Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4184
2017-10-05 
Оценить число молекул воздуха в земной атмосфере.
Решение:
В условии задачи нет никаких данных. Следовательно, подразумевается, что число молекул воздуха в атмосфере нужно выразить через какие-то хорошо известные характеристики атмосферы. Что же нам известно о земной атмосфере? Прежде всего давление воздуха вблизи поверхности Земли на уровне моря, равное в среднем 760 мм рт. ст. Практически вся атмосфера состоит из молекул азота и кислорода, причем средняя молярная масса воздуха $\mu =0,029 кг/моль$, поэтому если бы мы знали массу атмосферы, то легко могли бы определить число молекул в ней.
А как оценить массу атмосферы? «Снизу» атмосфера ограничена поверхностью Земли, средний радиус которой равен 6400 км. Что можно считать «верхней» границей атмосферы? Давление воздуха убывает с высотой и, па-пример, на высоте Эльбруса (5,6 км) составляет лишь половину давления на уровне моря, т. е. концентрация молекул уже в два раза меньше. Отсюда, конечно, не следует делать вывод, что на вдвое большей высоте молекул воздуха нет вовсе. Как известно, современные самолеты, использующие подъемную силу крыла, могут летать на высоте 30 км. Значит, там еще достаточно воздуха. Но вот спутник, летающий на высоте немногим более 200 км, практически не испытывает сопротивления воздуха, т. е. вся масса атмосферы сосредоточена ниже.
Посмотрим, как меняется ускорение свободного падения $g$ в зависимости от высоты в пределах атмосферы:
$g(h) = \frac{GM_{З}}{(R + h)^{2}} = \frac{g}{(1 + h/R)^{2}} \approx g \left ( 1 - \frac{2h}{R} \right ), g \equiv g(0)$. (i)
В этой формуле $M_{З}$ — масса Земли, $G$ — гравитационная постоянная.
Поскольку высота атмосферы, как мы выяснили, составляет несколько десятков километров, что много меньше радиуса Земли $R$, то изменение $g$ на протяжении атмосферы, как видно из (1), не превосходит 2 %, и при оценках ускорение свободного падения можно считать постоянным. Поэтому давление воздуха р0 на уровне моря численно равно весу столба воздуха с единичным основанием: $P = Mg$, где $M$ — масса воздуха в этом столбе.
Полную массу атмосферы $M_{0}$ получим, умножив $M$ на площадь поверхности Земли $S = 4 \pi R^{2}$:
$M_{0} = \frac{P}{g} 4 \pi R^{2}$.
Разделив $M_{0}$ на среднюю молярную массу воздуха $\mu$, получаем число молей, содержащихся в земной атмосфере, и тогда полное число молекул
$N = \frac{M_{0}}{ \mu} N_{A} = \frac{4 \pi R^{2} p_{0}}{ \mu g} N_{A}$, (2)
где $N_{A}$ — постоянная Авогадро. Выразив все входящие в формулу (2) величины в какой-либо одной системе единиц, получим $N \approx 10^{44}$.
Итак, чтобы подсчитать число молекул воздуха в земной атмосфере, достаточно знать лишь давление воздуха на уровне моря, молярную массу воздуха, радиус Земли и ускорение свободного падения $g$ у ее поверхности. В ответ не входит высота атмосферы, важно лишь, чтобы она была мала по сравнению с радиусом Земли. Совершенно несущественной оказалась температура воздуха и ее распределение в земной атмосфере.
При решении этой задачи мы воспользовались тем, что толщина атмосферы мала по сравнению с радиусом Земли. Этот факт хорошо известен, но остается вопрос, почему это так, почему земная атмосфера устроена именно таким образом? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как концентрация молекул воздуха зависит от высоты.
рис.1
Распределение молекул воздуха по высоте легко найти, если предположить, что атмосфера находится в состоянии термодинамического равновесия, т. е. температура воздуха $T$ в ней всюду одинакова. Так как давление газа $p$ связано с его концентрацией $n$ соотношением $p = nkT$, то при постоянной температуре зависимость концентрации и давления от высоты одинакова. Поэтому можно искать зависимость давления воздуха от высоты. Выделим мысленно горизонтальный слой воздуха на высоте $h$ с площадью основания $S$, толщина которого $\Delta h$ мала настолько, чтобы плотность воздуха $p$ в пределах этого слоя можно было считать постоянной. В то же время толщина выделенного слоя должна быть такой, чтобы внутри этого слоя было достаточно много молекул и можно было бы говорить о производимом ими давлении. К этому слою воздуха можно применить условие механического равновесия, считая, что действующая на него сила тяжести уравновешивается силами давления на верхнее и нижнее основания со стороны соседних слоев (рис. 1). Если обозначить давление воздуха на высоте $h$ через $p$, а на высоте $h + \Delta h$ через $p + \Delta p$, то условие равновесия запишется в виде
$pS - (p + \Delta p)S - \rho gS \Delta h = 0$, (3)
откуда
$\Delta p = - \rho g \Delta h$. (4)
Входящую в формулу (4) плотность воздуха $\rho$ можно выразить через давление с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона:
$\rho = \frac{ \mu p}{RT}$. (5)
Подставляя $\rho$ из (5) в уравнение (4) и переходя в нем к пределу $\Delta h \rightarrow 0$, получаем дифференциальное уравнение для функции $p(h)$:
$\frac{dp}{dh} = - \frac{ \mu g}{RT} p$. (6)
Мы опять встречаемся с уравнением, в котором производная искомой функции пропорциональна самой функции. Решением этого уравнения является экспонента
$p(h) = C exp \left ( - \frac{ \mu g}{RT} h \right )$. (7)
Постоянная $C$ определяется из условия, что давление на нулевой высоте $h = 0$ равно нормальному атмосферному давлению $p_{0}$:
$p(h) = p_{0} exp \left ( - \frac{ \mu g}{RT} h \right )$. (8)
График этой функции приведен на рис. 2.
