы сопротивления нужно пользоваться формулой (3). Подставляя в нее данные из условия задачи, получаем $F \approx 0,4 Н$. Такая сила S сообщает спутнику массой 1 т ускорение $a \approx 4 \cdot 10^{-4} м/с^{2}$.
При получении формулы (3) мы считали, что удар молекул о поверхность спутника абсолютно упругий. Если считать этот удар Рис- 6-3- К вычислению „еупругим, то сила торможения ГГуТамП^Гн^ будет вдвое меньше. При неупру- столкновении с телом гом ударе форма поверхности спутника не влияет на силу, а определяется площадью поперечного сечения $S$.
Интересно отметить, что для спутника, имеющего форму шара, сила сопротивления не зависит от того, упруго или неупруго сталкиваются с его поверхностью молекулы воздуха.
Полученное выражение для силы сопротивления (3) дает возможность найти относительное уменьшение механической энергии $\Delta E/E$ за один оборот спутника вокруг Земли. Потеря энергии за один оборот $\Delta E$ определяется работой силы торможения:
$\Delta E = F \cdot 2 \pi (R + h)$, (4)
где $R$ — радиус Земли. Скорость спутника на круговой орбите высоты $h$ определяется соотношением
$V^{2} = \frac{gR^{2}}{R + h}$. (5)
Поскольку механическая энергия спутника
$E = - \frac{MgR^{2}}{2(R + h)}$, (6)
то для $\Delta E / E$ получаем
$\frac{ \Delta E}{E} = 8 \pi \frac{ \rho S}{M} (R + h)$. (7)
Используя данные задачи, с помощью формулы (7) можно убедиться, что уменьшение энергии, например, на 2 % произойдет приблизительно за 40 оборотов вокруг Земли.
