Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4174
2017-10-05 
Два шара одинакового размера, один легкий, а другой тяжелый, прикреплены к тонкому стержню, причем тяжелый к середине стержня, а легкий к одному из его концов. При погружении в воду в неглубоком месте свободный конец стержня опирается о дно, стержень располагается наклонно и из воды выступает только часть легкого шара, причем отношение объема выступающей части к объему всего шара равно $n$ (рис. 1). Будет ли эта система плавать или она утонет, если ее опустить в воду на глубоком месте? Массу стержня считать пренебрежимо малой.
Решение:
При первом чтении условия задачи может показаться, что приведенных данных недостаточно для ответа на поставленный вопрос: ведь не указаны ни объем, ни масса шаров, которые необходимы для нахождения соотношения между силой тяжести и выталкивающими силами. Однако это впечатление обманчиво. Все, что нужно для решения задачи, в условии задано, и остается только сообразить, как этим воспользоваться.
Поведение системы на глубокой воде определяется тем, что больше: действующие па шары силы тяжести или выталкивающие силы, одинаковые для легкого и тяжелого шаров. Это можно выяснить, рассматривая описанное в условии задачи равновесие стержня с шарами на мелководье.
рис.2
На рис. 2 показаны действующие на систему силы. Через $\vec{F}$ обозначена выталкивающая сила, действующая на полностью погруженный шар. Так как легкий шар погружен в воду частично, то действующая на него выталкивающая сила, пропорциональная объему его погруженной части, равна $\vec{F}(1 - n)$. Поскольку силы тяжести $m \vec{g}$ и $m_{1} \vec{g}$ и обе выталкивающие силы направлены по вертикали, то и действующая на конец стержня сила реакции дна $\vec{Q}$ также направлена вертикально. Рассматривая уравнение моментов сил относительно центра тяжелого шара, получаем для силы реакции дна выражение
$Q = F(1 - n) -m_{1} g$.
Теперь, учитывая, что векторная сумма всех действующих сил в равновесии равна нулю, можно связать выталкивающую силу с действующими на шары силами тяжести $mg$ и $m_{1}g$:
$mg + m_{1}g = F + 2F(1 - n) - m_{1}g = F(3 - 2n) - m_{1}g$. (1)
На глубоком месте максимальное значение выталкивающей силы будет достигаться при полном погружении обоих шаров. В этом случае она равна $2F$. Если $2$F окажется больше полной силы тяжести, то стержень с шарами будет плавать в вертикальном положении и находящийся вверху легкий шар будет частично выступать из воды. Итак, условие плавания на глубокой воде имеет вид
$mg + m_{1}g < 2F$ или $F( 3 - 2n) - m_{1}g < 2F$, (2)
откуда
$1 - 2n < m_{1}g/F$
Казалось бы, это неравенство не приближает нас к ответу, поскольку в правой части стоят не заданные в условии силы $m_{1}g$ и $F$. Но в его правой части стоит положительная величина, поэтому оно во всяком случае будет выполнено, если потребовать, чтобы было $1 - 2n \leq 0$. Итак, система будет плавать на глубокой воде, если $n \geq 1/2$, т. е. если легкий шар на мелководье выступает из воды не менее чем наполовину.
Однако насколько хорош полученный ответ? Очевидно, что найдено только достаточное условие, и в действительности система будет, вообще говоря, плавать и при меньших значениях $n$. Например, если $m_{1}g/F= 1/5$, то система не утонет при $n > 0,4$. По условию задачи один шар легкий, а другой — тяжелый, т. е. $m_{1}g \ll mg$. Очевидно, что значение $mg$ лежит в интервале $F < mg < 2F$, иначе система либо плавала бы, не касаясь дна, и на мелководье, либо тонула. Поэтому $m_{1}g/F \ll 1$ и истинное минимальное значение $n$, при котором система не утонет (обязательно меньшее 1/2), тем ближе к найденному значению $n = 1/2$, чем меньше отношение $m_{1}g/F$.