рис.2
Подставляя в формулу (8) значения $\mu = 0,029 кг/моль, g = 9,8 м/с^{2}, R = 8,31 Дж/(моль \cdot К), T = 300 К$, убеждаемся, что имеющая размерность длины величина $RT / \mu g$ равна 8,8 км. На такой высоте давление убывает в е=2,72 раза. Это означает, что характерный масштаб изменения давления или концентрации с высотой составляет примерно 10 км. На высоте 100 км давление воздуха согласно формуле (8) уже практически равно нулю. Итак, атмосфера Земли — это тоненькая оболочка вокруг земного шара.
Формула (8) остается справедливой и в том случае, когда газ находится в закрытом сосуде, помещенном в однородное поле тяжести. Действительно, при выводе формулы (8) то обстоятельство, что атмосфера представляет собой газ в открытом сосуде без «крышки» сверху, никак не использовалось. Применяя формулу (8) к газу в закрытом сосуде, следует считать, что $p_{0}$ представляет собой давление газа на дно сосуда. Давление же на крышку будет, как видно из (8), меньше чем $p_{0}$, так что разность сил давления на дно и на крышку цилиндрического сосуда как раз равна весу газа в сосуде.
Подводя итог, можно сказать, что хотя давление газа обусловлено ударами хаотически движущихся молекул, в открытом сосуде (в атмосфере) оно определяется весом столба газа. Поле тяжести в этом случае играет роль той «крышки», которая не дает возможности газу распространиться по всему предоставленному ему объему.
Оценить число молекул воздуха в земной атмосфере.
Решение:
В условии задачи нет никаких данных. Следовательно, подразумевается, что число молекул воздуха в атмосфере нужно выразить через какие-то хорошо известные характеристики атмосферы. Что же нам известно о земной атмосфере? Прежде всего давление воздуха вблизи поверхности Земли на уровне моря, равное в среднем 760 мм рт. ст. Практически вся атмосфера состоит из молекул азота и кислорода, причем средняя молярная масса воздуха $\mu =0,029 кг/моль$, поэтому если бы мы знали массу атмосферы, то легко могли бы определить число молекул в ней.
А как оценить массу атмосферы? «Снизу» атмосфера ограничена поверхностью Земли, средний радиус которой равен 6400 км. Что можно считать «верхней» границей атмосферы? Давление воздуха убывает с высотой и, па-пример, на высоте Эльбруса (5,6 км) составляет лишь половину давления на уровне моря, т. е. концентрация молекул уже в два раза меньше. Отсюда, конечно, не следует делать вывод, что на вдвое большей высоте молекул воздуха нет вовсе. Как известно, современные самолеты, использующие подъемную силу крыла, могут летать на высоте 30 км. Значит, там еще достаточно воздуха. Но вот спутник, летающий на высоте немногим более 200 км, практически не испытывает сопротивления воздуха, т. е. вся масса атмосферы сосредоточена ниже.
Посмотрим, как меняется ускорение свободного падения $g$ в зависимости от высоты в пределах атмосферы:
$g(h) = \frac{GM_{З}}{(R + h)^{2}} = \frac{g}{(1 + h/R)^{2}} \approx g \left ( 1 - \frac{2h}{R} \right ), g \equiv g(0)$. (i)
В этой формуле $M_{З}$ — масса Земли, $G$ — гравитационная постоянная.
Поскольку высота атмосферы, как мы выяснили, составляет несколько десятков километров, что много меньше радиуса Земли $R$, то изменение $g$ на протяжении атмосферы, как видно из (1), не превосходит 2 %, и при оценках ускорение свободного падения можно считать постоянным. Поэтому давление воздуха р0 на уровне моря численно равно весу столба воздуха с единичным основанием: $P = Mg$, где $M$ — масса воздуха в этом столбе.
Полную массу атмосферы $M_{0}$ получим, умножив $M$ на площадь поверхности Земли $S = 4 \pi R^{2}$:
$M_{0} = \frac{P}{g} 4 \pi R^{2}$.
Разделив $M_{0}$ на среднюю молярную массу воздуха $\mu$, получаем число молей, содержащихся в земной атмосфере, и тогда полное число молекул
$N = \frac{M_{0}}{ \mu} N_{A} = \frac{4 \pi R^{2} p_{0}}{ \mu g} N_{A}$, (2)
где $N_{A}$ — постоянная Авогадро. Выразив все входящие в формулу (2) величины в какой-либо одной системе единиц, получим $N \approx 10^{44}$.
Итак, чтобы подсчитать число молекул воздуха в земной атмосфере, достаточно знать лишь давление воздуха на уровне моря, молярную массу воздуха, радиус Земли и ускорение свободного падения $g$ у ее поверхности. В ответ не входит высота атмосферы, важно лишь, чтобы она была мала по сравнению с радиусом Земли. Совершенно несущественной оказалась температура воздуха и ее распределение в земной атмосфере.
При решении этой задачи мы воспользовались тем, что толщина атмосферы мала по сравнению с радиусом Земли. Этот факт хорошо известен, но остается вопрос, почему это так, почему земная атмосфера устроена именно таким образом? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как концентрация молекул воздуха зависит от высоты.
рис.1
Распределение молекул воздуха по высоте легко найти, если предположить, что атмосфера находится в состоянии термодинамического равновесия, т. е. температура воздуха $T$ в ней всюду одинакова. Так как давление газа $p$ связано с его концентрацией $n$ соотношением $p = nkT$, то при постоянной температуре зависимость концентрации и давления от высоты одинакова. Поэтому можно искать зависимость давления воздуха от высоты. Выделим мысленно горизонтальный слой воздуха на высоте $h$ с площадью основания $S$, толщина которого $\Delta h$ мала настолько, чтобы плотность воздуха $p$ в пределах этого слоя можно было считать постоянной. В то же время толщина выделенного слоя должна быть такой, чтобы внутри этого слоя было достаточно много молекул и можно было бы говорить о производимом ими давлении. К этому слою воздуха можно применить условие механического равновесия, считая, что действующая на него сила тяжести уравновешивается силами давления на верхнее и нижнее основания со стороны соседних слоев (рис. 1). Если обозначить давление воздуха на высоте $h$ через $p$, а на высоте $h + \Delta h$ через $p + \Delta p$, то условие равновесия запишется в виде
$pS - (p + \Delta p)S - \rho gS \Delta h = 0$, (3)
откуда
$\Delta p = - \rho g \Delta h$. (4)
Входящую в формулу (4) плотность воздуха $\rho$ можно выразить через давление с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона:
$\rho = \frac{ \mu p}{RT}$. (5)
Подставляя $\rho$ из (5) в уравнение (4) и переходя в нем к пределу $\Delta h \rightarrow 0$, получаем дифференциальное уравнение для функции $p(h)$:
$\frac{dp}{dh} = - \frac{ \mu g}{RT} p$. (6)
Мы опять встречаемся с уравнением, в котором производная искомой функции пропорциональна самой функции. Решением этого уравнения является экспонента
$p(h) = C exp \left ( - \frac{ \mu g}{RT} h \right )$. (7)
Постоянная $C$ определяется из условия, что давление на нулевой высоте $h = 0$ равно нормальному атмосферному давлению $p_{0}$:
$p(h) = p_{0} exp \left ( - \frac{ \mu g}{RT} h \right )$. (8)
График этой функции приведен на рис. 2.
рис.2
Подставляя в формулу (8) значения $\mu = 0,029 кг/моль, g = 9,8 м/с^{2}, R = 8,31 Дж/(моль \cdot К), T = 300 К$, убеждаемся, что имеющая размерность длины величина $RT / \mu g$ равна 8,8 км. На такой высоте давление убывает в е=2,72 раза. Это означает, что характерный масштаб изменения давления или концентрации с высотой составляет примерно 10 км. На высоте 100 км давление воздуха согласно формуле (8) уже практически равно нулю. Итак, атмосфера Земли — это тоненькая оболочка вокруг земного шара.
Формула (8) остается справедливой и в том случае, когда газ находится в закрытом сосуде, помещенном в однородное поле тяжести. Действительно, при выводе формулы (8) то обстоятельство, что атмосфера представляет собой газ в открытом сосуде без «крышки» сверху, никак не использовалось. Применяя формулу (8) к газу в закрытом сосуде, следует считать, что $p_{0}$ представляет собой давление газа на дно сосуда. Давление же на крышку будет, как видно из (8), меньше чем $p_{0}$, так что разность сил давления на дно и на крышку цилиндрического сосуда как раз равна весу газа в сосуде.
Подводя итог, можно сказать, что хотя давление газа обусловлено ударами хаотически движущихся молекул, в открытом сосуде (в атмосфере) оно определяется весом столба газа. Поле тяжести в этом случае играет роль той «крышки», которая не дает возможности газу распространиться по всему предоставленному ему объему.