Два шара одинакового размера, один легкий, а другой тяжелый, прикреплены к тонкому стержню, причем тяжелый к середине стержня, а легкий к одному из его концов. При погружении в воду в неглубоком месте свободный конец стержня опирается о дно, стержень располагается наклонно и из воды выступает только часть легкого шара, причем отношение объема выступающей части к объему всего шара равно $n$ (рис. 1). Будет ли эта система плавать или она утонет, если ее опустить в воду на глубоком месте? Массу стержня считать пренебрежимо малой.
Решение:
При первом чтении условия задачи может показаться, что приведенных данных недостаточно для ответа на поставленный вопрос: ведь не указаны ни объем, ни масса шаров, которые необходимы для нахождения соотношения между силой тяжести и выталкивающими силами. Однако это впечатление обманчиво. Все, что нужно для решения задачи, в условии задано, и остается только сообразить, как этим воспользоваться.
Поведение системы на глубокой воде определяется тем, что больше: действующие па шары силы тяжести или выталкивающие силы, одинаковые для легкого и тяжелого шаров. Это можно выяснить, рассматривая описанное в условии задачи равновесие стержня с шарами на мелководье.
рис.2
На рис. 2 показаны действующие на систему силы. Через $\vec{F}$ обозначена выталкивающая сила, действующая на полностью погруженный шар. Так как легкий шар погружен в воду частично, то действующая на него выталкивающая сила, пропорциональная объему его погруженной части, равна $\vec{F}(1 - n)$. Поскольку силы тяжести $m \vec{g}$ и $m_{1} \vec{g}$ и обе выталкивающие силы направлены по вертикали, то и действующая на конец стержня сила реакции дна $\vec{Q}$ также направлена вертикально. Рассматривая уравнение моментов сил относительно центра тяжелого шара, получаем для силы реакции дна выражение
$Q = F(1 - n) -m_{1} g$.
Теперь, учитывая, что векторная сумма всех действующих сил в равновесии равна нулю, можно связать выталкивающую силу с действующими на шары силами тяжести $mg$ и $m_{1}g$:
$mg + m_{1}g = F + 2F(1 - n) - m_{1}g = F(3 - 2n) - m_{1}g$. (1)
На глубоком месте максимальное значение выталкивающей силы будет достигаться при полном погружении обоих шаров. В этом случае она равна $2F$. Если $2$F окажется больше полной силы тяжести, то стержень с шарами будет плавать в вертикальном положении и находящийся вверху легкий шар будет частично выступать из воды. Итак, условие плавания на глубокой воде имеет вид
$mg + m_{1}g < 2F$ или $F( 3 - 2n) - m_{1}g < 2F$, (2)
откуда
$1 - 2n < m_{1}g/F$
Казалось бы, это неравенство не приближает нас к ответу, поскольку в правой части стоят не заданные в условии силы $m_{1}g$ и $F$. Но в его правой части стоит положительная величина, поэтому оно во всяком случае будет выполнено, если потребовать, чтобы было $1 - 2n \leq 0$. Итак, система будет плавать на глубокой воде, если $n \geq 1/2$, т. е. если легкий шар на мелководье выступает из воды не менее чем наполовину.
Однако насколько хорош полученный ответ? Очевидно, что найдено только достаточное условие, и в действительности система будет, вообще говоря, плавать и при меньших значениях $n$. Например, если $m_{1}g/F= 1/5$, то система не утонет при $n > 0,4$. По условию задачи один шар легкий, а другой — тяжелый, т. е. $m_{1}g \ll mg$. Очевидно, что значение $mg$ лежит в интервале $F < mg < 2F$, иначе система либо плавала бы, не касаясь дна, и на мелководье, либо тонула. Поэтому $m_{1}g/F \ll 1$ и истинное минимальное значение $n$, при котором система не утонет (обязательно меньшее 1/2), тем ближе к найденному значению $n = 1/2$, чем меньше отношение $m_{1}g/F$.
